교환 연산자

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1. 개요
2. 운동상수
- 2.1. 해밀토니안과 교환 연산자의 교환법칙
3. 고윳값과 고유상태
- 3.1. 대칭 및 반대칭 파동함수
4. 구성
- 4.1. 2차원 교환
5. 양자 화학
- 5.1. 하트리-포크 방법과 교환 연산자
참조

1. 개요

교환 연산자는 동일한 입자들의 위치를 교환하는 연산자이다. 스핀과 퍼텐셜이 관련이 없는 경우, 교환 연산자는 해밀토니안과 교환하여 운동상수가 되며, 3차원 이상에서는 입자 쌍의 위치를 교환하는 단열 과정으로 표현된다. 교환 연산자의 고윳값은 ±1이며, +1인 경우 보손, -1인 경우 페르미온으로 분류된다. 양자 화학에서는 하트리-포크 방법에서 교환 에너지를 추정하기 위해 수정된 교환 연산자가 사용된다.

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교환 연산자
일반 정보
유형	양자역학 연산자
설명	입자의 상태를 교환하는 연산자

2. 운동상수

퍼텐셜이 스핀과 관련이 없는 경우, 교환 연산자는 운동상수가 된다. 이는 해밀토니안 연산자와 교환 연산자 사이에 교환법칙이 성립하기 때문이다. 동일한 두 입자로 이루어진 계에서 해밀토니안은 입자 교환에 대해 대칭성을 가지며, 이로 인해 교환 연산자는 보존된다.

2. 1. 해밀토니안과 교환 연산자의 교환법칙

퍼텐셜이 스핀과 관련이 없는 경우, 교환 연산자는 운동상수이다. 이를 확인하기 위해 간단한 두 개의 동일한 입자로 이루어진 계에서 해밀토니안 연산자와 교환 연산자에 교환법칙이 성립하는지 알아보자.

먼저, 스핀과 퍼텐셜이 관련이 없는 경우, 해밀토니언은 아래와 같이 쓸 수 있다.

:

H= \frac{p_1^2}{2m}+\frac{p_2^2}{2m}+V(x_1 ,x_2)

:

V(x_1 ,x_2) = V(x_2 ,x_1) \;

위 해밀토니언을 입자의 라벨에 대한 함수로 만들면

:

H=H(1,2)\;

퍼텐셜이 입자의 교환에 대해 대칭이기 때문에 해밀토니안 또한 대칭이 된다.

:

H(1,2)=H(2,1)\;

이 해밀토니언을 파동함수에 작용시키면

:

H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)

:

H(2,1)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

이다. 그리고 해밀토니언의 대칭성에 의해

:

H(2,1)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)

:

H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1) = Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

을 얻는다. 위의 교환 연산자의 역할을 다시 쓰면,

:

P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2) = u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)

이다. 이제 두 연산자에 대해 교환법칙이 성립하는지 알아보기 위해 두 연산자를 동시에 파동 함수에 작용시켜보자.

:

\begin{align}H(1,2)P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)= & H(1,2)u_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)\\ = & Eu_{E_{\sigma_2 \sigma_1}}(2,1)\\ = & EP_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)\\ = & P_{1,2}Eu_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)\\ = & P_{1,2}H(1,2)u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)\end{align}

즉, 두 연산자 사이에 교환법칙이 성립하므로,

:

[H,P_{1,2}] = 0\;

이다. 따라서, 교환연산자는 이 경우 운동상수가 된다.

3. 고윳값과 고유상태

교환 연산자를 두 번 적용하면 원래 상태로 돌아오므로, 고윳값은 +1 또는 -1이다. 고윳값이 +1이면 파동함수는 대칭이며, 이 입자들을 보손이라 한다. 고윳값이 -1이면 파동함수는 반대칭이며, 이 입자들을 페르미온이라 한다. 스핀-통계 정리에 따르면 정수 스핀을 가진 입자는 모두 보손이고, 반정수 스핀을 가진 입자는 모두 페르미온이다.^[1]

교환 연산자는 해밀토니안과 교환하므로 보존된 물리량이다. 따라서 교환 연산자의 고유 상태를 기저로 선택하는 것이 항상 가능하며, 일반적으로 가장 편리하다. 이 상태들은 동일한 보손을 교환할 때 완전히 대칭이고, 동일한 페르미온을 교환할 때 완전히 반대칭이다.

3차원 이상에서는 교환 연산자가 입자 쌍의 위치를 실제로 교환하는 것을 나타낼 수 있다. 하지만 2차원에서는 입자의 단열 교환이 불가능하여 복소 위상 인자가 고유값이 될 수 있다. 이러한 입자를 애니온이라고 한다.

3. 1. 대칭 및 반대칭 파동함수

반전성과 유사하게 교환 연산자도 두 번 연속으로 연산을 하면 원래 상태로 돌아온다.^[1]

:

P_{1,2}P_{1,2}u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)=u_{E_{\sigma_1 \sigma_2}}(1,2)

따라서 P_1,2=1 이므로 고윳값은 ±1이 된다.^[1]

고유상태 또한 반전성처럼 우함수와 기함수가 고유상태인 것처럼 +1인 경우 대칭 조합된 파동함수가, -1인 경우 반대칭 조합된 파동함수가 고유 상태가 된다.^[1]

:고윳값 +1 :

\psi^{(S)} = \frac{1}{N_{S}} [ \psi(1,2) + \psi(2,1)]

:고윳값 -1 :

\psi^{(A)} = \frac{1}{N_{A}} [ \psi(1,2) - \psi(2,1)]

여기서 각 N들은 규격화상수이다.^[1]

4. 구성

3차원 이상에서 교환 연산자는 모든 다른 입자를 고정한 채 입자 쌍의 위치를 단열 과정으로 움직여 교환하는 것을 나타낸다. 이러한 움직임은 실제로 수행되지 않는 경우가 많으며, 패리티 반전 또는 시간 반전 연산과 유사하게 취급된다.

두 번의 입자 교환 연산을 고려하면 다음과 같다.

: $\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \left|x_2, x_1\right\rangle$

: $\hat{P}^2\left|x_1, x_2\right\rangle = \hat{P}\left|x_2, x_1\right\rangle = \left|x_1, x_2\right\rangle$

따라서 $\hat{P}$ 는 유니타리 연산자일 뿐만 아니라 1의 연산자 제곱근이기도 하여, 다음과 같은 가능성이 있다.

: $\hat{P}\left|x_1, x_2\right\rangle = \pm \left|x_2, x_1\right\rangle\,.$

두 부호 모두 자연에서 실현된다. +1의 경우를 만족하는 입자를 ''보손''이라고 하고, −1의 경우를 만족하는 입자를 ''페르미온''이라고 한다. 스핀-통계 정리에 따르면 정수 스핀을 가진 모든 입자는 보손이고, 반정수 스핀을 가진 모든 입자는 페르미온이다.

교환 연산자는 해밀토니안과 교환하며 따라서 보존된 물리량이다. 따라서 상태가 교환 연산자의 고유 상태인 기저를 선택하는 것이 항상 가능하고 대개 가장 편리하다. 이러한 상태는 모든 동일한 보손의 교환에 대해 완전히 대칭이거나, 시스템의 모든 동일한 페르미온의 교환에 대해 완전히 반대칭이다.

4. 1. 2차원 교환

2차원에서는 입자의 단열 교환이 반드시 가능하지는 않다. 그 대신, 교환 연산자의 고유값은 복소 위상 인자가 될 수 있다(이 경우

\hat{P}

는 에르미트 연산자가 아님). 이러한 경우를 애니온이라고 한다. 엄밀히 1차원 시스템에서는 교환 연산자가 잘 정의되지 않지만, 효과적인 2차원 시스템으로 작동하는 1차원 네트워크의 구성이 있다.

2 + 1차원 공간상의 두 입자의 회전에 의한 교환. 회전이 등가적이지 않기 때문에 (2차원 공간 평면을 벗어나는 일 없이) 한쪽을 다른 쪽으로 변형시킬 수 없어, 2차원 공간에서의 교환이 불가능함을 알 수 있다.

5. 양자 화학

양자 화학의 하트리-포크 방법에서 교환 연산자는 교환 에너지를 추정하는 데 사용된다. 일전자 교환 연산자는 파동 함수 간의 상호작용을 나타낸다. 1과 2라는 표시는 표기상의 편의를 위한 것이며, 물리적으로 "어떤 전자가 어떤 전자인지"를 추적할 방법은 없다.^[3]

5. 1. 하트리-포크 방법과 교환 연산자

양자 화학의 하트리-포크 방법에서는 교환 통계에서 발생하는 교환 에너지를 추정하기 위해 수정된 교환 연산자가 정의된다.^[3] 이 방법에서 흔히 에너지 교환 연산자를 다음과 같이 정의한다.

:

\hat K_j (x_1) f_i(x_1)= \phi_j(x_1) \int { \frac{\phi_j^*(x_2)f_i(x_2)}{r_{12}}\mathrm{d}x_2}

여기서

\hat K_j (x_1)

는 일전자 교환 연산자이고,

f(x_1)

,

f(x_2)

는 교환 연산자에 의해 작용하는 일전자 파동 함수로 전자의 위치에 대한 함수이며,

\phi_j(x_1)

와

\phi_j(x_2)

는

j

번째 전자의 일전자 파동 함수로 전자의 위치에 대한 함수이다. 이들의 거리는

r_{12}

로 표시된다.^[3] 1과 2라는 표시는 표기상의 편의를 위한 것이며, 물리적으로 "어떤 전자가 어떤 전자인지"를 추적할 방법은 없다.

참조

_[1] 서적 Quantum Chemistry Prentice Hall
_[2] 서적 A modern approach to quantum mechanics https://books.google[...] University Science Books
_[3] 서적 Quantum Chemistry Prentice Hall
_[4] 서적 A modern approach to quantum mechanics https://books.google[...] University Science Books
_[5] 서적 Quantum Chemistry Prentice Hall

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