가군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 준동형
3. 가군의 크기
4. 성질
- 4.1. 범주론적 성질
- 4.2. 대수기하학적 성질
5. 종류
6. 예
7. 표현론과의 관계
8. 일반화
참조

1. 개요

가군은 환 위의 대수적 구조로, 벡터 공간과 유사한 성질을 갖지만, 환의 원소를 스칼라로 사용한다. 가군은 환 R과 가군 M으로 구성되며, 덧셈과 스칼라 곱셈 연산을 통해 정의된다. 가군의 크기를 나타내는 여러 척도와 다양한 종류의 가군들이 존재하며, 특히 자유 가군, 사영 가군, 평탄 가군, 꼬임 없는 가군 등이 있다. 가군은 대수기하학에서 가군층으로 해석될 수 있으며, 표현론과도 밀접한 관련이 있다. 가군은 가법적 함자 또는 가군층으로 일반화될 수 있으며, 반환 위에서도 정의될 수 있다.

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가군

2. 정의

환 $R$ 위의 '''왼쪽 가군'''(left module^영어) $M$ 은 아벨 군 $(M, +)$ 과 스칼라 곱셈이라 불리는 연산 $\cdot: R \times M \to M$ 으로 이루어진 대수 구조이다. 이 연산은 모든 $r, s \in R$ 과 $x, y \in M$ 에 대해 다음 네 가지 공리를 만족해야 한다.

# $r \cdot (x + y) = r \cdot x + r \cdot y$ (분배 법칙)

# $(r + s) \cdot x = r \cdot x + s \cdot x$ (분배 법칙)

# $(rs) \cdot x = r \cdot (s \cdot x)$ (결합 법칙)

# $1_R \cdot x = x$ (곱셈 항등원 $1_R \in R$ 의 작용)

스칼라 곱셈 기호 $\cdot$ 는 종종 생략하고 $rx$ 와 같이 표기하기도 한다. $M$ 이 왼쪽 $R$ -가군임을 강조할 때는 $_R M$ 으로 쓰기도 한다.

마찬가지로 '''오른쪽 가군'''(right module^영어) $M_R$ 은 아벨 군 $(M, +)$ 과 연산 $\cdot: M \times R \to M$ 으로 구성되며, 모든 $r, s \in R$ 과 $x, y \in M$ 에 대해 다음 공리를 만족한다.

# $(x + y) \cdot r = x \cdot r + y \cdot r$

# $x \cdot (r + s) = x \cdot r + x \cdot s$

# $x \cdot (rs) = (x \cdot r) \cdot s$

# $x \cdot 1_R = x$

오른쪽 $R$ -가군은 $R$ 의 반대환 $R^{\operatorname{op}}$ 위의 왼쪽 가군과 동일한 개념이다.

일부 문헌에서는 환 $R$ 이 곱셈 항등원 $1_R$ 을 갖는다는 가정을 하지 않기도 한다. 이 경우, 위 정의에서 네 번째 조건(항등원 조건)을 제외한 구조를 가군이라고 하며, 네 번째 조건까지 만족하는 가군은 '''단위적 가군'''(unital module^영어)이라고 구별하여 부른다.^[2] 유사환(곱셈 항등원이 없을 수 있는 환) 위의 가군은 이처럼 항등원 조건 없이 정의된다. 하지만 특별한 언급이 없는 한, 보통 환과 가군은 단위적이라고 가정한다.

만약 $M$ 이 동시에 왼쪽 $R$ -가군이자 오른쪽 $S$ -가군이고, 두 연산이 $(r \cdot x) \cdot s = r \cdot (x \cdot s)$ 와 같이 호환될 경우, $M$ 을 ( $R$ , $S)-''' 쌍가군'''(bimodule$ ^영어)이라고 한다.환 $R$ 이 가환환일 때는 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구분이 실질적으로 의미가 없으므로^[6], 단순히 ''' $R$ -가군'''이라고 부른다.

왼쪽 $R$ -가군은 아벨 군 $(M,+)$ 과 환 준동형 $R \to \operatorname{End}(M)$ 의 쌍으로도 이해할 수 있다. 여기서 $\operatorname{End}(M)$ 은 $M$ 의 자기 준동형들로 이루어진 환이다. 즉, 가군은 환의 원소들이 작용하는 아벨 군으로 볼 수 있으며, 이는 군의 표현론을 일반화한 것으로 생각할 수 있다.

가군은 벡터 공간의 개념을 일반화한 것이다. 벡터 공간에서는 스칼라들이 체를 이루지만, 가군에서는 스칼라들이 환이기만 하면 된다. 이 일반화 덕분에 가환 대수학에서는 아이디얼이나 몫환과 같은 중요한 대상들을 가군이라는 통일된 틀 안에서 다룰 수 있다. 비가환 대수학에서는 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼과 가군의 구분이 더욱 중요해진다.

가군 이론은 벡터 공간이 가지는 좋은 성질들을 가능한 한 일반적인 환 위의 가군으로 확장하려는 시도를 포함한다. 예를 들어, 주 아이디얼 정역과 같이 "성질이 좋은" 환 위의 가군에서는 벡터 공간과 유사한 성질들이 많이 나타난다. 하지만 일반적인 가군은 벡터 공간보다 훨씬 복잡한 구조를 가질 수 있다. 예를 들어, 모든 가군이 벡터 공간처럼 기저를 가지는 것은 아니다. 기저를 가지는 가군(자유 가군)이라 할지라도, 그 기저의 크기(원소의 개수)가 유일하지 않을 수도 있다. 이는 기초환 $R$ 이 불변 기저 수 성질을 만족하지 않는 경우에 발생할 수 있다. 반면, 모든 벡터 공간은 (일반적으로 선택 공리를 가정할 때) 항상 기저를 가지며 그 기저의 크기는 유일하다.

2. 1. 준동형

환

R

위의 두 왼쪽 가군

M

,

N

사이의 사상

f\colon M \to N

가 임의의 원소

m, n \in M

과 스칼라

r, s \in R

에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때,

f

를 '''

R

-가군 준동형'''이라고 한다:^[4]

:

f(rm + sn) = rf(m) + sf(n)

이는 가군의 덧셈 구조(군 준동형)와 스칼라 곱셈 구조(

f(rm)=rf(m)

)를 모두 보존하는 사상임을 의미한다. 오른쪽 가군의 준동형도 유사하게 정의된다.

R

-가군 준동형은

R

-'''선형 사상'''이라고도 부른다.

전단사인 가군 준동형

f\colon M \to N

는 '''가군 동형 사상'''이라고 하며, 이때 두 가군

M

과

N

은 서로 '''동형'''이라고 한다. 동형인 두 가군은 원소의 표기 방식만 다를 뿐, 가군으로서의 구조는 완전히 동일하여 실질적으로 같은 대상으로 취급할 수 있다.

가군 준동형

f\colon M \to N

의 '''핵'''(

\ker f

)은

f

에 의해

N

의 덧셈 항등원 0으로 보내지는

M

의 모든 원소들로 구성된 집합으로,

M

의 부분 가군을 이룬다.

f

의 '''상'''(

\operatorname{im} f

또는

f(M)

)은

M

의 모든 원소

m

에 대한 함숫값

f(m)

들로 구성된 집합으로,

N

의 부분 가군을 이룬다.^[4]

군이나 벡터 공간에서 성립하는 동형 정리는

R

-가군에 대해서도 유효하다. 구체적으로, 준동형

f\colon M \to N

에 대하여 몫가군

M/\ker f

는 상

\operatorname{im} f

와 동형이다. 즉,

M/\ker f \cong \operatorname{im} f

이다.

주어진 환

R

에 대하여, 모든 왼쪽

R

-가군들과 그 사이의 가군 준동형들을 모아 하나의 범주를 구성할 수 있으며, 이를

R

-'''Mod'''로 표기한다. 이 범주는 아벨 범주의 중요한 예시 중 하나이다. 오른쪽

R

-가군과 그 준동형들도 마찬가지로 '''Mod'''-

R

이라는 아벨 범주를 형성한다.

3. 가군의 크기

가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.

3. 1. 길이

가군의 '''길이'''는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.

3. 2. 크룰 차원

가환환

R

위의 가군의 '''크룰 차원'''은 가군을

\operatorname{Spec}R

위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다.

3. 3. 계수

정역

R

위에 정의된 가군

M

의 '''계수'''(rank^영어)는 다음과 같이 두 가지 방식으로 정의할 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.^[8]

가군 $M$ 과 $R$ 의 분수체 $\operatorname{Frac}R$ 의 텐서곱 $M\otimes_R\operatorname{Frac}R$ 을 생각하자. 이는 $\operatorname{Frac}R$ 위의 벡터 공간을 이루며, 이 벡터 공간의 차원을 $M$ 의 계수로 정의한다. 즉, $\operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}\left(M\otimes_R\operatorname{Frac}R\right)$ 이다.
가군 $M$ 의 부분 집합 중 $R$ 에 대해 선형 독립인 집합들의 최대 크기를 $M$ 의 계수로 정의한다. 여기서 $R$ -선형 독립 집합이란, 부분 집합 $B\subseteq M$ 에 대해 다음 조건을 만족하는 경우를 말한다: 임의의 함수 $f\colon B \to R$ 에 대하여, 만약 $\{b\in B\mid f(b)\ne 0\}$ 가 유한 집합이고 $\textstyle\sum_{b\in B}f(b)b=0$ 이라면, 반드시 $\{b\in B\mid f(b)\ne 0\}=\varnothing$ 이어야 한다.

아벨 군의 계수는 이를 정수환 위의 가군으로 보았을 때의 계수와 동일하다. 마찬가지로, 체 위의 벡터 공간의 차원은 이를 해당 체 위의 가군으로 간주했을 때의 계수와 같다.

3. 4. 호몰로지 차원

호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 '''사영/단사 차원'''(projective/injective dimension^영어)은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다.

4. 성질

정역 $R$ 위의 가군에 대해, 부분 가군 $N \subseteq M$ 이 있을 때 다음과 같은 짧은 완전열을 생각할 수 있다.

: $0\to N\to M\to M/N\to0$

이 완전열에서 각 가군의 계수 사이에는 다음과 같은 덧셈 관계가 성립한다.

: $\operatorname{rank}_RM=\operatorname{rank}_RN+\operatorname{rank}_R(M/N)$

이 성질은 정역 $R$ 의 분수체 $\operatorname{Frac}R$ 가 $R$ 에 대해 평탄 가군이라는 사실로부터 유도된다. 평탄 가군은 텐서곱 연산( $\otimes_R \operatorname{Frac}R$ )을 취했을 때 짧은 완전열을 보존하는 성질을 가지므로, 원래의 짧은 완전열은 $\operatorname{Frac}R$ 위의 벡터 공간에 대한 다음과 같은 완전열로 변환된다.

: $0\to N\otimes_R\operatorname{Frac}R\to M\otimes_R\operatorname{Frac}R\to(M/N)\otimes_R\operatorname{Frac}R\to0$

벡터 공간의 차원은 완전열에서 덧셈 관계를 만족하므로, 위 계수 공식이 성립함을 알 수 있다.

4. 1. 범주론적 성질

환

R

에 대하여, 왼쪽 가군의 범주를

R\text{-Mod}

, 오른쪽 가군의 범주를

\text{Mod-}R

라고 표기한다. 이 두 범주 사이에는 범주의 동치 관계가 성립한다:

:

R^{\operatorname{op}}\text{-Mod}\simeq\text{Mod-}R

여기서

R^{\operatorname{op}}

는

R

의 반대환(opposite ring)을 의미한다. 만약

R

가 가환환일 경우, 왼쪽 가군과 오른쪽 가군의 구분이 없어지므로 간단히

\operatorname{Mod}_R

로 표기한다.^[6]

R\text{-Mod}

와

\text{Mod-}R

는 모두 아벨 범주를 이룬다. 이는 가군들 사이의 가군 준동형을 사상으로 가지며, 핵, 상, 쌍대핵, 쌍대 상 등이 잘 정의되고 여러 중요한 성질(예: 동형 정리)이 성립함을 의미한다.

가군의 범주에는 다음과 같은 중요한 연산들이 존재한다:

연산 종류	설명	기호
영 대상	모든 원소가 0인 자명 가군	$\{0\}$
곱	가군들의 직접곱. 유한 개의 가군에 대한 곱은 직합과 동일하다.	$\prod_{i\in I}M_i$
쌍대곱	가군들의 직합. 유한 개의 가군에 대한 직합은 직접곱과 동일하다.	$\bigoplus_{i\in I}M_i$
텐서곱	가군들의 텐서곱. 이는 가군 구조를 보존하는 중요한 구성 방법이다.	$\bigotimes_{R} M_i$ (R-가군의 경우)

왼쪽 ''R''-가군들과 그 사이의 가군 준동형들의 모임은 범주 $R\text{-Mod}$ 를 형성하며, 이 범주는 아벨 범주이다. 마찬가지로 오른쪽 ''R''-가군들과 그 준동형들도 아벨 범주 $\text{Mod-}R$ 를 형성한다.

4. 2. 대수기하학적 성질

가환환

R

위의 가군은 대수기하학적으로 해석될 수 있다. 대수기하학에서 가환환

R

은 특정 "공간" 위의 함수들의 모임, 즉 함수환으로 간주되는데, 이 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼

\operatorname{Spec}R

이라고 불리는 스킴이다. 스킴

\operatorname{Spec}R

을 구성하는 점들은

R

의 소 아이디얼

\mathfrak p

들이다.

R

위의 가군

M

은 스킴

\operatorname{Spec}R

위에 정의된 가군층을 형성한다.^[9] 이 가군층에서 각 점

\mathfrak p

에 대응하는 구조(올, stalk)는 원래 가군

M

을 해당 점

\mathfrak p

에서 국소화한

M_{\mathfrak p}

이다.

만약 가군

M

이 유한하게 생성되고 사영 가군의 조건을 만족한다면, 세르-스완 정리에 의해 이 가군은 유한한 차원을 가지는 대수적 벡터 다발로 간주될 수 있다. 만약

M

이 자유 가군

R^{\oplus\kappa}

의 형태라면, 이는 가장 기본적인 형태의 대수적 벡터 다발, 즉 자명한 대수적 벡터 다발에 해당한다.

5. 종류

가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재하며, 서로 포함 관계를 가진다.

:'''자유 가군''' ⊆ '''사영 가군''' ⊆ '''평탄 가군''' ⊆ '''꼬임 없는 가군'''

만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다.

국소환 또는 주 아이디얼 정역 위에서는 '''자유 가군'''과 '''사영 가군'''이 같은 개념이 된다.
완전환(perfect ring^영어, 예를 들어 아르틴 환 등) 위에서는 '''사영 가군'''과 '''평탄 가군'''이 같은 개념이 된다.
데데킨트 정역 위에서는 '''평탄 가군'''과 '''꼬임 없는 가군'''이 같은 개념이 된다.

'''단사 가군'''은 사영 가군의 쌍대(dual) 개념으로 정의되며, 위의 가군들과는 직접적인 포함 관계를 갖지 않는다.

이 외에도 다양한 종류의 가군이 있으며, 주요 가군의 정의는 다음과 같다.

종류	정의
유한 생성 가군	가군의 모든 원소를 유한 개의 특정 원소들의 선형 결합으로 표현할 수 있는 가군이다. 즉, 환 R 위의 왼쪽 가군 M에 대해, 유한 집합 B ⊆ M이 존재하여 임의의 m ∈ M을 m = Σ_b∈B r_bb (r_b ∈ R) 형태로 나타낼 수 있다.
순환 가군	단 하나의 원소로 생성되는 가군이다. 유한 생성 가군의 특별한 경우이다.
자유 가군	기저를 갖는 가군이다. 이는 계수환 R의 여러 복사본의 직합과 동형인 가군과 같다. 벡터 공간과 유사하게 다룰 수 있다.
사영 가군	자유 가군의 직합 인자(direct summand)가 되는 가군이다. 즉, 다른 가군 N이 존재하여 M ⊕ N이 자유 가군이 될 때 M을 사영 가군이라 한다. 자유 가군의 좋은 성질들을 많이 공유한다.
단사 가군 (주입 가군)	사영 가군의 쌍대 개념으로 정의되는 가군이다. 가군 준동형사상을 확장하는 성질을 가진다.
평탄 가군	다른 가군과의 텐서 곱 연산을 했을 때 단사 준동형사상을 보존하는 가군이다. 즉, R-가군의 완전열과의 텐서 곱 연산이 완전성을 보존한다.
꼬임 없는 가군	환 R의 영인자가 아닌(정칙) 원소 r에 대해, rm = 0 이면 반드시 m = 0 인 가군이다. 즉, 0이 아닌 원소는 환의 정칙원소에 의해 소멸되지 않는다.
단순 가군 (기약 가군)	자기 자신과 영가군 {0} 외에는 부분 가군을 갖지 않는, {0}이 아닌 가군이다. 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다.^[5]^[7]
반단순 가군	단순 가군들의 직합으로 표현될 수 있는 가군이다. 역사적으로 완전 가약 가군이라고도 불렸다.
직기약 가군	{0}이 아닌 두 부분 가군의 직합으로 분해할 수 없는, {0}이 아닌 가군이다. 모든 단순 가군은 직기약 가군이지만, 그 역은 성립하지 않는다 (예: 균등 가군).
충실 가군	환 R의 0이 아닌 모든 원소 r에 대해, r의 작용이 자명하지 않은(즉, rx ≠ 0 인 x가 가군 내에 존재하는) 가군이다. 이는 가군의 소멸자가 영 아이디얼인 것과 같다.
뇌터 가군	모든 부분 가군이 유한 생성 가군인 가군이다. 또는 부분 가군들의 오름 사슬(ascending chain)이 항상 유한한 단계에서 끝나는 조건을 만족하는 가군 (상승 사슬 조건)이다.
아르틴 가군	부분 가군들의 내림 사슬(descending chain)이 항상 유한한 단계에서 끝나는 조건을 만족하는 가군 (하강 사슬 조건)이다.
등급 가군	등급환 R = ⊕_x R_x 위에서 M = ⊕_x M_x 와 같이 직합 분해되고, 모든 x, y에 대해 R_xM_y ⊆ M_x+y 를 만족하는 가군이다.
균등 가군	{0}이 아닌 임의의 두 부분 가군의 교집합이 항상 {0}이 아닌 가군이다.

벡터 공간은 모든 스칼라가 체를 이루는 특별한 경우의 가군으로 볼 수 있다. 가군은 스칼라가 환이기만 하면 되므로 벡터 공간보다 훨씬 일반적인 개념이다. 가환환론에서 중요한 아이디얼이나 잉여환 등도 환 위의 가군으로 간주할 수 있어, 관련된 논의를 가군의 언어로 통일적으로 다룰 수 있다.

그러나 가군은 벡터 공간보다 구조가 복잡하다. 예를 들어, 모든 가군이 기저를 갖는 것은 아니며, 기저를 갖는 자유 가군조차도 계수환이 불변 기저수 성질 조건을 만족하지 않으면 기저의 원소 개수(계수)가 유일하지 않을 수 있다. 이는 선택 공리를 가정하면 모든 벡터 공간이 기저를 가지며 그 기저의 크기(차원)가 항상 유일하다는 점과 대조된다.

6. 예

특별한 환 위의 가군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

환	가군
체 $K$	$K$ 위의 벡터 공간
정수환 $\mathbb Z$	아벨 군
정수환의 몫환 $\mathbb Z/(n)$	모든 원소의 위수가 $n$ 의 약수인 아벨 군
자명환 $0$	자명 가군 $0$

임의의 환 $R$ 은 스스로 위의 가군이다. 스칼라 곱셈은 환의 곱셈 연산으로 정의된다. 이를 (좌/우) '''정규 가군'''이라고 부른다.
자명군 $\{0\}$ 은 임의의 환 위의 가군을 이룬다. 이를 '''자명 가군'''(trivial module^영어)이라고 한다.
만약 $K$ 가 체이면, $K$ -가군은 $K$ 위의 벡터 공간과 동일한 개념이다. 벡터 공간에서 스칼라는 체의 원소이며, 가군에서 스칼라는 환의 원소이므로, 가군은 벡터 공간의 개념을 일반화한 것이다. 가환대수학에서 아이디얼과 몫환은 모두 가군으로 볼 수 있어, 이들에 대한 논의를 가군의 언어로 통일할 수 있다.
정수환 $\mathbb Z$ 위의 가군, 즉 ''' $\mathbb Z$ -가군'''의 개념은 아벨 군의 개념과 정확히 일치한다. 모든 아벨 군은 $\mathbb Z$ 위의 가군으로 유일한 방식으로 구조를 줄 수 있다. 정수 $n$ 과 군 원소 $x$ 에 대해 스칼라 곱셈 $nx$ 는 다음과 같이 정의된다: $n > 0$ 일 때 $nx = x + \dots + x$ ( $n$ 번 더함), $0x = 0$ , $n < 0$ 일 때 $nx = (-n)(-x)$ . 아벨 군을 가군으로 볼 때, 반드시 기저를 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 꼬임 원소를 갖는 군은 기저를 가질 수 없다.
만약 $K$ 가 체이고, $K[x]$ 가 일변수 다항식환이면, ''' $K[x]$ -가군''' $M$ 은 $K$ -벡터 공간 $M$ 에 $x$ 의 작용(즉, $M$ 에서 $M$ 으로 가는 선형 변환 $T$ )이 추가된 구조로 볼 수 있으며, 이 작용 $T$ 는 $K$ 의 작용과 교환 가능하다. 주 아이디얼 정역 위의 유한 생성 가군에 대한 구조 정리를 이 예시에 적용하면 유리 표준형과 조르당 표준형의 존재를 설명할 수 있다.
만약 $R$ 이 임의의 환이고 $n$ 이 자연수라면, 곱집합 $R^n$ 은 성분별 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해 $R$ 위의 좌가군과 우가군 모두가 된다. $n=0$ 인 경우는 자명 가군 $\{0\}$ 이다. 이러한 가군은 자유 가군이라고 불린다. 만약 $R$ 이 불변 기저수 조건을 만족하면(예: 모든 가환환 또는 체), $n$ 은 이 자유 가군의 계수가 된다.
만약 $M_n(R)$ 이 환 $R$ 위의 $n \times n$ 행렬들의 환이라면, $M_n(R)$ -가군 $M$ 은 $R$ -가군들의 직합으로 분해될 수 있다. 구체적으로, $e_i$ 를 $(i, i)$ -성분만 1이고 나머지는 0인 행렬이라 하면, $e_i M$ 은 $R$ -가군이 되며 $M = e_1 M \oplus \dots \oplus e_n M$ 이다. 반대로, 임의의 $R$ -가군 $M_0$ 에 대해, $M_0^{\oplus n}$ 은 자연스럽게 $M_n(R)$ -가군 구조를 갖는다. 이는 $R$ -가군의 범주와 $M_n(R)$ -가군의 범주가 동치임을 의미한다. 예를 들어, $R^n$ (열벡터 공간)은 좌 $M_n(R)$ -가군이다.
군 $G$ 에 대하여, 군환 $R[G]$ 는 $R$ 위의 자유 가군을 이룬다.
만약 $S$ 가 공집합이 아닌 집합이고, $M$ 이 좌 $R$ -가군이면, 모든 함수 $f : S \to M$ 들의 집합 $M^S$ 는 $(f + g)(s) = f(s) + g(s)$ 와 $(rf)(s) = r(f(s))$ 로 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈을 통해 좌 $R$ -가군이 된다. 우 $R$ -가군의 경우도 비슷하다. 특히, $R$ 이 가환환인 경우, $R$ -가군 준동형들의 집합 $\mathrm{Hom}_R(M, N)$ 은 $R$ -가군이다 (실제로는 $N^M$ 의 부분 가군이다).
만약 $X$ 가 매끄러운 다양체이면, $X$ 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 환 $C^\infty(X)$ 위에서, $X$ 위의 매끄러운 벡터 필드, 텐서 필드, 미분 형식들의 집합은 각각 가군을 형성한다. 더 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 단면들은 $C^\infty(X)$ 위의 사영 가군을 형성하며, 스완 정리에 따르면 모든 사영 가군은 어떤 벡터 다발의 단면 가군과 동형이다.
만약 $R$ 이 임의의 환이고 $I$ 가 $R$ 의 임의의 좌 아이디얼이면, $I$ 는 좌 $R$ -가군이다. 비슷하게 우 아이디얼은 우 $R$ -가군이다.
환 $R$ 에 대해 반대환 $R^{op}$ 는 $R$ 과 동일한 덧셈 구조를 가지나 곱셈 순서가 반대인 환이다 ( $R$ 에서 $ab=c$ 이면 $R^{op}$ 에서 $ba=c$ ). 모든 좌 $R$ -가군 $M$ 은 우 $R^{op}$ -가군으로 볼 수 있고, 모든 우 $R$ -가군은 좌 $R^{op}$ -가군으로 볼 수 있다.
리 대수 위의 가군은 그 보편 포락 대수 위의 가군과 같다.
만약 $R$ 과 $S$ 가 환 준동형 $\phi : R \to S$ 를 갖는 환이라면, 모든 $S$ -가군 $M$ 은 $rm = \phi(r)m$ 으로 정의하여 $R$ -가군으로 볼 수 있다. 특히, $S$ 자체는 이러한 방식으로 $R$ -가군이 된다.

7. 표현론과의 관계

군 ''G''의 체 ''k''에 대한 표현은 군환 ''k''[''G''] 위의 가군으로 이해될 수 있다.

더 일반적으로, ''M''이 좌 ''R''-가군이라고 할 때, 환 ''R''의 원소 ''r''의 작용은 ''M''의 각 원소 ''x''를 ''rx''로 보내는 함수(우가군의 경우 ''xr'')로 정의된다. 이 작용은 필연적으로 아벨 군 (''M'', +)의 군 자기 준동형 사상이 된다. ''M''의 모든 군 자기 준동형 사상의 집합은 End_'''Z'''(''M'')으로 표기하며, 덧셈과 합성 연산에 대해 환을 이룬다. ''R''의 원소 ''r''을 그것에 해당하는 작용(즉, ''x'' ↦ ''rx'' 함수)에 대응시키는 것은 ''R''에서 End_'''Z'''(''M'')으로 가는 환 준동형 사상을 정의한다.

이러한 환 준동형 사상 ''R'' → End_'''Z'''(''M'')을 아벨 군 ''M''에 대한 ''R''의 표현(representation|리프리젠테이션^영어)이라고 부른다. 따라서 좌 ''R''-가군을 정의하는 또 다른 동등한 방법은, 아벨 군 ''M''과 그 위에 주어진 ''R''의 표현 한 쌍으로 구성된 구조라고 말하는 것이다. 이 표현 ''R'' → End_'''Z'''(''M'')은 ''R''의 ''M''에 대한 환 작용이라고도 불린다.

표현 ''R'' → End_'''Z'''(''M'')이 충실하다(faithful|페이스풀^영어)는 것은 이 사상이 단사임을 의미한다. 가군의 언어로 표현하면, 이는 ''R''의 원소 ''r''에 대해, 만약 ''M''의 모든 원소 ''x''에 대해 ''rx'' = 0 이 성립한다면 반드시 ''r'' = 0 이어야 함을 뜻한다. 모든 아벨 군은 정수환 '''Z''' 또는 어떤 잉여류 환 '''Z'''/''n'''''Z''' 위의 충실 가군이다.

8. 일반화

가군의 개념은 여러 방향으로 일반화될 수 있다.

우선, 범주론적 관점에서 일반화할 수 있다. 임의의 환 ''R''은 단 하나의 대상만을 가지는 전가법적 범주로 간주될 수 있다. 이러한 관점에서 좌 ''R''-가군은 ''R''에서 아벨 군의 범주 '''Ab'''로 가는 공변 가법 함자이며, 우 ''R''-가군은 반변 가법 함자이다.^[6] 이는 임의의 전가법적 범주 ''C''에 대해, ''C''에서 '''Ab'''로 가는 가법 함자를 ''C'' 위의 일반화된 좌 가군으로 생각할 수 있음을 시사한다. 이러한 함자들은 함자 범주 ''C''-'''Mod'''를 형성하며, 이는 일반적인 환 위의 가군 범주 ''R''-'''Mod'''를 일반화한 것이다.

둘째로, 가환환 위의 가군은 대수기하학의 언어로 일반화될 수 있다. 환 달린 공간 (''X'', O_''X'')이 주어졌을 때, O_''X''-가군의 층(가군의 층 참조)을 고려할 수 있다. 이들은 범주 O_''X''-'''Mod'''를 형성하며, 이는 현대 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 만약 공간 ''X''가 단 하나의 점으로 이루어져 있다면, 이 범주는 가환환 O_''X''(''X'') 위의 통상적인 가군 범주와 동일하다.

셋째로, 반환 위의 가군을 고려하는 것도 가능하다. 환 위의 가군은 아벨 군 구조를 가지지만, 반환 위의 가군은 가환 모노이드 구조만 가지면 된다. 그럼에도 불구하고 가군 이론의 많은 결과들이 반환 위의 가군에 대해서도 성립한다. 예를 들어, 임의의 반환 ''S''에 대해 ''S'' 위의 행렬들은 반환을 이루며, ''S'' 원소들의 튜플(순서쌍)은 이 행렬 반환 위의 (일반화된 의미에서의) 가군을 형성한다. 이는 벡터 공간의 개념을 더욱 확장하여 이론 컴퓨터 과학 등에서 반환의 개념을 통합하는 길을 열어준다.

마지막으로, 근환 위에서는 가군의 비가환 일반화인 근환 가군을 고려할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Algebra Springer 1974
_[2] 서적 Abstract Algebra John Wiley & Sons, Inc. 2004
_[3] 웹사이트 ALGEBRA II: RINGS AND MODULES http://people.maths.[...] 2016
_[4] 웹사이트 Module Fundamentals https://faculty.math[...]
_[5] 서적 https://books.google[...] 1964
_[6] 문서
_[7] 서적 Irreducible Module https://books.google[...] 1964
_[8] 서적 Commutative ring theory Cambridge University Press 1989-06
_[9] 서적 대수기하학 (하츠혼) Springer 1977

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