나눗셈

{2} < r \le \frac

{2}$

또는

:$- \frac

{2} \le r < \frac

{2}$

의 범위에 나머지 $r$이 포함된다. 유클리드 나눗셈과 달리 $r$은 음수 값을 가질 수 있다. 이렇게 정해지는 나머지를 '''절댓값 최소 나머지'''(절대적 최소 나머지라고도 함)라고 부른다.^[18]

절댓값 최소 나머지를 사용하는 경우의 계산 예시는 다음과 같다. (제수: $4, -4$, 피제수: $22, -22$)

• $- \frac

{2} < r \le \frac

{2}$
:$22 = 5 \times 4 + 2$：몫 $5$, 나머지 $2$

:$22 = (-5) \times (-4) + 2$：몫 $-5$, 나머지 $2$

:$-22 = (-6) \times 4 + 2$：몫 $-6$, 나머지 $2$

:$-22 = 6 \times (-4) + 2$：몫 $6$, 나머지 $2$

• $- \frac

{2} \le r < \frac

{2}$
:$22 = 6 \times 4 - 2$：몫 $6$, 나머지 $-2$

:$22 = (-6) \times (-4) - 2$：몫 $-6$, 나머지 $-2$

:$-22 = (-5) \times 4 - 2$：몫 $-5$, 나머지 $-2$

:$-22 = 5 \times (-4) - 2$：몫 $5$, 나머지 $-2$

어느 방법을 사용하든, 제수 $n$이 $0$이면 나머지 $r$은 $0$이어야 하며, 피제수 $m$이 어떤 수이든 몫 $q$를 유일하게 정할 수 없다.

'''절댓값 최소 나머지'''와 유클리드 나눗셈에 의해 정해지는 '''최소 양의 나머지''' 중 어느 것을 사용할지는 자유이며, 주어지는 나머지가 그 중 어느 것인지는 미리 정해진 규약을 따른다. 이 규약은 계산하는 대상이나 컴퓨터의 기종, 또는 프로그래밍 언어에 따라 다르다.^[18]

4. 2. 나누어떨어짐

나눗셈 연산에서 피제수와 제수의 나눗셈 결과, 몫과 나머지가 항상 생겨난다. 그러나 나머지 값이 0인 경우에는 나머지를 생략한다. 이처럼 나눗셈 연산은 나머지에 대한 중요한 성질을 갖는다. 나머지를 결과값으로 하는 나눗셈 연산은 나머지 연산이라고 하며, 기호 mod를 사용한다.

:$9\; \backslash bmod\; 3\; =\; 0\; \backslash ;,\backslash ;\; 10\; \backslash bmod\; 3\; =\; 1$

5. 유리수와 실수의 나눗셈

b, c, d 가 0 이 아니라는 조건 하에 유리수 \frac{a}{b} 를 \frac{c}{d} 로 나누는 식은 \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} 와 같이 나타낼 수 있으며 나누는 방법은 제수 \frac{c}{d}의 분모와 분자의 위치를 각각 바꾸어 주어서 곱해주면 된다. 즉 \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} 이 식을 계산해주면 된다.

두 유리수를 나눈 결과는, 나누는 수(제수)가 0이 아닌 경우 다른 유리수가 된다. 두 유리수 ''p''/''q''와 ''r''/''s''의 나눗셈은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$$\{p/q\; \backslash over\; r/s\}\; =\; \{p\; \backslash over\; q\}\; \backslash times\; \{s\; \backslash over\; r\}\; =\; \{ps\; \backslash over\; qr\}.$$

이때 네 값은 모두 정수이며, ''p''만 0이 될 수 있다. 이 정의는 나눗셈이 곱셈의 역연산임을 보장한다.

두 실수를 나누면 (나누는 수가 0이 아닌 경우) 다른 실수가 된다. 이는 ''a''/''b'' = ''c''일 필요충분조건이 ''a'' = ''cb'' 이고 ''b'' ≠ 0일 때 정의된다.

임의의 피제수 a의 0이 아닌 제수 b에 의한 나눗셈은 유리수 c를 단 하나 준다.

:$a\; \backslash div\; b\; =\; c$

이 유리수 c는

:$c\; \backslash times\; b\; =\; b\; \backslash times\; c\; =\; a$

를 만족한다. 또한, 나눗셈은 제수의 역수의 곱셈으로 바꿀 수 있다.

:$a\; \backslash div\; b\; =\; a\; \backslash times\; \backslash frac\{1\}\{b\}$

따라서, 나눗셈과 곱셈의 순서는 바꿀 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

(a \div b) \times c

&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times c

= (a \times c) \times \frac{1}{b}

= (a \times c) \div b, \\

(a \div b) \div c

&= \left(a \times \frac{1}{b}\right) \times \frac{1}{c}

= \left(a \times \frac{1}{c}\right) \times \frac{1}{b}

= (a \div c) \div b

\end{align}

또한, 두 개의 나눗셈은 곱셈을 이용하여 정리할 수 있다.

:$(a\; \backslash div\; b)\; \backslash div\; c\; =\; a\; \backslash div\; (b\; \backslash times\; c)$

하지만, 제수와 피제수를 바꾸는 것은 불가능하다.

:$a\; \backslash div\; b\; \backslash ne\; b\; \backslash div\; a$

:$(a\; \backslash div\; b)\; \backslash div\; c\; \backslash ne\; a\; \backslash div\; (b\; \backslash div\; c)$

두 번째 예처럼 괄호의 위치를 바꾸면 계산 결과가 달라지므로,

:$a\; \backslash div\; b\; \backslash div\; c$

라고 쓰여진 경우에는 특별한 해석을 줄 필요가 있다. 일반적으로는 왼쪽의 연산이 우선되어, 다음 식의 우변의 의미로 해석된다.

:$a\; \backslash div\; b\; \backslash div\; c\; =\; (a\; \backslash div\; b)\; \backslash div\; c$

유리수의 나눗셈에 대해, 제수를 피제수에 대해 분배할 수 있다.

:$(a\; +\; b)\; \backslash div\; c\; =\; a\; \backslash div\; c\; +\; b\; \backslash div\; c$

단, 피제수를 제수에 대해 분배하는 것은 불가능하다.

:$a\; \backslash div\; (b\; +\; c)\; \backslash ne\; a\; \backslash div\; b\; +\; a\; \backslash div\; c$

유리수의 나눗셈의 결과는 분수를 이용하여 나타낼 수 있다.

:$a\; \backslash div\; b\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}$

어떤 유리수에 대응하는 분수의 표시 방법은 무수히 존재한다. 예를 들어 0이 아닌 유리수 c를 이용하여,

:$a\; \backslash div\; b\; =\; \backslash frac\{ac\}\{bc\}\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{a\}\{c\}\}\{\backslash frac\{b\}\{c\}\}$

라고 나타내어도 좋다.

또한, 유리수는 분모와 분자가 모두 정수인 분수를 이용하여 나타낼 수 있다. 두 개의 유리수 a, b를 각각 정수 p, q, r, s를 이용하여 분수 표기한다.

:$a=\backslash frac\{p\}\{q\},\backslash quad\; b=\backslash frac\{r\}\{s\}$

그러면, 그것들의 나눗셈은 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$\backslash frac\{p\}\{q\}\; \backslash div\; \backslash frac\{r\}\{s\}\; =\; \backslash frac\{p\}\{q\}\; \backslash times\; \backslash frac\{s\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{p\; \backslash times\; s\}\{q\; \backslash times\; r\}\; =\; \backslash frac\{ps\}\{qr\}$

이 표시에서 명확한 것처럼, 유리수를 유리수로 나눈 몫은 또한 유리수이다. 다음과 같이 계산해도 좋다.

:$\backslash frac\{p\}\{q\}\; \backslash div\; \backslash frac\{r\}\{s\}\; =\; \backslash frac\{p\; \backslash div\; r\}\{q\; \backslash div\; s\}\; =\; \backslash frac\{\backslash frac\{p\}\{r\}\}\{\backslash frac\{q\}\{s\}\}$

이러한 의미에서, 사칙연산이 자유롭게 수행할 수 있는 집합의 추상화로서 체의 개념이 나타난다. 즉, 유리수 전체가 만드는 집합 '''Q'''는 체이다.

실수는 유리수의 극한으로 표현되며, 이를 통해 유리수의 연산으로부터 실수의 연산이 모순 없이 정의된다. 즉, 임의의 실수 ''x'', ''y'' (''y'' ≠ 0)에 대해 를 만족하는 유리수의 수열 {''x''_''n''}_{''n'' ∈ '''N'''}, {''y''_''n''}_{''n'' ∈ '''N'''}} (예를 들어, ''x'', ''y''의 소수 표시를 제 n 자리까지 자른 것을 ''x''_''n'', ''y''_''n''로 하는 수열)이 주어졌을 때

:$x/y\; :=\; \backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}x\_n/y\_n$

으로 정의하면, 이 값은 극한값이 ''x'', ''y''인 한 수열의 선택에 관계없이 일정한 값을 갖는다. 이것을 실수의 몫으로 정의하는 것이다.

6. 복소수의 나눗셈

두 복소수를 나눌 때(나누는 수가 0이 아닌 경우) 분모의 켤레복소수를 이용하여 다른 복소수를 얻는다. 이 과정을 '실수화' 또는 유리화라고 한다.

:$$\{p+iq\; \backslash over\; r+is\}\; =\; \{(p+iq)(r-is)\; \backslash over\; (r+is)(r-is)\}\; =\; \{pr+qs\; +\; i(qr-ps)\; \backslash over\; r^2+s^2\}\; =\; \{pr+qs\; \backslash over\; r^2+s^2\}\; +\; i\{qr-ps\; \backslash over\; r^2+s^2\}.$$

여기서 p, q, r, s는 모두 실수이며, r과 s가 모두 0이 될 수는 없다.

극형식으로 표현된 복소수의 나눗셈은 위의 정의보다 간단하다.

:$$\{p\; e^\{iq\}\; \backslash over\; r\; e^\{is\}\}\; =\; \{p\; e^\{iq\}\; e^\{-is\}\; \backslash over\; r\; e^\{is\}\; e^\{-is\}\}\; =\; \{p\; \backslash over\; r\}e^\{i(q\; -\; s)\}.$$

마찬가지로 모든 네 가지 양 p, q, r, s는 실수이며, r은 0이 될 수 없다.

실수의 나눗셈을 이용하면 0을 제외한 임의의 두 복소수에 대해 복소수의 나눗셈을 정의할 수 있다.

두 복소수 ''z'', ''w''에 대해, ''w''의 켤레복소수 를 이용하면, 복소수의 나눗셈 ''z''/''w''는 다음과 같이 계산할 수 있다(단, 나누는 수 ''w''는 0이 아님).

:$\backslash frac\{z\}\{w\}\; =\; \backslash frac\{z\}\{w\}\backslash frac\{\backslash overline\{w\}\}\{\backslash overline\{w\}\}\; =\; \backslash frac\{z\backslash overline\{w\}\}\{\backslash left|w\backslash right|^2\}.$

또한, 복소수 ''z'', ''w''의 실수부와 허수부를 네 개의 실수 Re ''z'', Im ''z'', Re ''w'', Im ''w''를 이용하여 ''z'' = Re ''z'' + ''i'' Im ''z'', ''w'' = Re ''w'' + ''i'' Im ''w''로 나타내면, 복소수의 나눗셈 ''z''/''w''는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash frac\{z\}\{w\}$

= \frac{\operatorname{Re}z + i\operatorname{Im}z}{\operatorname{Re}w + i\operatorname{Im}w}

= \frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Re}w + \operatorname{Im}z\operatorname{Im}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}

+ i\,\frac{\operatorname{Re}z\operatorname{Im}w - \operatorname{Im}z\operatorname{Re}w}{(\operatorname{Re}w)^2 + (\operatorname{Im}w)^2}

.

극형식에서는

: $\backslash frac\{z\}\{w\}=\backslash frac\{|z|e^\{i\backslash arg\; z\}\}\{|w|e^\{i\backslash arg\; w\}\}=\backslash frac$

e^{i(\arg z-\arg w)}

로 쓸 수 있다. 마찬가지로 ''w'' = 0인 경우에는 정의되지 않는다.

7. 다항식의 나눗셈

체(field) 위의 한 변수에 대한 다항식에 대해 나눗셈을 정의할 수 있다. 정수의 경우와 마찬가지로 나머지가 존재한다. 다항식의 유클리드 나눗셈을 참조하며, 손으로 계산하는 경우 다항식의 장 나눗셈 또는 조립제법을 사용한다.

8. 행렬의 나눗셈

행렬의 나눗셈은 역행렬을 이용하여 정의할 수 있다. 행렬 곱셈은 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈이 다를 수 있다.

일반적으로 행렬의 나눗셈은 로 정의하지만, 혼동을 피하기 위해 를 명시적으로 쓰는 것이 훨씬 더 일반적이다.

왼쪽 나눗셈은 로 정의할 수 있다. 이것이 잘 정의되려면,는 존재해야 한다. 혼동을 피하기 위해 로 정의된 나눗셈을 이러한 맥락에서는 오른쪽 나눗셈이라고 부르기도 한다.

왼쪽 나눗셈과 오른쪽 나눗셈이 이렇게 정의되면, 는 일반적으로 와 같지 않으며, 도 와 같지 않다. 그러나 및 가 성립한다.

역행렬 및/또는 이 존재하지 않는 경우의 문제를 피하기 위해, 나눗셈은 유사역행렬을 이용한 곱셈으로 정의될 수도 있다. 즉, 및 이며, 여기서 및 는 각각 ''A''와 ''B''의 유사역행렬을 나타낸다.

9. 0으로 나누기

대부분의 수학 체계에서 어떤 수를 0으로 나누는 것은 정의되지 않는다. 0에 어떤 유한한 수를 곱해도 항상 곱의 결과가 0이기 때문이다.^[15] 대부분의 계산기에 이러한 식을 입력하면 오류 메시지가 나타난다. 그러나 특정한 고급 수학에서는 영환과 휠과 같은 대수를 통해 0으로 나누기가 가능하다.^[16] 이러한 대수에서는 나눗셈의 의미가 기존 정의와 다르다.

대수적으로 나눗셈은 곱셈의 역연산으로 정의된다. 즉, a를 b로 나누는 나눗셈은 a = b x x를 만족시키는 유일한 x를 구하는 연산이다. 여기서, 0으로 나누는 경우, a = 0 x 가 되어 x의 값은 정해지지 않는다. a가 0이 아니라면 a = 0 x 인 x는 존재하지 않으므로, 0으로 나누는 나눗셈은 정의할 수 없다. 즉, 실수가 갖는 대수적 구조와 0으로 나누는 것은 양립하지 않는다.

10. 계산 방법

나눗셈은 손으로 계산하거나 도구를 이용하여 계산할 수 있다. 손으로 계산하는 방법에는 장제법과 단제법이 있다. 장제법은 나누는 수가 클 때 사용하고, 단제법은 나누는 수가 작을 때 사용한다.^[14] 246 ÷ 2의 경우, 다음과 같이 장제법으로 계산할 수 있다.

:$\backslash ;\backslash ;\; \backslash begin\{array\}\{r\; \}\; 123\; \backslash end\{array\}\; \backslash ;\backslash ;$

:$2\; \backslash begin\{array\}$

11. 한국의 나눗셈 역사

주판을 이용한 나눗셈에서는 과거 에도 시대부터 쇼와 시대 이전까지는 곱셈구구를 이용한 귀제법이 사용되었으나, 쇼와 시대 이후부터는 곱셈구구를 거꾸로 사용하는 상제법이 표준이 되고 있다.^[19] '와리산텐카'(割算天下一)를 자칭했던 모리 시게노(毛利重能)의 저서 "와리산쇼"(割算書)에 따르면, 나눗셈의 기원은 다음과 같다.^[19]

나눗셈은 유대 베들레헴에 있는 지혜의 나무에 백 가지 맛을 지닌 영혼의 열매를 인류 최초의 부부인 아담과 이브가 둘로 나눈 것에서 기원한다고 전해진다.^[19]

참조

_[1] 서적 Arithmetic Alexander Thom & Company 1887
_[2] MathWorld Division by Zero
_[3] 서적 Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics Penguin Books 2004
_[4] MathWorld Division
_[5] MathWorld Integer Division
_[6] 웹사이트 Commutative http://www.mathwords[...] 2018-10-23
_[7] 웹사이트 Associative Operation http://www.mathwords[...] 2018-10-23
_[8] 웹사이트 Order of arithmetic operations https://math.berkele[...]
_[9] 웹사이트 The Order of Operations http://eduplace.com/[...] Education Place
_[10] 서적 A History of Mathematical Notations https://archive.org/[...] Open Court Pub. Co.
_[11] 서적 The Unicode® Standard: Version 10.0 – Core Specification Unicode Consortium 2017-06-01
_[12] 서적 Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8 Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner)
_[13] 서적 History Of Mathematics Vol II https://archive.org/[...] Ginn And Company
_[14] 서적 Advanced Abacus: Theory and Practice https://books.google[...] Tuttle Publishing 2012-07-09
_[15] 웹사이트 Division by Zero http://mathworld.wol[...] 2018-10-23
_[16] 웹사이트 On Division by Zero https://www2.math.su[...] 2018-10-23
_[17] 웹사이트 意外と知らない、計算記号「＋」「－」「×」「÷」の由来 https://www.esquire.[...]
_[18] 논문
_[19] 논문

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