교곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 캡 곱 (Cap Product)
- 2.2. 경사곱 (Slant Product)
3. 성질
4. 기본류 (Fundamental Class)
5. 푸앵카레 쌍대성 (Poincaré Duality)
6. 역사
참조

1. 개요

교곱은 위상 공간과 가환환에 대해 정의되는 선형 변환으로, 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 연산이다. 캡 곱은 특이 사슬을 특이 코사슬로 수축시키는 연산으로 정의되며, 컵 곱과의 관계, 경계 연산과의 관계 등 다양한 성질을 갖는다. 또한, 캡 곱은 기본류와 푸앵카레 쌍대성을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 에두아르트 체흐가 1936년에 처음 도입했으며, 해슬러 휘트니가 독립적으로 재발견했다.

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교곱
개요
종류	대수적 위상수학 방법
분야	대수적 위상수학
관련 개념	컵 곱
역사
발명자	에두아르트 체흐, 해슬러 휘트니
정의
정의	만약 $\langle f, [v_0, \dots, v_p] \rangle = f([v_0, \dots, v_p])$ 가 코체인 $f$와 체인 $[v_0, \dots, v_p]$의 쌍대성을 나타낸다면, 특이 코호몰로지의 컵 곱은 다음과 같이 주어진다. $\langle f \smile g, [v_0, \dots, v_{p+q}] \rangle = f([v_0, \dots, v_p])g([v_p, \dots, v_{p+q}])$
설명	이 공식은 코호몰로지류의 곱셈을 체인의 곱셈으로 나타낸다. 컵 곱은 대수적 위상수학에서 중요한 도구이며, 공간의 위상적 성질을 연구하는 데 사용된다.
응용
응용 분야	대수적 위상수학 다양체의 연구 호모토피 이론

2. 정의

'''교곱'''(cap product^영어)은 위상 공간에서 정의되는 연산으로, 특이 호몰로지와 코호몰로지를 연결하는 쌍선형 사상이다.

교곱은 특이 호몰로지 군과 특이 코호몰로지 군 사이의 연산으로 정의된다.^[1]

: $\frown\colon\operatorname H_p(X;R)\times\operatorname H^q(X;R) \to\operatorname H_{p-q}(X;R)\qquad(p\ge q)$

여기서 $\operatorname H_p(X;R)$ 는 $R$ 계수를 갖는 $X$ 의 특이 호몰로지이고, $\operatorname H^q(X;R)$ 는 $R$ 계수를 갖는 $X$ 의 특이 코호몰로지이다.

경사곱(Slant Product)은 캡 곱과 유사하지만, 두 위상 공간의 곱에 대한 코호몰로지와 한 위상 공간의 호몰로지 사이의 연산이라는 점에서 차이가 있다.

2. 1. 캡 곱 (Cap Product)

''X''가 위상 공간이고, ''R''가 가환환이라고 하자. 그렇다면

R

계수의 '''교곱'''

\frown

은 다음과 같은

R

-선형 변환이다.^[1]

:

\frown\colon\operatorname H_p(X;R)\times\operatorname H^q(X;R) \to\operatorname H_{p-q}(X;R)\qquad(p\ge q)

여기서

\operatorname H_\bullet(X;R)

및

\operatorname H^\bullet(X;R)

는 각각

R

계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬

\psi\in C^q(X;R)

및 특이 단체

\sigma\colon\triangle^p \to\ X

에 대하여,^[1]

:

\sigma \frown \psi \stackrel{\text{def}}= \psi(\sigma\circ\iota_{\{0,\dots,q\}}) \cdot \sigma\circ\iota_{\{q, \dots, p\}}

여기서

:

\iota_S\colon\triangle^

2. 2. 경사곱 (Slant Product)

두 위상 공간

X

,

Y

및 가환환

R

위의 가군

M

,

N

이 주어졌을 때,

R

계수의 '''경사곱'''(傾斜-, slant product^영어)

\backslash_R

은 다음과 같은

R

-선형 변환이다.

:

\backslash_R\colon \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_R)\qquad(q\ge p)

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.

:

f\colon C_p(X;M)\times C_q(Y;N)\to C_{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN)

만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는

:

\alpha\colon\triangle^p\to X

:

\beta\colon\triangle^q\to Y

에 대하여, 단체의 곱공간

\triangle^p\times\triangle^q

위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환

:

\gamma=\sum_{i\in I}r_i\gamma_i\in C_{p+q}(\triangle^p\times \triangle^q;R)

:

\gamma_i\colon\triangle^{p+q}\to\triangle^p\times \triangle^q

을 골랐을 때

:

f\colon (\alpha,\beta)\mapsto\sum_{i\in I}  r_i\left((\alpha,\beta)\circ\gamma_i\right)

이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.

:

\backslash_R\colon  \operatorname H_p(X;M)\times\operatorname H^q(X\times Y;N)\to\operatorname H^{q-p}(Y;M\otimes_RN)

:

\alpha\backslash_R\beta\colon\sigma\mapsto \beta(f(\alpha,\sigma))

Künneth 공식을 이용한 컵 곱의 해석과 유사하게, 캡 곱의 존재를 다음과 같은 방식으로 설명할 수 있다. CW 근사를 사용하여

X

가 CW-복합체이고

C_\bullet(X)

(그리고

C^\bullet(X)

)가 세포 사슬(또는 코사슬)의 복합체라고 가정할 수 있다. 그런 다음 다음 합성을 고려한다.

C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\Delta_* \otimes \mathrm{Id}}{\longrightarrow} C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(X) \otimes C^\bullet(X) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C_\bullet(X)

여기서 우리는 사슬 복합체의 텐서 곱을 취하고,

\Delta \colon X \to X \times X

는 사상을 유도하는 대각 사상이다.

\Delta_* \colon C_\bullet(X)\to C_\bullet(X \times X)\cong C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(X)

사슬 복합체에, 그리고

\varepsilon \colon C_p(X) \otimes C^q(X) \to \mathbb{Z}

는 평가 사상이다(

p=q

를 제외하면 항상 0).

이 합성은 몫으로 전달되어 캡 곱

\frown \colon H_\bullet(X) \times H^\bullet(X) \to H_\bullet(X)

을 정의하고, 위의 합성을 주의 깊게 살펴보면 실제로

\frown \colon H_p(X) \times H^q(X) \to H_{p-q}(X)

형태의 사상을 취하며, 이는

p < q

에 대해 항상 0이다.

위 논의에서

X\times X

를

X\times Y

로 대체하면, 다음과 같은 매핑에서 시작하여 (부분적으로) 복제할 수 있다.

C_\bullet(X\times Y) \otimes C^\bullet(Y)\cong C_\bullet(X) \otimes C_\bullet(Y) \otimes C^\bullet(Y) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C_\bullet(X)

그리고

C^\bullet(X\times Y) \otimes C_\bullet(Y)\cong C^\bullet(X) \otimes C^\bullet(Y) \otimes C_\bullet(Y) \overset{\mathrm{Id} \otimes \varepsilon}{\longrightarrow} C^\bullet(X)

각각 '''슬랜트 곱'''

/

을 얻을 수 있다.

H_p(X\times Y;R) \otimes H^q(Y;R) \rightarrow H_{p-q}(X;R)

그리고

H^p(X\times Y;R) \otimes H_q(Y;R) \rightarrow H^{p-q}(X;R).

''X = Y''인 경우, 첫 번째는 대각 사상에 의해 캡 곱과 관련이 있다:

\Delta_*(a)/\phi = a\frown \phi

.

이러한 ‘곱’은 어떤 면에서 곱셈보다는 나눗셈과 더 유사하며, 이는 표기법에 반영되어 있다.

3. 성질

캡 곱은 경계 연산과 관련된 중요한 성질을 가지며, 이는 캡 곱 계산 및 응용에 중요한 역할을 한다.

: $(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)$

이 식은 $H_{\ast}(X;R)$ 를 오른쪽 $H^{\ast}(X;R)$ -가군으로 만든다.

3. 1. 경계 연산과의 관계

캡 곱의 경계는 특이 호몰로지와 코호몰로지의 경계 연산자를 통해 다음과 같이 표현된다.

:

\partial(\sigma \frown \psi) = (-1)^q(\partial \sigma \frown \psi - \sigma \frown \delta \psi).

사상 ''f''가 주어지면, 유도된 사상은 다음을 만족한다.

:

f_*( \sigma ) \frown \psi = f_*(\sigma \frown f^* (\psi)).

캡 곱과 컵 곱은 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)

여기서

:

\sigma : \Delta ^{p+q} \rightarrow X

,

\psi \in C^q(X;R)

그리고

\varphi \in C^p(X;R).

만약

\sigma

의 차수가

p+q

보다 높도록 허용되면, 마지막 항등식은 더 일반적인 형태를 취한다.

:

(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)

이것은

H_{\ast}(X;R)

를 오른쪽

H^{\ast}(X;R)

-가군으로 만든다.

3. 2. 사상에 대한 작용

위상 공간 사이의 사상 ''f''가 주어지면, 유도된 사상은 다음을 만족한다.^[1]

:

f_*( \sigma ) \frown \psi = f_*(\sigma \frown f^* (\psi)).

이는 캡 곱의 변환 성질을 나타낸다.

3. 3. 컵 곱과의 관계

캡 곱과 컵 곱은 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\psi(\sigma \frown \varphi) = (\varphi \smile \psi)(\sigma)

여기서

\sigma : \Delta ^{p+q} \rightarrow X

,

\psi \in C^q(X;R)

,

\varphi \in C^p(X;R)

이다.

만약

\sigma

의 차수가

p+q

보다 높도록 허용되면, 위의 식은 더 일반적인 형태를 취한다.

:

(\sigma \frown \varphi) \frown \psi = \sigma \frown (\varphi \smile \psi)

이것은

H_{\ast}(X;R)

를 오른쪽

H^{\ast}(X;R)

-가군으로 만든다.

4. 기본류 (Fundamental Class)

임의의 점 $x$ 가 $M$ 에 있을 때, 쌍 (M, M - {x})의 호몰로지(계수는 $R$ )에서 긴 완전열을 얻는다. (상대 호몰로지 참고)

: $\cdots \to H_n(M - {x}; R) \stackrel{i_*}{\to} H_n(M; R) \stackrel{j_*}{\to} H_n (M, M - {x}; R) \stackrel{\partial}{\to} H_{n-1}(M - {x}; R) \to \cdots .$

$H_n(M; R)$ 의 원소 $[M]$ 은 $j_*([M])$ 가 $H_n (M, M - {x}; R)$ 의 생성원일 때 $M$ 의 기본류라고 한다. $M$ 이 닫혀 있고 R-가향 가능하면 $M$ 의 기본류가 존재한다. $M$ 이 닫혀 있고 연결되어 있으며 $R$ -가향 가능한 다양체라면, 사상 $H_n(M; R) \stackrel{j_*}{\to} H_n (M, M - {x}; R)$ 는 모든 $x$ in $R$ 에 대해 동형사상이므로, $H_n(M; R)$ 의 모든 생성원을 기본류로 선택할 수 있다.

5. 푸앵카레 쌍대성 (Poincaré Duality)

닫힌 $R$ -가향 $n$ -다양체 $M$ 에 대해 기본류 $[M]$ 은 $H_n(M; R)$ 에 속하며( $H_n(M; R)$ 의 임의의 생성자를 선택할 수 있음), 캡 곱은 다음과 같은 동형사상을 유도한다.

$H^k(M; R)\to H_{n-k}(M; R),\alpha\mapsto [M]\frown \alpha$

이는 모든 $k$ 에 대해 성립하며, 푸앵카레 쌍대성이라고 불린다.

6. 역사

에두아르트 체흐가 1936년에 교곱을 처음으로 도입하였으며,^[1] 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다.^[2]^[3] 교곱의 기호 $\frown$ 는 휘트니가 고안하였다.

참조

_[1] 저널 Multiplications on a complex http://dml.cz/dmlcz/[...] 1936-07
_[2] 저널 On products in a complex 1937-05
_[3] 저널 On products in a complex 1938-05

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