Eb/N0

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1. 개요
2. 반송파 대 잡음비 (CNR)와의 관계
- 2.1. CNR과 Eb/N0의 관계식
- 2.2. 데시벨 (dB) 표현
3. 심볼당 에너지 (Es/N0)와의 관계
- 3.1. Es/N0와 Eb/N0의 관계
- 3.2. CNR, 대역폭, 심볼 속도와의 관계
4. 샤논 한계 (Shannon Limit)
5. 컷오프 속도 (Cutoff Rate)
참조

1. 개요

Eb/N0는 비트당 에너지 대 잡음 전력 스펙트럼 밀도를 의미하며, 통신 시스템의 성능을 평가하는 데 사용되는 중요한 지표이다. Eb/N0는 반송파 대 잡음비(CNR)와 밀접한 관련이 있으며, 채널 데이터 전송률과 대역폭을 사용하여 계산할 수 있다. 또한, 심볼당 에너지 대 잡음 전력 스펙트럼 밀도(Es/N0)와도 연관되어 있으며, 디지털 변조 방식의 분석에 활용된다. Eb/N0는 샤논 한계와 컷오프 속도와도 관련이 있으며, 통신 시스템의 이론적인 성능 한계를 나타내는 데 사용된다.

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Eb/N0
정의
종류	신호 대 잡음비 측정
설명
정의	E_b/N₀ (비트당 에너지 대 잡음 전력 밀도)는 디지털 통신 링크 또는 무선 데이터 전송 시스템의 신호 대 잡음비(SNR)를 정규화한 척도이다. 이는 디지털 통신 시스템의 비트 오류 확률이며, 디지털 모드 방식의 링크 품질을 나타낸다.
다른 SNR과의 관계	E_b/N₀는 대역폭, 변조 방식, 코딩과 같은 시스템 매개변수와 무관한 방식으로 링크의 에너지 효율을 직접적으로 나타내기 때문에 SNR보다 유용하게 사용된다.
관계식
E_b/N₀	E_b/N₀ = SNR - 10log₁₀(f_b/B)
SNR	SNR = 10log₁₀(E_b/N₀) + 10log₁₀(f_b/B)
설명	SNR은 신호 대 잡음비이다. f_b는 데이터 전송률 (순 비트 전송률, 정보 전송률)이다. B는 대역폭이다.
관련 항목
관련 항목	채널 용량 신호 대 잡음비 전송률 변조 차수 Eb/N0

2. 반송파 대 잡음비 (CNR)와의 관계

Eb/N0^영어는 수신기에서 신호를 검출하기 전의 신호 품질을 나타내는 반송파 대 잡음비(CNR)와 밀접하게 관련되어 있으며, 수신기 필터 이후 및 검출 전 신호 대 잡음비(SNR)와도 관련이 있다.

2. 1. CNR과 Eb/N0의 관계식

E_b/N_0

는 수신기 필터가 전파를 감지하기 전 신호의 SNR인 반송파 대 잡음비(CNR 또는

\frac{C}{N}

)와 매우 유사하다.

:

\frac{C}{N} = \frac{E_\text{b}}{N_0} \frac{f_\text{b}}{B}

이때

f_b

는 채널 데이터 전송률(순 비트 전송률)이고,

B

는 채널 대역폭이다. 이를 데시벨 단위로 나타내면 다음과 같다.

:

\text{CNR}_\text{dB} = 10\log_{10}\left(\frac{E_\text{b}}{N_0}\right) + 10\log_{10}\left(\frac{f_\text{b}}{B}\right)

단,

N_0/2

는 복소수 기저 대역 혹은 음의 주파수를 가지는 경우 -3 데시벨 차이를 보인다.

2. 2. 데시벨 (dB) 표현

반송파 대 잡음비(CNR 또는

\frac{C}{N}

)는 수신기 필터가 전파를 감지하기 전 신호의 SNR로,

E_b/N_0

와 매우 유사하다. CNR은 다음과 같이 표현할 수 있다.

\frac{C}{N} = \frac{E_\text{b}}{N_0} \frac{f_\text{b}}{B}

이때

f_b

는 채널 데이터 전송률(순 비트 전송률)이고, B는 채널 대역폭이다.

이를 데시벨(dB) 단위로 나타내면 다음과 같다.

\text{CNR}_\text{dB} = 10\log_{10}\left(\frac{E_\text{b}}{N_0}\right) + 10\log_{10}\left(\frac{f_\text{b}}{B}\right)

단,

N_0/2

는 복소수 기저 대역 혹은 음의 주파수를 가지는 경우 -3dB의 차이를 보인다.

3. 심볼당 에너지 (Es/N0)와의 관계

$E_b/N_0$ 는 심볼당 에너지 대 잡음 전력 스펙트럼 밀도( $E_s/N_0$ )의 정규화된 척도로 볼 수 있다.

$\frac{E_b}{N_0} = \frac{E_\text{s}}{\rho N_0}$

여기서 $E_s$ 는 줄 단위의 심볼당 에너지이고, $\rho$ 는 (비트/s)/Hz 단위의 공칭 스펙트럼 효율이다.^[2] $E_s/N_0$ 는 디지털 변조 방식 분석에 일반적으로 사용된다.

이는 정보 비트당 에너지가 아닌 비트당 에너지이다.

3. 1. Es/N0와 Eb/N0의 관계

Es/N0^영어는 Eb/N0^영어를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\frac{E_\text{s}}{N_0} = \frac{E_\text{b}}{N_0} \log_2(M)

여기서 ''M''은 변조 심볼의 개수이다. 예를 들어 QPSK에서는 ''M'' = 4이고, 8PSK에서는 ''M'' = 8이다.^[2]

3. 2. CNR, 대역폭, 심볼 속도와의 관계

Es/N0^영어는 반송파 대 잡음비(CNR 또는 C/N^영어), 대역폭(B), 심볼 속도(fs^영어)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수도 있다.^[2]

:

\frac{E_s}{N_0} = \frac{C}{N} \frac{B}{f_s}

4. 샤논 한계 (Shannon Limit)

샤논-하틀리 정리는 주어진 대역폭과 신호 대 잡음비에서 오류 없이 전송할 수 있는 최대 정보 전송률을 정의한다. 이 정리는 순 데이터 전송률 와 동일한 총 비트 전송률 을 고려하여, 비트당 평균 에너지 $E_b = S/R$ 과 잡음 스펙트럼 밀도 $N_0 = N/B$ 를 통해 신뢰성 있는 통신을 위한 $E_b/N_0$ 의 경계를 설정한다.

4. 1. 샤논-하틀리 정리

샤논-하틀리 정리에 따르면 채널의 신뢰할 수 있는 정보 전송률 (오류 정정 코드를 제외한 데이터 전송률)의 한계는 대역폭과 신호 대 잡음비에 따라 다음과 같이 결정된다.

:

I < B \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right)

여기서

''I''는 비트/초 단위의 정보 전송률로 오류 정정 코드는 제외하며,
''B''는 헤르츠 단위의 채널 대역폭이고,
''S''는 총 신호 전력(반송파 전력 ''C''와 동일)이며,
''N''은 대역폭 내의 총 잡음 전력이다.

^[3]

4. 2. Eb/N0 관점에서의 샤논 한계

샤논-하틀리 정리에 따르면, 채널에서 신뢰성 있는 정보 전송률의 한계는 대역폭과 신호 대 잡음비에 따라 결정된다.^[3]

정규화된 전송률(초당 비트/헤르츠 또는 차원당 비트)

R_l = R/(2B)

을 사용하면, 샤논 한계는 다음과 같이 표현된다.

:

\frac{R}{B} = 2R_l < \log_2 \left( 1 + 2R_l\frac{E_\text{b}}{N_0} \right)

이를 통해

E_b/N_0

에 대한 샤논 한계 경계를 얻을 수 있다.

:

\frac{E_\text{b}}{N_0} > \frac{2^{2R_l} - 1}{2R_l}

데이터 전송률이 대역폭에 비해 작아

R_l

이 0에 가까울 때, "궁극적인 샤논 한계"는 다음과 같다.

:

\frac{E_\text{b}}{N_0} > \ln(2)

이는 -1.59dB에 해당한다. 이 한계는 무한 대역폭의 이론적인 경우에만 적용되며, 유한 대역폭 신호의 샤논 한계는 항상 더 높다.^[3]

4. 3. 궁극적인 샤논 한계

데이터 전송률이 대역폭에 비해 매우 작아

R_l

이 0에 가까울 때, "궁극적인 샤논 한계"라고 불리는 경계^[3]는 다음과 같다.

:

\frac{E_\text{b}}{N_0} > \ln(2)

이는 -1.59 dB에 해당한다.

이 자주 인용되는 -1.59 dB의 한계는 ''오직'' 무한 대역폭의 이론적인 경우에만 적용된다. 유한 대역폭 신호의 샤논 한계는 항상 더 높다.

5. 컷오프 속도 (Cutoff Rate)

임의의 주어진 부호화 및 복호화 시스템에 대해, 일반적으로 섀넌 한계보다 약 2dB 높은 $E_b/N_0$ 에 해당하는 '컷오프 속도' $R_0$ 가 존재한다. 컷오프 속도는 처리 복잡성의 무한정 증가 없이 실용적인 오류 정정 부호의 한계로 여겨졌지만, 최근 터보 부호, 저밀도 패리티 검사(LDPC) 및 극 부호의 발견으로 인해 대부분 쓸모없게 되었다.

참조

_[1] 서적 Turbo coding https://books.google[...] Kluwer
_[2] 웹사이트 MIT OpenCourseWare, 6.451 Principles of Digital Communication II, Lecture Notes section 4.2 https://ocw.mit.edu/[...] 2017-11-08
_[3] 서적 Algorithms for Communications Systems and Their Applications John Wiley & Sons
_[4] 서적 Turbo coding https://books.google[...] Kluwer

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