RLC 회로

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1. 개요

RLC 회로는 저항(R), 인덕터(L), 커패시터(C)를 직렬 또는 병렬로 연결하여 구성되며, 전기 공진, 필터링, 발진기, 전압 증폭 등 다양한 응용 분야에 사용되는 중요한 회로이다. RLC 회로의 동작은 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)라는 두 가지 주요 매개변수로 설명되며, 대역폭, Q 팩터, 감쇠 공진 주파수 등 파생 매개변수도 존재한다. RLC 회로는 저역 통과, 고역 통과, 대역 통과, 대역 저지 필터로 사용될 수 있으며, 주파수 조정, 펄스 방전 회로, 전압 증폭 등에 활용된다. 펠릭스 사바리가 1826년 전기 진동을 발견한 이후, 윌리엄 톰슨, 올리버 로지, 하인리히 헤르츠 등의 연구를 통해 RLC 회로의 이론적 토대가 마련되었으며, 1890년대 스파크 갭 송신기에 실용적으로 사용되었다.

2. 기본 개념

RLC 회로는 전압원이나 전류원을 포함하는 전원부와, LC 회로가 직렬 또는 병렬로 연결된 공진부로 구성된다. 전압원과 전류원은 서로 쉽게 변환 가능하므로, RLC 회로는 크게 직렬 LC 회로와 병렬 LC 회로 두 가지로 분류할 수 있으며 이들은 서로 쌍대 회로 관계이다.

RLC 회로의 동작은 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)라는 두 가지 기본 매개변수로 설명된다.

2. 1. 공진

이 회로는 특정 주파수인 공진 주파수()에서 공진하는 중요한 특성을 가진다. 주파수는 헤르츠 단위로 측정되지만, 이 문서에서는 수학적으로 더 편리한 각주파수()를 사용한다. 각주파수는 초당 라디안 단위로 측정되며, 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\omega_0 = 2 \pi f_0 \,.

공진은 에너지가 두 가지 다른 방식, 즉 커패시터가 충전될 때 전기장과 인덕터를 통해 전류가 흐를 때 자기장으로 저장되기 때문에 발생한다. 에너지는 회로 내에서 서로 전달되며 진동할 수 있다. 이는 스프링에 매달린 무게가 위아래로 진동하는 것과 유사한데, 이 두 시스템은 동일한 2차 미분 방정식으로 설명된다. 회로의 저항은 스프링-무게 시스템의 마찰에 해당하며, 마찰은 외부 힘이 없으면 진동을 멈추게 한다. 마찬가지로 RLC 회로의 저항도 회로에 구동 AC 전원이 없으면 진동을 "감쇠"시켜 시간이 지남에 따라 감소시킨다.

공진 주파수는 회로의 임피던스가 최소가 되는 주파수, 또는 임피던스가 순수 실수(순수 저항성)인 주파수로 정의된다. 이는 공진 시 인덕터와 커패시터의 임피던스가 같지만 부호가 반대여서 상쇄되기 때문이다. L과 C가 병렬로 연결된 회로는 최대 임피던스를 가지며, 반공진기로 설명되기도 하지만, 이 현상이 발생하는 주파수도 공진 주파수라고 한다.

RLC 회로의 비감쇠 공진 주파수는 다음과 같다(단위는 라디안 매초).

:

\omega_0 = {1 \over \sqrt{L C}}

헤르츠(초당 주기 수)로 나타내면 다음과 같다.

:

f_0 = {\omega_0 \over 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

LC 공진부의 복소 임피던스 ''Z_LC''가 0이 되면 공진이 일어난다.

:

Z_{LC} = Z_L + Z_C = 0\quad

이러한 임피던스는 각주파수

\omega

의 함수이다.

:

Z_C = {1 \over {j \omega C}}

:

Z_L = j\omega L \quad

\omega=\omega_0

일 때 임피던스의 크기가 0이 된다고 설정하고,

j^2=-1

을 사용하면 다음과 같다.

:

|Z_{LC}|=\omega_0 L -{1\over {\omega_0 C}}=0

:

\omega_0{}^2={1\over{LC}}\Rightarrow\omega_0={1\over\sqrt{LC}}

2. 2. 고유 주파수

이 회로는 특성 주파수인 공진 주파수에서 공진하는 중요한 특성을 가진다. 주파수는 헤르츠 단위로 측정된다.

구동 소스가 제거되거나 전압이 단계적으로 변할 때(0으로 단계적으로 감소하는 것을 포함) 회로는 잠시 동안 계속 진동할 수 있다. 이것은 음차를 두드린 후에도 계속 울리는 방식과 유사하며, 이 효과를 종종 링잉이라고 부른다. 이 효과는 회로의 최대 고유 공진 주파수이며, 일반적으로 구동 공진 주파수와 정확히 일치하지는 않지만, 둘은 대개 서로 매우 가깝다. 다양한 용어가 두 가지를 구별하기 위해 다양한 저자에 의해 사용되지만, 수식어 없는 공진 주파수는 일반적으로 구동 공진 주파수를 의미한다. 구동 주파수는 무감쇠 공진 주파수 또는 무감쇠 고유 주파수라고 할 수 있으며, 최대 주파수는 감쇠 공진 주파수 또는 감쇠 고유 주파수라고 할 수 있다.^[1]

직렬 또는 병렬 공진 회로에서 구동 공진 주파수는 다음과 같은 값을 가진다.

:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C~}} \,~.

이 값은 무손실 LC 회로, 즉 저항기가 없는 회로의 공진 주파수와 정확히 같다. ''구동'' RLC 회로의 공진 주파수는 감쇠가 없는 회로와 같으므로, 무감쇠 공진 주파수이다. 반면에, 공진 주파수 피크 진폭은 저항기의 값에 따라 달라지며 감쇠 공진 주파수로 설명된다. ''고도로 감쇠된'' 회로는 구동되지 않으면 전혀 공진하지 않는다. 링잉의 바로 가장자리에 있는 저항기 값을 가진 회로는 임계 감쇠라고 한다. 임계 감쇠의 양쪽은 저감쇠(링잉이 발생) 및 과감쇠(링잉이 억제)로 설명된다.

2. 3. 감쇠

감쇠는 회로 내의 저항에 의해 발생한다. 이는 회로가 구동원 없이 자연스럽게 공진하는지 여부를 결정한다. 이러한 방식으로 공진하는 회로는 과소 감쇠, 그렇지 않은 회로는 과다 감쇠로 묘사된다. 감쇠(기호 α)는 초당 네이피어로 측정된다. 그러나 무차원 감쇠 계수(기호 ζ, 제타)가 종종 더 유용한 척도이며, 이는 α와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\zeta = \frac {\alpha}{\omega_0}

ζ = 1 인 특수한 경우는 임계 감쇠라고 불리며, 이는 진동의 경계에 있는 회로의 경우를 나타낸다. 이는 진동을 일으키지 않고 적용할 수 있는 최소 감쇠이다.

RLC 회로의 동작을 기술하는 기본적인 두 가지 매개 변수는 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)이다.

감쇠 α는 다음과 같이 정의된다.

직렬 RLC 회로: $\alpha = {R \over 2L }$
병렬 RLC 회로: $\alpha = {1 \over 2RC }$

직렬 및 병렬 RLC 회로의 감쇠 계수 ζ는 공진 주파수 ω₀로 감쇠 α를 나눈 비로, 다음과 같이 표현된다.

직렬 RLC 회로: $\zeta = {\alpha \over\omega_0} = {R \over 2} \sqrt{C\over L}$
병렬 RLC 회로: $\zeta = {\alpha \over\omega_0} = {1 \over 2R}\sqrt{L\over C}$

감쇠 계수는 차원이 없기 때문에, 공진 회로를 해석할 때 감쇠보다 다루기 쉬운 경우가 있다. 감쇠의 차원은 라디안 매초이다.

발진 회로에 응용하는 경우, 감쇠(또는 감쇠 계수)가 작을수록 좋다. 실제로 직렬 RLC 회로의 발진 회로에서는 R을 가능한 작게 하고, 병렬 RLC 회로에서는 R을 가능한 크게 한다. 어느 경우든 RLC 회로는 이상적인 LC 회로의 좋은 근사가 된다.

한편 대역 통과 필터에 응용하는 경우, 감쇠 계수의 값을 적절히 선택함으로써 필터의 통과 대역폭을 설정할 수 있다. 대역폭을 넓게 하려면 감쇠 계수를 크게 하면 된다 (역도 마찬가지). 이는 실제 회로에서는 R과 L의 값을 조정함으로써 이루어진다.

2. 4. 대역폭

공진 효과는 필터링에 사용될 수 있으며, 공진 근처에서 임피던스가 급격하게 변하는 특성은 공진 주파수에 가까운 신호를 통과시키거나 차단하는 데 사용될 수 있다. 대역 통과 필터와 대역 저지 필터 모두 구성할 수 있다. 필터 설계의 핵심 매개변수는 대역폭이다. 대역폭은 차단 주파수 사이에서 측정되며, 대부분 회로를 통과하는 전력이 공진 시 통과하는 값의 절반으로 떨어진 주파수로 정의된다. 이러한 절반 전력 주파수는 두 개가 있는데, 하나는 공진 주파수보다 높고 다른 하나는 낮다.

대역폭()은 다음과 같이 계산된다.

:

\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \,,

여기서 는 하위 절반 전력 주파수이며, 는 상위 절반 전력 주파수이다. 대역폭은 감쇠와 관련이 있으며, 다음과 같이 표현된다.

:

\Delta \omega = 2 \alpha \,,

여기서 단위는 각각 초당 라디안과 초당 네퍼이다. 다른 단위는 변환 인수가 필요할 수 있다. 대역폭의 보다 일반적인 측정은 대역폭을 공진 주파수의 분수로 표현하는 분수 대역폭이며, 다음과 같이 주어진다.

:

B_\mathrm{f} = \frac {\Delta \omega}{\omega_0} \,.

분수 대역폭은 종종 백분율로도 표시된다. 필터 회로의 감쇠는 필요한 대역폭을 얻도록 조정된다. 노치 필터와 같은 좁은 대역 필터는 낮은 감쇠가 필요하다. 넓은 대역 필터는 높은 감쇠가 필요하다.

직렬 구성과 병렬 구성의 대역폭 공식은 서로 역의 관계에 있다. 이 사실은 회로 설계에서 어느 쪽을 사용해야 할지 판단하는 데 유용하다. 하지만 회로 해석에서는 공진 Q값을 시스템의 특성으로 사용하는 경우가 많다.

RLC 회로는 동일한 입력 저항의 수신 회로와 R을 치환하여 대역 통과 필터나 대역 저지 필터로 사용할 수 있다. 직렬 회로의 경우 대역폭 (라디안/초)은 다음과 같다.

:

\Delta \omega = 2 \alpha = 2 \zeta \omega_0 = { R \over L}

마찬가지로 대역폭을 헤르츠로 나타내면 다음과 같다.

:

\Delta f = { \Delta \omega \over 2 \pi } = { \alpha \over \pi } = { \zeta \omega_0 \over \pi } = { R \over 2 \pi L }

대역폭은 주파수 응답이 피크의 절반이 되는 두 주파수의 폭 (통과 대역의 폭 또는 저지 대역의 폭)이다.

2. 5. Q 팩터

Q 팩터(Q factor)는 공진기의 성능을 나타내는 널리 사용되는 척도이다. Q 팩터는 공진 시 회로에 저장된 최대 에너지를 라디안 당 회로에서 소산되는 평균 에너지로 나눈 값으로 정의된다.^[2] 따라서 낮은 Q 값을 가지는 회로는 감쇠가 크고 손실이 많으며, 높은 Q 값을 가지는 회로는 감쇠가 적다. 높은 Q 값을 가지는 회로는 공진 주파수에서 구동될 경우 진폭이 쉽게 극단에 도달한다.

Q 팩터는 대역폭과 관련이 있다. 낮은 Q 값을 가지는 회로는 광대역이고, 높은 Q 값을 가지는 회로는 협대역이다. 실제로 Q 값은 분수 대역폭의 역수이다.

:

Q = \frac{1}{\, B_\mathrm{f} \,} = \frac {\omega_\text{o}}{\, \operatorname{\Delta} \omega \,} \;.

Q 팩터는 대역폭에 반비례하기 때문에 선택성과 정비례한다.

직렬 RLC 회로의 경우, Q 팩터는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[2]

:

Q = \frac {X}{\, R \;} = \frac {1}{\, \omega_\text{o} R\, C \,} = \frac {\, \omega_\text{o} L \,}{R} = \frac{1}{\, R \;} \sqrt{\frac{L}{\, C \,}\,} = \frac{\, Z_\text{o} \,}{R\;} \;,

여기서

\, X  \,

는 공진 시

\, L  \,

또는

\, C  \,

의 리액턴스이며,

\, Z_\text{o} \equiv \sqrt{\frac{L}{\, C \,}\,} \;.

이다.

직렬 구성과 병렬 구성의 대역폭 공식은 서로 역의 관계에 있다. 이 사실은 회로 설계에서 어느 쪽을 사용해야 할지 판단하는 데 유용하다. 하지만 회로 해석에서는 공진 Q값을 시스템의 특성으로 사용하는 경우가 많다.

2. 6. 스케일링된 매개변수

매개변수 ζ, ''B''_f, 그리고 ''Q''는 모두 ω₀에 맞춰 조정된다. 이는 유사한 매개변수를 가진 회로가 동일한 주파수 대역에서 작동하는지 여부와 관계없이 유사한 특성을 공유한다는 것을 의미한다.

3. 회로 구성

RLC 회로는 전원부와 공진부로 구성된다. 전원부는 전압원 또는 전류원으로 구성될 수 있다. 공진부는 LC 회로가 직렬 또는 병렬로 연결된 형태를 가진다. 이러한 조합을 통해 RLC 회로는 네 가지 기본 형태를 가질 수 있다.

직렬 LC부와 전압원
직렬 LC부와 전류원
병렬 LC부와 전압원
병렬 LC부와 전류원

전압원과 전류원은 상호 변환이 가능하므로, RLC 회로는 기본적으로 두 가지 주요 형태로 분류할 수 있다. "직렬 LC부와 전압원" 회로와 "병렬 LC부와 전류원" 회로는 쌍대 회로 관계이다. 마찬가지로, "직렬 LC부와 전류원" 회로와 "병렬 LC부와 전압원" 회로도 쌍대 회로이다.

병렬 RLC 회로의 기본 구성 요소와 단위는 다음과 같다.

기호	설명	단위
V	전원의 전압	볼트 (V)
I	회로에 흐르는 전류	암페어 (A)
R	저항기의 전기 저항	옴 (Ω)
L	코일의 인덕턴스	헨리 (H)
C	콘덴서의 정전 용량	파라드 (F)

병렬 RLC 회로의 복소 어드미턴스는 각 부품의 어드미턴스를 합하여 구할 수 있다.

: ${1\over Z}={1\over Z_L}+{1\over Z_C}+{1\over R}={1\over{j\omega L}}+{j\omega C}+{1\over R}$

복소 임피던스는 각 부품의 복소 임피던스를 병렬 연산하여 구할 수 있다.

: $Z={Z_L}\parallel{Z_C}\parallel{Z_R}={j\omega L}\parallel{\frac{1}{j\omega C}}\parallel{R}$

병렬 RLC 회로에서 전류가 최소가 되는 주파수가 공진 주파수(

\omega_0={1\over\sqrt{LC}}

)이며, 이는 회로가 특정 주파수 대역을 차단하는 밴드 스톱 필터 역할을 함을 의미한다.^[17]

3. 1. 직렬 회로

RLC 직렬 회로에서 세 가지 구성 요소는 모두 전압원과 직렬로 연결되어 있다. 각 구성 요소에 대한 구성 방정식을 키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 대입하여 미분 방정식을 유도할 수 있다. KVL에 따르면,

:

V_\mathrm{R} + V_\mathrm{L} + V_\mathrm{C} = V(t)\,,

여기서 , 및 는 각각 , , 양단의 전압이고, 는 시간에 따라 변하는 전압원의 전압이다. 각 구성 요소의 전압은 다음과 같다.

저항(): $V_R = R\ I(t) \,$
인덕터(): $\, V_\mathrm{L} = L\frac{ \mathrm{d}I(t) }{ \mathrm{d}t } \,$
커패시터(): $\, V_\mathrm{C}=V(0)+ \frac{1}{\,C\,} \int_{0}^t I(\tau) \, \mathrm{d}\tau \,$

이 식들을 KVL 방정식에 대입하면 다음과 같다.

:

RI(t) + L \frac{\, \mathrm{d} I(t) \,}{ \mathrm{d}t } +V(0)+ \frac{1}{\, C \,} \int_{0}^t I(\tau)\, \mathrm{d} \tau = V(t) \;.

전압원이 변하지 않는 전압인 경우, 양변을 시간에 대해 미분하고 로 나누면 다음과 같은 2차 미분 방정식이 된다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} I(t) + \frac{R}{\, L \,} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \frac{1}{\,L\,C\,} I(t) = 0\;.

이는 다음과 같이 더 일반적인 형태로 표현할 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} I(t) + 2 \alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0 \;.

여기서 는 네퍼 주파수 또는 감쇠라고 하며, 자극이 제거된 후 회로의 과도 응답이 얼마나 빨리 사라지는지를 나타낸다. 는 각 공진 주파수이다.^[3] 직렬 RLC 회로의 경우, 이 두 매개변수는 다음과 같다.^[4]

:

\begin{align}\alpha &= \frac{R}{\, 2L \,} \\\omega_0 &= \frac{1}{\, \sqrt{L\,C\,} \,} \;.\end{align}

유용한 매개변수는 감쇠 계수 이며, 다음과 같이 정의된다.^[5]

:

\zeta \equiv \frac{\alpha}{\, \omega_0 \,} \;.

직렬 RLC 회로의 경우 감쇠 계수는 다음과 같다.

:

\zeta = \frac{\, R \,}{2} \sqrt{ \frac{C}{\, L \,} \,} = \frac{1}{\ 2 Q\ } ~.

감쇠 계수의 값은 회로가 나타낼 과도 응답의 유형을 결정한다.^[6]

전하 q를 구하기 위해, 키르히호프 전압 법칙과 전하-전류 관계식(

i(t) =

)을 이용하여 미분 방정식을 구성하고, 이를 정리하면 다음과 같다.

:

+{R \over L}  + {1 \over {LC}} q(t) = {1 \over L} v(t)

여기서,

}}

3. 1. 1. 과도 응답

미분 방정식은 감쇠 계수(ζ)의 값에 따라 세 가지 경우로 나누어 해석할 수 있다.

과다 감쇠 (ζ > 1):

:

I(t) = A_1 e^{-\omega_0 \left( \zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1} \right) t} + A_2 e^{-\omega_0 \left( \zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1} \right) t } \;.

^[9]

과다 감쇠 응답은 진동 없이 과도 전류가 감쇠하는 현상이다.^[10]

부족 감쇠 (ζ < 1):

:

I(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_\mathrm{d} t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_\mathrm{d} t) \,.

^[11]

표준 삼각함수 공식을 적용하면 위 식을 위상 변이가 있는 단일 사인파로 표현할 수 있다.^[12]

:

I(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin( \omega_\mathrm{d} t + \varphi ) \;.

부족 감쇠 응답은 주파수 ω_d에서 감쇠 진동하는 현상이다. 진동은 감쇠 α에 의해 결정된 속도로 감소한다. α의 지수는 진동의 포락선을 나타낸다. B₁과 B₂ (또는 두 번째 형태의 B₃ 및 위상 변이 φ)는 경계 조건에 의해 결정되는 임의의 상수이다. 주파수 ω_d는 다음과 같이 주어진다.^[11]

:

\omega_\mathrm{d} = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt{ 1 - \zeta^2 \,} \;.

ω_d는 감쇠 공진 주파수 또는 감쇠 고유 주파수라고 불린다. 이는 외부 소스 없이 회로가 자연스럽게 진동하는 주파수이다. 외부 진동에 의해 회로가 구동될 때 공진하는 주파수인 ω₀는 비감쇠 공진 주파수라고도 불린다.^[13]

임계 감쇠 (ζ = 1):

:

I(t) = D_1 t e^{ -\alpha t } + D_2 e^{ -\alpha t } \;.

^[14]

임계 감쇠 응답은 진동 없이 가능한 가장 빠른 시간에 감쇠하는 회로 응답을 의미한다. 이는 오버슛 없이 가능한 한 빨리 원하는 상태에 도달해야 하는 제어 시스템에서 중요하게 고려된다. D₁ 및 D₂는 경계 조건에 의해 결정되는 임의의 상수이다.^[15]

3. 1. 2. 라플라스 영역

라플라스 변환을 사용하여 직렬 RLC 회로의 과도 및 정상 상태 동작을 분석할 수 있다.^[16] 전압원이 라플라스 변환된 $V(s)$의 파형을 생성하고, $s$가 복소수 주파수일 때, 키르히호프의 전압 법칙(KVL)을 라플라스 영역에서 적용하면 다음과 같다.

:

V(s) = I(s) \left( R + L\,s + \frac{1}{\,C\,s\,} \right) \,,

여기서 $I(s)$는 모든 구성 요소를 통과하는 라플라스 변환된 전류이다. $I(s)$에 대해 풀고 재정렬하면 다음과 같다.

:

I(s) = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + \frac{R}{\,L\,}s + \frac{1}{\,L\,C\,} \right) \,} V(s) \;.

라플라스 어드미턴스 $Y(s)$는 다음과 같이 구할 수 있다.

:

Y(s) = \frac{ I(s) }{\, V(s) \,} = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + \frac{R}{\,L\,}s + \frac{1}{\,L\,C\,} \right) \,} \;.

앞 절에서 정의된 매개변수 $\alpha$와 $\omega_0$를 사용하여 식을 단순화하면 다음과 같다.

:

Y(s) = \frac{ I(s) }{\, V(s) \,} = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + 2 \alpha s + \omega_0^2 \right) \,} \;.

$Y(s)$의 영점은 $Y(s) = 0$이 되는 $s$의 값으로, 다음과 같다.

:

s = 0 \quad \mbox{and} \quad |s| \rightarrow \infty \;.

$Y(s)$의 극점은 $Y(s) \rightarrow \infty$가 되는 $s$의 값이다. 이차 공식을 이용하면 다음을 얻는다.

:

s = - \alpha \pm \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2 \,} \;.

$Y(s)$의 극점은 이전 절에 있는 미분 방정식의 특성 다항식의 근 $s_1$ 및 $s_2$와 동일하다.

3. 1. 3. 정현파 정상 상태

sinusoidal^영어 정상 상태는 로 표현되며, 여기서 는 허수 단위이다. 이 치환을 사용하여 어드미턴스 방정식의 크기를 구하면 다음과 같다.

:

\big| Y(j \omega) \big| = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\, \omega C \,} \right)^2 } \,} \;.

의 함수로서의 전류는 다음 식으로부터 구할 수 있다.

:

\big| I( j \omega ) \big| = \big| Y(j \omega) \big| \cdot \bigl| V(j \omega) \bigr| \;.

의 피크값이 존재한다. 이 피크에서의 값은, 이 특정 경우, 비감쇠 고유 공진 주파수와 같다.^[17] 이는 저항 양단의 최대 전압, 즉 최대 열 발산이 고유 주파수에서 발생한다는 것을 의미한다.

:

\omega_0 = \frac{1}{\, \sqrt{L\ C\ } \,} \;.

전류의 주파수 응답으로부터 다양한 회로 소자 양단의 전압의 주파수 응답도 결정할 수 있다. 직렬 RLC 회로의 각 소자 양단의 전압에 대한 보드 크기 플롯을 보면, 커패시터 양단의 최대 전압은 다음과 같은 주파수에서 발생한다.

:

\omega_C = \frac{\ \sqrt{ \tfrac{L}{\ C\ } - \tfrac{1}{2} R^2}\ }{ L } \;,

반면 인덕터 양단의 최대 전압은 다음 주파수에서 발생한다.

:

\omega_L = \frac{1}{\ C \sqrt{ \tfrac{L}{\ C\ } - \tfrac{1}{2} R^2\ }\ } \;.

다음이 성립한다:

\omega_C < \omega_0 < \omega_L

.

RLC 직렬 회로의 각 소자 양단의 전압에 대한 보드 크기 플롯. 고유 주파수 , 감쇠비 .

3. 2. 병렬 회로

병렬 RLC 회로의 기호는 다음과 같다.

'''V''' - 전원의 전압 (단위는 볼트 = V)
'''I''' - 회로에 흐르는 전류 (단위는 암페어 = A)
'''R''' - 저항기의 전기 저항 (단위는 옴 = Ω = V/A)
'''L''' - 코일의 인덕턴스 (단위는 헨리 = H = V×s/A)
'''C''' - 콘덴서의 정전 용량 (단위는 파라드 = F = C/V = A×s/V)

이 회로의 복소 어드미턴스는 각 부품의 어드미턴스의 총합으로 구할 수 있다.

:

\frac{1}{\,Z\,} = \frac{1}{\,Z_L\,} + \frac{1}{\,Z_C\,}+\frac{1}{\,Z_R\,} = \frac{1}{\,j\,\omega\,L\,} + j\,\omega\,C + \frac{1}{\,R\,}\,.

또한, 이 회로의 복소 임피던스는 각 부품의 복소 임피던스 전체의 병렬 연산자로 구할 수 있다.

:

Z = Z_L || Z_C || Z_R = j\omega L || \frac{1}{j\omega C} || R

직렬 배치와 병렬 배치의 차이는 그 동작에도 직접적으로 관계된다. 전류

I = {V \over Z}

를 그래프로 그려보면 그것을 한눈에 알 수 있다.

전류가 최소가 되는 주파수가 공진 주파수이며

\omega_0 = {1 \over \sqrt{LC}}

이다.

직렬 연결에서 병렬 연결로의 변경은 회로가 공진에서 최소가 아닌 임피던스 피크를 갖게 하여, 회로가 반공진 회로가 되게 한다.

위쪽 그래프는 회로가 일정한 전압으로 구동될 때, 공진 주파수

~\omega_0 = 1/\sqrt{\,L\,C~}~

에서 전류의 주파수 응답에 최소값이 있음을 보여준다. 반면에, 일정한 전류로 구동될 경우 전압에 최대값이 있을 것이며, 이는 직렬 회로의 전류와 동일한 곡선을 따를 것이다.

병렬 RLC 회로는 밴드 스톱 회로 응답을 나타내어 공진 주파수 부근의 대역을 차단하는 필터 역할을 한다.

3. 3. 기타 구성

'''그림 4.''' 직렬 RL, 병렬 C 회로. 인덕터와 직렬로 연결된 저항은 자기 공진 인덕터의 표준 모델이다.

그림 4와 같이 병렬 LC 회로에서 인덕터와 직렬로 연결된 저항은 코일 권선의 저항과 자체 정전용량을 고려해야 하는 경우 일반적으로 사용되는 구성이다. 병렬 LC 회로는 대역 통과 필터링에 자주 사용되며, 이 저항에 의해 크게 결정된다. 이 회로의 공진 주파수는 다음과 같다.^[19]

:

\ \omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{\ LC\ } - \left( \frac{R}{\ L\ } \right)^2 ~}\ .

이것은 어드미턴스가 허수 부분을 0으로 갖는 주파수로 정의되는 회로의 공진 주파수이다. 특성 방정식의 일반화된 형태(이 회로의 경우 이전과 동일)에 나타나는 주파수는

:

\ s^2 + 2 \alpha s + {\omega'_0}^2 = 0\

동일한 주파수가 아니다. 이 경우 자연, "감쇠되지 않은" 공진 주파수는 다음과 같다.^[20]

:

\ \omega'_0 \equiv \frac{1}{\ \sqrt{ LC ~}\ }\ .

임피던스 크기가 최대인 주파수 는 다음으로 주어진다.^[21]

:

\ \omega_\mathrm{max} = \omega'_0\ \sqrt{ -\frac{1}{\ Q_L^2\ ~} + \sqrt{1 + \frac{2}{\ Q_L^2\ } ~} ~}\ ,

여기서 는 코일의 품질 계수이다. 이것은 다음과 같이 근사할 수 있다.^[21]

:

\ \omega_\mathrm{max} \approx \omega'_0\ \sqrt{ 1 - \frac{1}{\ 2Q^4_L\ } ~}\ .

또한 정확한 최대 임피던스 크기는 다음으로 주어진다.^[21]

:

\ |Z|_\mathrm{max} = \frac{ R Q_L^2 }{\ \sqrt{ 2Q_L\sqrt{Q_L^2 + 2\ } - \left( 2Q_L^2 + 1 \right) ~}\ } =   \frac{ R Q_L }{\ \sqrt{ 2 \sqrt{1 + 2/Q_L^2\ } - \left( 2 + 1/Q_L^2 \right) ~}\ }\ .

의 값의 경우, 이것은 다음과 같이 근사할 수 있다.^[21]

:

\ |Z|_\mathrm{max} \approx R Q_L^2 \ .

'''그림 5.''' 병렬 RC, 직렬 L 회로. 커패시터와 병렬로 연결된 저항

마찬가지로, 직렬 LC 회로에서 커패시터와 병렬로 연결된 저항은 손실성 유전체를 가진 커패시터를 나타내는 데 사용할 수 있다. 이 구성은 그림 5에 나와 있다. 이 경우 공진 주파수(임피던스가 허수 부분을 0으로 갖는 주파수)는 다음과 같다.^[22]

:

\ \omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{\ LC\ } - \frac{1}{\ (RC)^2\ }\ }\ ,

임피던스 크기가 최소인 주파수 는 다음으로 주어진다.

:

\ \omega_\mathrm{m} =\omega'_0\ \sqrt{ -\frac{1}{\ Q_C^2\ } + \sqrt{ 1 + \frac{2}{\ Q_C^2\ }\ }\ }\ ,

4. 주요 파라미터

RLC 회로의 동작을 설명하는 기본적인 두 가지 매개 변수는 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)이다. 이 두 가지 변수에서 파생되는 다른 변수들도 존재한다.^[1] 본 항목에서는 복소수의 허수 단위에 대해 i 대신 j를 사용한다.

감쇠는 회로 내의 저항 때문에 발생하며, 회로가 외부 구동원 없이 자연적으로 공진할지 여부를 결정한다. 감쇠(α)는 초당 네이피어 단위로 측정되지만, 무차원 감쇠 계수(ζ)를 사용하기도 한다. 감쇠 계수는 감쇠를 공진 주파수로 나눈 값이다.

: $\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0}$

ζ < 1 인 경우를 임계 감쇠라고 하며, 이는 진동의 경계에 있는 회로의 상태를 나타낸다. 임계 감쇠는 진동을 일으키지 않고 적용할 수 있는 최소 감쇠이다.

4. 1. 공진 주파수

RLC 회로의 중요한 특성은 특정 주파수, 즉 공진 주파수에서 공진할 수 있다는 것이다. 주파수는 헤르츠 단위로 측정되지만, 수학적으로 더 편리한 각주파수를 사용하기도 한다. 각주파수는 초당 라디안 단위로 측정되며, 다음과 같은 관계를 가진다.^[1]

:

\omega_0 = 2 \pi f_0 \,.

공진 주파수는 회로의 임피던스가 최소가 되는 주파수로 정의된다. 이는 인덕터와 커패시터의 임피던스가 같지만 부호가 반대여서 상쇄되기 때문에 발생한다. RLC 회로에서 구동 공진 주파수는 다음과 같은 값을 가진다.^[1]

:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C~}} \,~.

이는 무손실 LC 회로(저항기가 없는 회로)의 공진 주파수와 정확히 같다. 일반적인 헤르츠 단위(초당 주기 수)로 나타내면 다음과 같다.

:

f_0 = {\omega_0 \over 2 \pi} = {1 \over 2 \pi \sqrt{L C}}

LC 공진부의 복소 임피던스 ''Z_LC''가 0이 되면 공진이 일어난다.

:

Z_{LC} = Z_L + Z_C = 0\quad

이러한 임피던스는 각주파수

\omega

의 함수이다.

:

Z_C = {1 \over {j \omega C}}

:

Z_L = j\omega L \quad

\omega=\omega_0

일 때 임피던스의 크기가 0이 된다고 설정하고,

j^2=-1

을 사용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

:

|Z_{LC}|=\omega_0 L -{1\over {\omega_0 C}}=0

:

\omega_0{}^2={1\over{LC}}\Rightarrow\omega_0={1\over\sqrt{LC}}

4. 2. 감쇠

감쇠는 회로 내의 저항에 의해 발생한다. 이는 회로가 구동원 없이 자연스럽게 공진할지 여부를 결정한다. 이러한 방식으로 공진하는 회로는 과소 감쇠로, 그렇지 않은 회로는 과다 감쇠로 묘사된다. 감쇠(기호 α)는 초당 네이피어로 측정된다. 그러나 무차원 감쇠 계수(기호 ζ, 제타)가 종종 더 유용한 척도이며, 이는 α와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0}

ζ < 1 의 특수한 경우는 ''임계 감쇠''라고 불리며, 이는 진동의 경계에 있는 회로의 경우를 나타낸다. 이는 진동을 일으키지 않고 적용할 수 있는 최소 감쇠이다.

RLC 회로의 동작을 기술하는 기본적인 두 가지 매개 변수는 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)이다. 이 두 가지에서 도출할 수 있는 파생 변수에 대해서는 후술한다.

감쇠 α는 다음과 같이 정의된다.

직렬 RLC 회로:

:

\alpha = \frac{R}{2L}

병렬 RLC 회로:

:

\alpha = \frac{1}{2RC}

4. 3. 감쇠 계수

감쇠는 회로 내의 저항에 의해 발생한다. 이는 회로가 구동원 없이 자연스럽게 공진할지 여부를 결정한다. 이러한 방식으로 공진하는 회로는 과소 감쇠로, 그렇지 않은 회로는 과다 감쇠로 묘사된다. 감쇠(기호 α)는 초당 네이피어로 측정된다. 그러나 무차원 감쇠 계수(기호 ζ, 제타)가 종종 더 유용한 척도이며, 이는 다음과 같이 α와 관련이 있다.

:

ζ = 1 의 특수한 경우는 *임계 감쇠*라고 불리며, 이는 진동의 경계에 있는 회로의 경우를 나타낸다. 이는 진동을 일으키지 않고 적용할 수 있는 최소 감쇠이다.

RLC 회로의 동작을 기술하는 기본적인 두 가지 매개 변수는 공진 주파수와 감쇠(또는 감쇠 계수)이다.

직렬 RLC 회로의 감쇠 계수 ζ는 공진 주파수 ω₀로 감쇠 α를 나눈 비이다.

:

그리고, 병렬 RLC 회로에서도 마찬가지이다.

:

감쇠 계수는 차원이 없기 때문에, 공진 회로를 해석할 때 감쇠보다 다루기 쉬운 경우가 있다. 감쇠의 차원은 라디안 매초이다.

5. 파생 파라미터

RLC 회로의 기본 파라미터에서 파생되는 파라미터로는 대역폭, Q 팩터, 감쇠 공진 주파수 등이 있다.

'''대역폭'''은 별도 섹션에서 자세히 설명한다.
'''Q 팩터'''는 별도 섹션에서 자세히 설명한다.
'''감쇠 공진 주파수'''는 별도 섹션에서 자세히 설명한다.

직렬 구성과 병렬 구성의 대역폭 공식은 서로 역의 관계에 있어, 회로 설계에서 어느 쪽을 사용해야 할지 판단하는 데 유용하다. 하지만 회로 해석에서는 공진 Q값을 시스템의 특성으로 사용하는 경우가 많다.

5. 1. 대역폭

공진 효과는 필터링에 사용될 수 있다. 공진 주파수 근처에서 임피던스가 급격하게 변하는 특성을 이용하여 특정 주파수의 신호를 통과시키거나 차단할 수 있다. 대역 통과 필터와 대역 저지 필터를 모두 구성할 수 있다. 필터 설계의 핵심 매개변수는 대역폭이다. 대역폭은 차단 주파수 사이에서 측정되며, 회로를 통과하는 전력이 공진 시 통과하는 값의 절반으로 떨어지는 주파수로 정의된다. 이러한 절반 전력 주파수는 공진 주파수보다 높은 주파수와 낮은 주파수 두 개가 존재한다.

:

\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \,

여기서

\Delta \omega

는 대역폭,

\omega_1

는 하위 절반 전력 주파수,

\omega_2

는 상위 절반 전력 주파수이다. 대역폭은 감쇠와 다음과 같은 관련이 있다.

:

\Delta \omega = 2 \alpha \,

여기서 단위는 각각 초당 라디안과 초당 네퍼이다. 다른 단위는 변환 인수가 필요할 수 있다. 대역폭의 일반적인 측정은 대역폭을 공진 주파수의 분수로 표현하는 분수 대역폭이며, 다음과 같이 주어진다.

:

B_\mathrm{f} = \frac {\Delta \omega}{\omega_0} \,.

분수 대역폭은 종종 백분율로도 표시된다. 필터 회로의 감쇠는 필요한 대역폭을 얻도록 조정된다. 노치 필터와 같은 좁은 대역 필터는 낮은 감쇠가 필요하고, 넓은 대역 필터는 높은 감쇠가 필요하다.

RLC 회로는 동일한 입력 저항의 수신 회로와 R을 치환하여 대역 통과 필터나 대역 저지 필터로 사용할 수 있다. 직렬 회로의 경우 대역폭 (라디안/초)은 다음과 같다.

:

\Delta \omega  =  2 \alpha  = 2 \zeta \omega_0 = { R \over L}

마찬가지로 대역폭을 헤르츠로 나타내면 다음과 같다.

:

\Delta f  =  { \Delta \omega \over 2 \pi }  =  { \alpha \over \pi } =   { \zeta \omega_0 \over \pi }  =  { R \over 2 \pi L }

대역폭은 주파수 응답이 피크의 절반이 되는 두 주파수의 폭 (통과 대역의 폭 또는 저지 대역의 폭)이다.

5. 2. Q 팩터

Q 팩터(Q factor)는 공진기의 특성을 나타내는 널리 사용되는 척도이다. Q 팩터는 공진 시 회로에 저장된 최대 에너지를 라디안 당 회로에서 소산되는 평균 에너지로 나눈 값으로 정의된다. 따라서 낮은 Q 값의 회로는 감쇠가 크고 손실이 많으며, 높은 Q 값의 회로는 감쇠가 적다. 높은 Q 값의 회로는 공진 주파수에서 구동될 경우 진폭이 쉽게 극단에 도달한다.^[2]

Q 값은 대역폭과 관련이 있다. 낮은 Q 값의 회로는 광대역이고 높은 Q 값의 회로는 협대역이다. 실제로 Q 값은 분수 대역폭의 역수이다.^[2]

:

Q = \frac{1}{\, B_\mathrm{f} \,} = \frac {\omega_\text{o}}{\, \operatorname{\Delta} \omega \,} \;.

Q 팩터는 대역폭에 반비례하기 때문에 선택성과 정비례한다.^[2]

직렬 RLC 회로의 경우, Q 팩터는 다음과 같이 계산할 수 있다.^[2]

:

Q = \frac {X}{\, R \;} = \frac {1}{\, \omega_\text{o} R\, C \,} = \frac {\, \omega_\text{o} L \,}{R} = \frac{1}{\, R \;} \sqrt{\frac{L}{\, C \,}\,} = \frac{\, Z_\text{o} \,}{R\;} \;.

여기서

\, X  \,

는 공진 시

\, L  \,

또는

\, C  \,

의 리액턴스이며,

\, Z_\text{o} \equiv \sqrt{\frac{L}{\, C \,}\,} \;.

이다.

발진 회로에 응용하는 경우, 감쇠(또는 감쇠 계수)가 작을수록 좋다. 직렬 RLC 회로에서는 R을 가능한 작게 하고, 병렬 RLC 회로에서는 R을 가능한 크게 한다.

대역 통과 필터에 응용하는 경우, 감쇠 계수의 값을 적절히 선택하여 필터의 통과 대역폭을 설정할 수 있다. 대역폭을 넓게 하려면 감쇠 계수를 크게 하면 되고, 좁게 하려면 감쇠 계수를 작게 하면 된다.

5. 3. 감쇠 공진 주파수

감쇠 공진 주파수는 외부 소스 없이 회로가 자연적으로 진동하는 주파수를 말한다. 이는 종종 무감쇠 공진 주파수와 구별하기 위해 사용된다.^[13] 감쇠 공진 주파수(

\omega_\mathrm{d}

)는 다음 공식으로 주어진다.^[11]

:

\omega_\mathrm{d} = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt{ 1 - \zeta^2 \,} \;.

여기서

\omega_0

는 비감쇠 공진 주파수이고,

\alpha

는 감쇠,

\zeta

는 감쇠비이다.

이 공식은 부족 감쇠(underdamping) 조건, 즉

\alpha < \omega_0

또는

\zeta < 1

인 경우에 해당한다.^[11]

발진 회로에서는

\alpha \ll \omega_0

또는

\zeta \ll 1

이 성립하므로, 감쇠 공진 주파수는 비감쇠 공진 주파수와 거의 같다고 근사할 수 있다. (

\omega_\mathrm{d} \approx \omega_0

)

6. 회로 해석

RLC 회로는 저항(R), 인덕터(L), 커패시터(C)를 포함하는 전기 회로로, 직렬 또는 병렬로 연결될 수 있다. RLC 회로는 키르히호프의 법칙을 사용하여 해석할 수 있으며, 주파수 영역에서 복소수 임피던스 개념을 사용하여 해석할 수도 있다.

6. 1. 직렬 RLC 회로와 전압원

RLC 직렬 회로는 전압원과 R, L, C 소자가 직렬로 연결된 회로이다. 이 회로는 특정 공진 주파수에서 공진하는 특성을 보인다. 공진은 에너지가 커패시터의 전기장과 인덕터의 자기장 사이에서 진동하며 발생하는 현상이다. 이는 스프링에 매달린 무게가 위아래로 진동하는 것과 유사하다.^[3]

: 전압원의 전압 (V)
: 회로에 흐르는 전류 (A)
: 저항 (Ω)
: 인덕턴스 (H)
: 커패시턴스 (F)

키르히호프의 전압 법칙에 따르면,

:

V_\mathrm{R} + V_\mathrm{L} + V_\mathrm{C} = V(t)\,,

여기서 , , 는 각각 , , 양단의 전압이며, 는 시간에 따라 변하는 전압원의 전압이다. 각 소자의 전압은 다음과 같다.

:

V_R = R\ I(t) \,,

,

\, V_\mathrm{L} = L\frac{ \mathrm{d}I(t) }{ \mathrm{d}t } \,

및

\, V_\mathrm{C}=V(0)+ \frac{1}{\,C\,} \int_{0}^t I(\tau) \, \mathrm{d}\tau \,

이를 위 식에 대입하면,

:

RI(t) + L \frac{\, \mathrm{d} I(t) \,}{ \mathrm{d}t } +V(0)+ \frac{1}{\, C \,} \int_{0}^t I(\tau)\, \mathrm{d} \tau = V(t) \;.

전류 대신 전하 를 사용하고, = 관계를 이용하면, 전하 에 대한 미분방정식은 다음과 같다.

:

L  +{R}  + {1 \over {C}} q(t) = v(t)

양변을 L로 나누면,

:

+{R \over L}  + {1 \over {LC}} q(t) = {1 \over L} v(t)

여기서,

\zeta_N = {R \over 2} \sqrt{C \over L}

및

\omega_0 = { 1 \over \sqrt{LC}}

를 정의하면,

:

+ 2 \zeta_N . \omega_0 + \omega_0^2 q(t) = {1 \over L} v(t)

또는

:

q''+2\zeta_N . \omega_0 q' + \omega_0^2 q = {1 \over L} v(t)

시간에 대해 미분하고 L로 나누면 전류에 대한 2차 미분 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} I(t) + \frac{R}{\, L \,} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \frac{1}{\,L\,C\,} I(t) = 0\;.

이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} I(t) + 2 \alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0 \;.

여기서 는 네퍼 주파수 또는 감쇠, 는 각 공진 주파수이다.^[3] 직렬 RLC 회로에서,

:

\begin{align}\alpha &= \frac{R}{\, 2L \,} \\\omega_0 &= \frac{1}{\, \sqrt{L\,C\,} \,} \;.\end{align}

감쇠 계수 는 다음과 같다.^[5]

:

\zeta \equiv \frac{\alpha}{\, \omega_0 \,} \;.

직렬 RLC 회로에서 감쇠 계수는,

:

\zeta = \frac{\, R \,}{2} \sqrt{ \frac{C}{\, L \,} \,} = \frac{1}{\ 2 Q\ } ~.

감쇠 계수는 회로의 과도 응답 유형을 결정한다.^[6]

6. 1. 1. 주파수 영역

RLC 회로를 주파수 영역에서 해석하기 위해, 복소수 임피던스 개념을 사용한다. 전압원이 복소 진폭 ''V''(''s'')로 각주파수

s = \sigma + j \omega

의 복소 지수 파형을 생성할 때, 키르히호프의 전압 법칙을 적용하면 다음과 같다.^[16]

:

V(s) = I(s) \left ( R + Ls + \frac{1}{Cs} \right )

여기서 ''I''(''s'')는 모든 부품에 흐르는 복소 전류이다. 이를 ''I''(''s'')에 대해 풀면 다음과 같다.

:

I(s) = \frac{1}{ R + Ls + \frac{1}{Cs} } V(s)

이를 변형하면 다음과 같다.

:

I(s) = \frac{s}{ L \left ( s^2 + {R \over L}s + \frac{1}{LC} \right ) } V(s)

^[16]

6. 2. 병렬 RLC 회로와 전류원

병렬 RLC 회로는 전류원과 병렬로 연결된 R, L, C 소자로 구성된다. 각 소자의 어드미턴스는 다음과 같다.

저항(R):
인덕터(L):
커패시터(C):

여기서 는 허수 단위이고, 는 각주파수이다.

회로 전체의 복소 어드미턴스(Y)는 각 소자의 어드미턴스를 합하여 구할 수 있다.

:

\frac{1}{\,Z\,} = \frac{1}{\,Z_L\,} + \frac{1}{\,Z_C\,}+\frac{1}{\,R\,} = \frac{1}{\,j\,\omega\,L\,} + j\,\omega\,C + \frac{1}{\,R\,}

^[3]

이 회로의 복소 임피던스(Z)는 각 부품의 복소 임피던스 전체의 병렬 연산으로 구할 수 있다.

:

Z={Z_L}\parallel{Z_C}\parallel{R}={j\omega L}\parallel{\frac{1}{j\omega C}}\parallel{R}

직렬 RLC 회로와 달리 병렬 RLC 회로는 공진 주파수에서 임피던스가 최대가 되는 반공진 회로이다.

위 그래프는 R = 1 Ω, C = 1 F, L = 1 H, V = 1 V인 병렬 RLC 회로의 주파수 응답을 나타낸다. 그래프에서 볼 수 있듯이, 공진 주파수(

\omega_0={1\over\sqrt{LC}}

)에서 전류가 최소가 된다. 즉, 병렬 RLC 회로는 공진 주파수 부근의 신호를 차단하는 밴드 스톱 필터(band-stop filter)로 동작한다.^[4]

7. 응용

RLC 회로는 선택성을 이용하는 대표적인 회로이다. RLC 회로의 Q 팩터는 선택성과 정비례하며 대역폭에 반비례한다. 즉, Q 팩터가 높을수록 특정 주파수 대역을 더 좁고 정확하게 선택할 수 있다.^[2]

RLC 회로는 이 외에도 필터, 발진 회로, 전압 증폭기, 펄스 방전 회로 등 다양한 분야에 응용된다.

7. 1. 가변 동조 회로

RLC 회로는 아날로그 라디오의 튜닝 회로에 매우 빈번하게 사용된다. 조정 가능한 튜닝은 일반적으로 평행판 가변 커패시터를 통해 달성되며, 이는 값을 변경하여 다른 주파수의 방송국을 선택할 수 있게 한다.^[2] 라디오의 IF단에서 튜닝이 공장에서 미리 설정된 경우, 더 일반적인 해결책은 인덕터 내에 조정 가능한 코어를 사용하여 을 조정하는 것이다. 이 설계에서 코어(인덕턴스를 증가시키는 효과가 있는 높은 투자율 재료로 만들어짐)는 나사산이 있어 필요에 따라 인덕터 권선에서 더 조이거나 더 풀 수 있다.^[2]

7. 2. 필터

대역 저지 필터특정 주파수 대역의 신호만 차단하고 나머지 주파수 대역은 통과시킨다.