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교류 회로

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목차

1. 개요

교류 회로는 시간에 따라 크기와 방향이 주기적으로 변하는 전압 또는 전류가 흐르는 회로를 의미한다. 교류 회로는 저항, 축전기, 코일 등의 소자로 구성될 수 있으며, 각 소자의 연결 방식에 따라 회로의 특성이 달라진다. 저항만 연결된 교류 회로에서는 전압과 전류가 같은 위상을 가지며, 축전기만 연결된 회로에서는 전류가 전압보다 90도 앞선 위상을 갖는다. 코일만 연결된 회로에서는 전류가 전압보다 90도 뒤진 위상을 보인다. RLC 직렬 회로는 저항, 축전기, 코일이 직렬로 연결된 회로로, 회로의 임피던스, 공진 등의 특성을 분석하는 데 중요한 역할을 한다. RLC 회로에 교류 전압이 걸리는 경우, 회로의 임피던스에 따라 전류의 크기와 위상이 결정되며, 유도 리액턴스와 용량 리액턴스가 같아지는 공진 상태에서 전류의 최댓값이 최대가 된다.

2. 저항만 연결된 교류 회로

저항 회로


전원으로부터 발생하는 전압을 V, 저항체의 저항을 R이라 하면, 전원의 전압은 다음과 같이 표현된다.

: V = V_M \sin \omega t

이때 저항체를 지나는 전류는 다음과 같이 구할 수 있다.

: I = \frac{V}{R} = \frac{V_M}{R} \sin \omega t

여기서 전류의 최댓값을 I_M이라 하면, 위 식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: I = I_M \sin \omega t

3. 축전기만 연결된 교류 회로

축전기 회로


전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면 다음과 같다.

:Q = CV = CV_M \sin \omega t

따라서 축전기에 흐르는 전류는 다음과 같다.

:I = \frac{dQ}{dt} = CV_M \omega \cos \omega t

위의 식에서 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

4. 코일만 연결된 교류 회로

코일 회로


전압을 V, 코일의 유도 용량을 L이라 하면, 다음 식이 성립한다.

:L\frac{dI}{dt} = V_M \sin \omega t

따라서 시간에 따른 전류는 아래와 같이 표현할 수 있다.

:I = - \frac{V_M}{ \omega L} \cos \omega t

축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일만 연결된 교류 회로에서도 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

5. RLC 직렬 회로

RLC 회로


저항, 축전기, 코일이 직렬로 연결된 RLC 회로는 교류 회로 분석의 핵심이다. RLC 직렬 회로의 미분방정식과 해, 교류 전압이 걸린 RLC 회로, 임피던스, 공진에 대한 더 자세한 내용은 하위 문서를 참고하라.

5. 1. RLC 직렬 회로의 미분방정식

저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면 다음과 같다.

:\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} + L \frac{d^2Q}{dt^2} = 0

이 미분방정식의 해는 아래와 같다.

:Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t} \cos \sqrt{\frac{1}{LC} - (\frac{R}{2L})^2} t ( \frac{1}{LC} > \frac{R^2}{4L^2}인 경우)

:Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t} ( \frac{1}{LC} = \frac{R^2}{4L^2}인 경우)

:Q=Q_M e^{-(\frac{R}{2L}+\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}})t} ( \frac{1}{LC} < \frac{R^2}{4L^2}인 경우)

한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인 경우의 해는 다음과 같다.

:Q=Q_M e^{-\frac{R}{2L}t} \cos \sqrt{\frac{1}{LC}} t

이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에 2 \pi를 곱한 값을 고유 각운동량\omega _0이라 한다.

: \omega _0 ^2 = \frac{1}{LC}

5. 2. 교류 전압이 걸린 RLC 회로

RLC 회로


RLC 회로에 교류 전압을 가하면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.

:\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} + L \frac{d^2Q}{dt^2} = V_M \sin \omega t

이 미분방정식의 특수해는 다음과 같다.

:Q = \frac{V}{(\omega ^2 L - \frac{1}{C} ) \sin \phi - \omega R \cos \phi} \cos (\omega t + \phi) (이때, \tan \phi = \frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R})

시간이 충분히 흐른 뒤에는 일반해(Q_g (t))를 무시할 수 있으므로, 회로에 흐르는 전류는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:I = \frac{V}{ \sqrt{R^2+(\frac{1}{\omega C} - \omega L)^2}} \sin (\omega t + \phi) (이때, \tan \phi = \frac{\frac{1}{\omega C}-\omega L}{R})

여기서 X_C = \frac{1}{\omega C}를 용량 리액턴스, X_L = \omega L를 유도 리액턴스라고 한다.

5. 2. 1. 임피던스

RLC 회로에서 전류의 흐름을 방해하는 정도를 임피던스라고 하며, 다음과 같이 정의한다.

:Z = \sqrt{R^2+(X_C - X_L)^2}

여기서 R은 저항, X_C = \frac{1}{\omega C}는 용량 리액턴스, X_L = \omega L는 유도 리액턴스이다. (\omega는 각진동수, C는 전기 용량, L은 유도 용량)

임피던스(Z)는 RLC 회로에서 저항(R)과 유사한 역할을 한다. 즉, RLC 회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사하게 동작한다.

RLC 회로에 교류 전압 V가 걸리는 경우, 회로에 흐르는 전류(I)는 다음과 같이 표현된다.

:I = \frac{V}{ \sqrt{R^2+(X_C - X_L)^2}} \sin (\omega t + \phi) (이때, \tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R})

5. 2. 2. 공진

RLC 회로에서 유도 리액턴스 (X_L = \omega L)와 용량 리액턴스 (X_C = \frac{1}{\omega C})가 같아지는, 즉

:\omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

인 경우를 공명이라 한다. 공명 상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.


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