각진동수

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1. 개요
2. 정의 및 단위
- 2.1. 주파수와의 관계
3. 각속도와의 차이
4. 여러 가지 예시
5. 활용
참조

1. 개요

각진동수는 주기적인 현상에서 단위 시간당 위상의 변화량을 나타내는 물리량으로, ω (오메가)로 표기하며, SI 단위는 라디안 매초(rad/s)이다. 각진동수는 주파수의 2π 배에 해당하며, 양자역학이나 전자기학 등 주기적인 현상을 설명하는 데 유용하게 사용된다. 각진동수는 각속도와 같은 단위를 가지지만, 파동을 나타내는 스칼라 물리량인 반면, 각속도는 강체의 운동을 나타내는 벡터 물리량이라는 차이가 있다. 원운동, 단진동, LC 회로 등 다양한 물리 시스템에서 각진동수를 활용하여 분석한다.

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각진동수
정의
설명	각진동수는 각도의 변화율이다.
다른 이름	각속도, 각률
기호
기호	ω
단위
SI 단위	라디안 매 초 (rad/s)
다른 단위	도 매 초 (°/s)
기본 단위	s⁻¹
수식 및 관계
수식	ω = 2π rad⋅ν
미분 형태	ω = dθ/dt
다른 관계	ω = v / r
차원
차원	wikidata
성질
종류	스칼라
참고
관련 항목	각속도

2. 정의 및 단위

각진동수는 주기적인 현상에서 단위 시간당 위상의 변화량을 나타내는 물리량으로, 보통 ω (오메가)로 표시한다. 각진동수는 각속도와 같은 단위(rad/s)를 가지고 같은 기호( $\omega$ )를 쓰지만, 다른 물리량이다. 각진동수는 파동을 나타내는 스칼라 물리량이지만, 각속도는 강체의 운동을 나타내는 벡터 물리량이다.

SI 단위에서 각진동수는 일반적으로 라디안/초(rad/s) 단위로 표시된다. 헤르츠(Hz) 단위는 차원적으로 rad/s와 동일하지만, 관례적으로 주파수 ''f''에만 사용되고 각진동수 ''ω''에는 사용되지 않는다. 이러한 관례는 측정 단위(예: 사이클 또는 라디안)가 1로 간주되어 SI 단위로 양을 표현할 때 생략될 수 있기 때문에 주파수와 각진동수와 같은 양을 다룰 때 발생하는 혼란을 피하기 위해 사용된다.^[4]^[5]^[6]

디지털 신호 처리에서 주파수는 표본화율로 정규화되어 정규화 주파수를 얻을 수 있다.

정의상 각진동수는 시간의 함수일 수도 있지만, 일반적으로 각진동수는 등속 원운동이나 그 사영인 단진동에서만 사용되는 경우가 많다. 시간에 따라 각진동수가 변하는 경우에는, 보다 일반화된 벡터량인 각속도를 사용한다.

2. 1. 주파수와의 관계

한 바퀴는 2π라디안과 같으므로, 각진동수는 다음과 같다.

:

\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f

$\omega$ 는 각진동수(라디안 매초).
$T$ 는 주기(초).
$f$ 는 주파수(헤르츠).

각진동수는 일반적인 주파수의 2π배이다. 즉, 2π초당 회전수이다. 각진동수를 사용하면 수식에 π가 자주 나타나는 것을 피할 수 있다. 따라서 여러 응용 분야에서 일반적인 주파수보다 각진동수가 더 적합하다. 실제로 각진동수는 물리학의 여러 분야(양자역학, 전자기학 등)에서 주기적인 현상을 설명하는 데 쓰인다.

3. 각속도와의 차이

각진동수는 각속도와 같은 단위(rad/s)와 기호( $\omega$ )를 쓰지만, 서로 다른 물리량이다. 각진동수는 파동을 나타내는 스칼라 물리량이지만, 각속도는 강체의 회전 운동을 나타내는 벡터 물리량이다. 한 바퀴는 2π 라디안과 같으므로, 각속도는 다음과 같다.

: $\omega \equiv \frac{d\theta}{dt} = {{2 \pi} \over T} = {2 \pi f} = \frac$

'' $\omega\,$ ''는 각속도(라디안 매초).
'' $\theta\,$ ''는 각도(라디안).
'' $T\,$ ''는 주기(초).
'' $f\,$ ''는 주파수(헤르츠).
'' $v\,$ ''는 회전축에 수직인 방향의 속도(미터 매초).
'' $r\,$ ''는 회전 반지름(미터).

일반적으로 각속도(각진동수)는 등속 원운동이나 그 사영인 단진동에서만 사용되는 경우가 많지만, 정의로부터 각속도는 시간의 함수일 수도 있다. 시간에 따라 각속도가 변하는 경우에는, 보다 일반화된 벡터량인 각속도를 사용한다.

4. 여러 가지 예시

다음은 각진동수의 여러 가지 예시이다.

원운동: 회전하거나 공전하는 물체의 각진동수는 접선 속도와 회전 반지름에 의해 결정된다.
단진동 (용수철 진동): 용수철에 연결된 물체의 진동은 단순 조화 운동으로, 각진동수는 용수철 상수와 물체의 질량에 의해 결정된다.
LC 회로: LC 회로의 각진동수는 정전용량과 인덕턴스에 의해 결정된다.

4. 1. 원운동

회전하거나 공전하는 물체는 축으로부터의 거리

r

, 접선 속도

v

, 회전의 각진동수 사이에 관계가 있다. 한 주기

T

동안 원운동하는 물체는

vT

의 거리를 이동한다. 이 거리는 물체가 그리는 경로의 둘레

2\pi r

와 같다. 이 두 양을 같게 놓고 주기와 각진동수 사이의 관계를 고려하면

\omega = v/r.

을 얻는다.

\omega = \frac{2 \pi}{T} = {2 \pi f} ,

여기서

''ω''는 각진동수(라디안/초)이다.
''T''는 주기(초)이다.
''f''는 일반 주파수(헤르츠)이다.

한 바퀴는 2π라디안과 같으므로, 각진동수는 다음과 같다.

\omega \equiv \frac{d\theta}{dt} = {{2 \pi} \over T} = {2 \pi f} = \frac

여기서

'' $\omega\,$ ''는 각진동수(라디안 매초).
'' $\theta\,$ ''는 각도(라디안).
'' $T\,$ ''는 주기(초).
'' $f\,$ ''는 주파수(헤르츠).
'' $v\,$ ''는 회전축에 수직인 방향의 속도(미터 매초).
'' $r\,$ ''는 회전 반지름(미터).

4. 2. 단진동 (용수철 진동)

용수철에 연결된 물체는 진동할 수 있다. 용수철이 이상적이고 질량이 없으며 감쇠가 없다고 가정하면, 운동은 단순 조화 운동이 되며, 각진동수는 다음과 같다.^[7]

:

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

여기서

''k''는 용수철 상수이고,
''m''은 물체의 질량이다.

''ω''는 고유 각진동수(때로는 ''ω''₀으로 표시됨)라고 한다.

물체가 진동할 때, 가속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

a = -\omega^2 x

여기서 ''x''는 평형 위치로부터의 변위이다.

표준 진동수 ''f''를 사용하면, 이 방정식은 다음과 같다.

:

a = -(2 \pi f)^2 x

작은 진동이나 감쇠를 무시할 수 있는 진동을 나타내는 경우에도 동일한 표현이 사용된다.

:

\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

여기서

''k''는 용수철 상수(단위: 뉴턴/미터)
''m''은 물체의 질량(단위: 킬로그램)

이다. 이 ω는 고유각진동수(고유각주파수)라고 한다.

4. 3. LC 회로

LC 회로에서 각진동수는 정전용량(단위: 패럿)에 인덕턴스(단위: 헨리)를 곱한 값의 역수의 제곱근이다.^[8] 즉, 다음과 같다.

:

\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}

직렬 LC 회로의 공진 각진동수도 위와 같다. 직렬 저항(예를 들어, 코일의 와이어 저항)을 추가해도 직렬 LC 회로의 공진 주파수는 변하지 않는다. 병렬 동조 회로의 경우, 위 방정식은 종종 유용한 근사치이지만, 공진 주파수는 병렬 요소의 손실에 따라 달라진다.

5. 활용

각진동수를 사용하면 수식에 π가 많이 나타나는 것을 방지할 수 있으며, 많은 응용 분야에서 일반적인 주파수보다 각진동수가 더 적합하다.^[1] 실제로 각진동수는 물리학의 많은 분야(예를 들어 양자역학이나 전자기학)에서 주기적인 현상을 설명하는 데 사용되고 있다.^[1]

예를 들어 대표적인 단순조화운동 방정식은 각진동수를 사용하여 다음과 같이 표현한다.

: $\frac{d^2 x}{dt^2} = - \omega^2 x$

이 식을 일반적인 주파수(초당 회전수)를 사용하여 다시 쓰면 다음과 같다.

: $\frac{d^2 x}{dt^2} = - 4 \pi^2 f^2 x$

원래 식과 비교하면, 4π²의 인자를 추가해야 함을 알 수 있다.^[1]

또한, 작은 진동이나 감쇠를 무시할 수 있는 진동을 나타내는 자주 보이는 표현으로 다음과 같은 식이 있다.

: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

여기서

''k''는 용수철 상수(단위: 뉴턴/미터)
''m''은 물체의 질량(단위: 킬로그램)

이다. 이 ω는 고유각진동수(고유각주파수)라고 한다.^[1]

참조

_[1] 서적 Understanding physics https://books.google[...] John Wiley & Sons, authorized reprint to Wiley – India 2007
_[2] 웹사이트 ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time https://www.iso.org/[...] International Organization for Standardization 2019-10-23
_[3] 서적 Physics for Dummies https://archive.org/[...] Wiley Publishing 2006
_[4] 서적 Physics for scientists and engineers https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning 1996-01-01
_[5] 논문 Dimensionless Units in the SI
_[6] 논문 SI units need reform to avoid confusion 2011-08-07
_[7] 서적 Principles of physics https://books.google[...] Brooks / Cole – Thomson Learning
_[8] 서적 Schaum's outline of theory and problems of electric circuits https://books.google[...] McGraw-Hill Companies (McGraw-Hill Professional)

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