반전성

1. 개요

반전성은 공간 반전 변환에 대한 물리적 시스템의 대칭성을 의미하며, 고전 및 양자 역학에서 중요한 개념이다. 고전 기하학에서 스칼라, 벡터, 텐서 등의 객체는 회전 변환에 따라 분류되며, 양자 역학에서는 힐베르트 공간의 상태가 사영 표현으로 변환된다. 반전성은 아벨 군을 형성하며, 짝수 또는 홀수 반전성을 갖는 파동 함수로 표현될 수 있다. 반전성 대칭의 결과로, 해밀토니안이 반전성 연산자와 교환 가능하면 반전성 변환에 불변하며, 양자 상태는 짝수 또는 홀수 반전성을 갖는 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 양자장론에서는 진공 상태와 해밀토니안이 반전성에 불변하면 모든 상태가 좋은 반전성을 갖는다. 표준 모형에서 반전성은 전역 대칭성의 고정, 파이온의 반전성, 그리고 약한 상호작용에서의 패리티 위반과 관련된다.

2. 단순 대칭성 관계

양자역학에서 입자는 패리티라는 속성을 갖는다. 양자역학에서 이 속성은 불변량으로 공간 대칭성에 대해 보존된다고 정의하지만, 약한 상호작용에서는 보존되지 않는 경우가 있다. 이는 파동 함수가 짝함수인지 홀함수인지의 속성으로 간단히 이해할 수 있다.

공간 반전 조작 자체를 패리티 변환이라고 부른다. 패리티는 어떤 현상의 카이랄성을 테스트하는 데 사용될 수 있다. 패리티 반전은 카이랄한 현상을 그 거울상으로 변환하지만, 비카이랄 현상에서는 항등 변환이 된다.

일반적으로 패리티가 홀수인 스칼라는 유사 스칼라, 벡터는 유사 벡터(축성 벡터)라고 불린다. 이 외에도 짝수와 홀수의 덧셈과 같은 성질을 가진 대칭 변환의 고유값에 패리티라는 이름을 붙이기도 한다. 예를 들어 전하 켤레 변환 C에서의 변환성을 C parity^영어(C 패리티)라고 부른다.

고전 기하학과 양자 역학에서 패리티 개념은 다르게 적용된다. 고전 기하학적 대상은 회전에 대해 스칼라, 벡터, 텐서 등으로 분류할 수 있지만, 양자역학에서는 힐베르트 공간의 상태가 회전군의 표현이 아닌 사영 표현으로 변환된다.

2.1. 고전 기하학

고전 기하학에서 대상은 회전에 대해 스칼라, 벡터, 텐서 등으로 분류할 수 있다. 고전 물리학에서 물리적 배치는 각 대칭군의 표현으로 나타내야 한다.

반전성에 따라 다음과 같이 분류를 확장할 수 있다.

* 회전 불변인 스칼라(P=+1)와 [[유사스칼라]](P=-1)
* 회전에서 벡터로 변환되는 벡터(P=-1)와 [[유사벡터]](축벡터)(P=+1)

다음과 같은 반사를 정의할 수 있다.

:$V\_\{x\}\; :\; \backslash begin\{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \; z\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash rightarrow\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \; z\; \backslash end\{pmatrix\}$

이 행렬은 음의 행렬식을 가지며 유효한 반전성 변환을 만든다. 이 행렬과 회전을 통해, 또는 x, y, z축에 대해 연속적인 반사를 통해 특정한 반전성 변환을 얻을 수 있다. 짝수 차원에서는 좌표의 홀수 반사 또는 위에서 정의한 반전성 변환의 예시가 사용된다.

반전성은 $\backslash hat\{\backslash mathcal\{P\}\}^2\; =\; \backslash hat\{1\}$을 통해 아벨 군 $\backslash mathbb\{Z\}\_2$을 형성한다. $\backslash mathbb\{Z\}\_2$는 두 개의 기약 표현을 갖는데, 하나는 반전성에 대해 짝수($\backslash hat\{\backslash mathcal\{P\}\}\backslash phi\; =\; +\backslash phi$)이고, 다른 하나는 홀수($\backslash hat\{\backslash mathcal\{P\}\}\backslash phi\; =\; -\backslash phi$)이다.

각 대상이 변환되는 공간을 표현하여 스칼라, 유사스칼라, 벡터, 유사벡터를 구분할 수 있다. 표현을 정의하는 군 준동형 사상 $\backslash rho$를 사용하면, 행렬 $R\; \backslash in\; O(3)$에 대해 다음과 같다.

* 스칼라: $\backslash rho\; (R)\; =\; 1$ (자명한 표현)
* 유사스칼라: $\backslash rho\; (R)\; =\; det(R)$
* 벡터: $\backslash rho\; (R)\; =\; R$ (기초적인 표현)
* 유사벡터: $\backslash rho\; (R)\; =\; det(R)R$.

$SO(3)$으로 제한하면 스칼라와 유사스칼라는 동일하게 변환되고, 벡터와 유사벡터도 동일하게 변환된다.

2.2. 양자역학

양자역학에서는 힐베르트 공간의 상태가 회전의 군 표현이 아닌 사영 표현으로 변환된다고 예측한다. "사영"이라는 단어는 각 상태의 위상을 투영할 때, 즉 양자 상태의 전체 위상은 관측할 수 없다는 점을 고려하면, 사영 표현이 일반 표현으로 축소된다는 것을 의미한다. 모든 표현은 사영 표현이지만, 그 반대는 성립하지 않으므로 양자 상태에 대한 사영 표현 조건은 고전 상태의 표현 조건보다 약하다.

어떤 군의 사영 표현은 그 군의 중심 확대의 일반 표현과 동형이다. 예를 들어, 특수 직교군 SO(3)인 3차원 회전군의 사영 표현은 특수 유니타리 군 SU(2)의 일반 표현이다. 표현이 아닌 회전군의 사영 표현은 스피너라고 하며, 따라서 양자 상태는 텐서뿐만 아니라 스피너로도 변환될 수 있다.

반전성을 고려하면 다음과 같이 분류를 확장할 수 있다.
* 회전 불변인 스칼라(P = +1)와 유사스칼라(P = −1)
* 회전에서 벡터로 변환되는 벡터(P = −1)와 유사벡터(축벡터)(P = +1)

3. 고전역학

뉴턴의 제2법칙에서 힘과 운동량은 모두 벡터이므로 반전성에 대해 불변한다. 중력 법칙 역시 벡터만을 포함하기 때문에 반전성에 대해 불변한다. 그러나 각운동량 L은 축벡터이므로 반전성에 대해 부호가 변하지 않는다. 각운동량은 $\backslash bold\{L\}=\backslash bold\{r\}\; \backslash times\; \backslash bold\{p\}$로 정의되는데, 여기서 위치 벡터 r과 운동량 벡터 p는 반전성에 대해 부호가 바뀌지만, 이들의 벡터곱인 각운동량 L은 짝반전성을 갖는다. 고전 전자기학에서 전하 밀도는 스칼라, 전기장과 전류는 벡터이지만, 자기장은 축벡터이다. 맥스웰 방정식은 축벡터의 회전이 벡터이기 때문에 반전성에 대해 불변한다.

4. 고전역학 변수에 대한 공간반전 효과

고전역학에서 변수들은 공간 반전에 대해 짝수 또는 홀수 반전성(패리티)을 가진다. 이는 공간의 차원수에 따라 달라지며, '반전성 변환'에서의 홀수 및 짝수 분류와는 다르지만 밀접하게 관련된다.

뉴턴의 운동 방정식 F = ma (질량이 불변일 경우)와 중력 법칙은 벡터만을 포함하므로 공간 반전 하에서 불변이다. 그러나 각운동량 L은 축벡터이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:L = r × p,
:P(L) = (−r) × (−p) = L.

고전 전기역학에서 전하 밀도 ρ는 스칼라, 전기장 E 및 전류 j는 벡터이지만, 자기장 H는 축벡터이다. 그러나 축벡터의 회전은 벡터이므로, 맥스웰 방정식은 공간 반전 하에서 불변이다.