그라스호프 수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 열전달
- 2.2. 물질 전달
3. 다른 무차원 수와의 관계
- 3.1. 레일리 수 (Ra)
- 3.2. 리처드슨 수 (Ri)
4. 유도
5. 다양한 유체 흐름에 대한 그라스호프 수의 영향
참조

1. 개요

그라스호프 수는 자유 대류를 특징짓는 무차원 수로, 유체의 밀도 변화로 발생하는 부력과 점성력의 상대적인 크기를 나타낸다. 수직 평판, 파이프 등 다양한 형태에 따라 다른 공식으로 계산되며, 열전달 및 물질 전달 현상을 분석하는 데 사용된다. 그라스호프 수는 레일리 수, 리처드슨 수와 같은 다른 무차원 수와 관련되어 있으며, 강제 대류와 자연 대류의 상대적인 중요성을 판단하는 데 활용된다.

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그라스호프 수

2. 정의

자유 대류는 온도 변화 또는 온도 구배로 인한 유체의 밀도 변화 때문에 발생한다. 일반적으로 온도가 상승하면 밀도가 감소하여 유체가 상승하게 된다. 이러한 운동은 부력에 의해 발생한다. 운동을 저항하는 주요 힘은 점성력이다. 그라스호프 수는 이 반대되는 힘을 정량화하는 방법이다.^[3]

그라스호프 수는 열전달에서의 정의와 물질 전달에서의 정의 두 가지가 존재한다.

'''열전달''' : 온도 차이로 인한 자연 대류
'''물질 전달''' : 농도 차이로 인한 자연 대류

2. 1. 열전달

온도 차이로 인한 자연 대류에서 그라스호프 수는 다음과 같이 정의된다.^[3]

:'''수직 평판의 경우'''

::

\mathrm{Gr}_L = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) L^3}{\nu ^2}\,

:'''파이프 및 둔탁한 물체의 경우'''

::

\mathrm{Gr}_D = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) D^3}{\nu ^2}\,

$g$ : 지구로 인한 중력 가속도
$\beta$ : 체적 팽창 계수 ( 이상 기체의 경우 대략 $1/T$ 와 같음)
$T_s$ : 표면 온도
$T_\infty$ : 벌크 온도
$L$ : 수직 길이
$D$ : 직경
$\nu$ : 동점성 계수

L

및

D

아래 첨자는 그라스호프 수의 길이 스케일 기준을 나타낸다.

난류로의 전이는 수직 평판에서의 자연 대류의 경우

10^8 < Gr_L < 10^9

범위에서 발생한다. 그라스호프 수가 높으면 경계층이 난류이고, 그라스호프 수가 낮으면 경계층이 층류, 즉

10^3 < Gr_L < 10^6

범위에 있다.

2. 2. 물질 전달

농도 차이로 인한 자연 대류에서 그라스호프 수는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

{\mathrm {Gr}}_c=\frac{g\beta^*(C_{a,s}-C_{a,a})L^3}{\nu^2}

여기서:

:

\beta^*=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial C_a}\right)_{T,p}

그리고:

$g$ 는 지구의 중력 가속도이다.
$C_{a,s}$ 는 표면에서의 종 $a$ 의 농도이다.
$C_{a,a}$ 는 주변 매질에서 종 $a$ 의 농도이다.
$L$ 은 특성 길이이다.
$\nu$ 는 동점성 계수이다.
$\rho$ 는 유체 밀도이다.
$C_a$ 는 종 $a$ 의 농도이다.
$T$ 는 온도(상수)이다.
$p$ 는 압력(상수)이다.

3. 다른 무차원 수와의 관계

레일리 수는 열전달에서 대류 문제를 특징짓는 무차원 수로, 그라스호프 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낸다. 유체 운동이 발생하는 임계 레일리 수 값이 존재한다.^[3]

리처드슨 수는 그라스호프 수를 레이놀즈 수의 제곱으로 나눈 값으로, 강제 대류와 자유 대류 중 어느 것이 더 중요한지, 혹은 두 대류가 혼합된 상태인지 판단하는 데 사용된다.^[2]

3. 1. 레일리 수 (Ra)

레일리 수는 열전달에서의 대류 문제를 특징짓는 무차원 수이다. 유체 운동이 발생하는 임계 레일리 수 값이 존재한다.^[3]

Ra^영어 = Gr^영어 × Pr^영어

그라스호프 수를 레이놀즈 수의 제곱으로 나눈 비율은 리처드슨 수(Ri)라고 불리며, 이 값을 통해 시스템에 대해 강제 대류 또는 자유 대류 중 어느 것을 무시할 수 있는지, 아니면 두 대류의 조합이 있는지를 확인할 수 있다. 비율이 1보다 훨씬 작으면 자유 대류를 무시할 수 있고, 1보다 훨씬 크면 강제 대류를 무시할 수 있다. 그렇지 않으면, 이 영역은 강제 대류와 자유 대류가 혼합된 상태이다.^[2]

3. 2. 리처드슨 수 (Ri)

리처드슨 수는 강제 대류와 자연 대류의 상대적인 중요도를 나타내는 지표이다. 그라스호프 수를 레이놀즈 수의 제곱으로 나눈 값으로 계산한다.^[2]

:

\mathrm{Ri} = \frac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2} \gg 1  \implies \text{강제 대류 무시}

:

\mathrm{Ri} = \frac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2} \approx 1 \implies \text{강제 대류와 자유 대류 혼합}

:

\mathrm{Ri} =  \frac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2} \ll 1 \implies \text{자유 대류 무시}

\mathrm{Ri} \ll 1

이면 강제 대류가 지배적이므로 자유 대류를 무시할 수 있다. 반대로

\mathrm{Ri} \gg 1

이면 자연 대류가 지배적이므로 강제 대류를 무시할 수 있다.

\mathrm{Ri} \approx 1

이면 강제 대류와 자연 대류가 혼합된 영역이다.^[2]

4. 유도

그라스호프 수는 에너지 방정식 또는 버킹엄 파이 정리를 이용하여 유도할 수 있다.
에너지 방정식 유도에너지 방정식을 무차원화하면 그라스호프 수를 얻을 수 있다. 회전 대칭 흐름과 관련된 에너지 방정식은 다음과 같다.^[3]

: $\frac{\partial}{\partial s}(\rho u r_0^{n})+{\frac{\partial}{\partial y}}(\rho v r_0^{n})=0$

여기서,

$s$ 는 회전 방향 (표면에 평행한 방향)
$u$ 는 접선 속도 (표면에 평행한 속도)
$y$ 는 평면 방향 (표면에 수직인 방향)
$v$ 는 수직 속도 (표면에 수직인 속도)
$r_0$ 는 반경

위 식에서 위첨자

n

은 회전 대칭 흐름과 평면 흐름을 구별한다.

$n$ = 1: 회전 대칭 흐름
$n$ = 0: 평면, 2차원 흐름

위 식에 물리적 유체 특성을 추가하면 다음과 같이 확장된다.^[3]

:

\rho\left(u \frac{\partial u}{\partial s} + v \frac{\partial u}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial y}\right) - \frac{d p}{d s} + \rho g.

벌크 유체 속도를 0(

u = 0

)으로 설정하면 운동량 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[3]

:

\frac{d p}{d s}=\rho_0 g

즉, 압력 기울기는 단순히 벌크 유체 밀도와 중력 가속도의 곱이다. 이를 운동량 방정식에 대입하고, 체적 팽창 계수와 동점성 계수 관계를 이용하면 다음과 같다.^[3]

:

\left(u \frac{\partial u}{\partial s}+v \frac{\partial u}{\partial y}\right)=\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+g\frac{\rho-\rho_0}{\rho}=\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)-\frac{\rho_0}{\rho} g \beta (T-T_0)

이 방정식을 무차원화하기 위해 각 변수를 상수량으로 나눈다. 길이는 특성 길이

L_c

, 속도는 참조 속도

V

(

V=\frac{\mathrm{Re}_L \nu}{L_c}

), 온도는 온도차

(T_s - T_0)

로 나눈다. 무차원 매개변수는 다음과 같다.^[3]

$s^*=\frac{s}{L_c}$
$y^* =\frac{y}{L_c}$
$u^*=\frac{u}{V}$
$v^* = \frac{v}{V}$
$T^*=\frac{(T-T_0)}{(T_s - T_0)}$

이 무차원 매개변수를 운동량 방정식에 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.^[3]

:

u^* \frac{\partial u^*}{\partial s^*} + v^* \frac{\partial u^*}{\partial y^*} =-\left[ \frac{\rho_0 g \beta(T_s - T_0)L_c^{3}}{\rho\nu^2 \mathrm{Re}_L^{2}} \right] T^*+\frac{1}{\mathrm{Re}_L} \frac{\partial^2 u^*}{\partial {y^*}^2}

여기서 대괄호 안의 무차원 매개변수가 바로 그라스호프 수이다.^[3]

:

\mathrm{Gr}=\frac{g \beta(T_s-T_0)L_c^{3}}{\nu^2}.

버킹엄 파이 정리 유도버킹엄 파이 정리를 사용하여 그라스호프 수를 유도할 수 있다. 이 방법은 경계층과 벌크 유체 간의 밀도 차이로 인한 단위 부피당 부력(

F_b

)을 고려한다.^[1]

:

F_b = (\rho - \rho_0) g

이 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.^[1]

:

F_b = -\beta g \rho_0 \Delta T.

버킹엄 파이 정리에 사용되는 변수, 기호, 차원은 다음과 같다.^[1]

변수	기호	차원
특징 길이	$L$	$\mathrm{L}$
유체 점성	$\mu$	$\mathrm{\frac{M}{L t}}$
유체 열용량	$c_p$	$\mathrm{\frac{Q}{M T}}$
유체 열전도도	$k$	$\mathrm{\frac{Q}{L t T}}$
체적 팽창 계수	$\beta$	$\mathrm{\frac{1}{T}}$
중력 가속도	$g$	$\mathrm{\frac{L}{t^2}}$
온도 차이	$\Delta T$	$\mathrm{T}$
열전달 계수	$h$	$\mathrm{\frac{Q}{L^2 t T}}$

버킹엄 파이 정리에 따르면 9 – 5 = 4 개의 무차원 그룹이 존재한다. 참조 변수로 $L$ , $\mu$ , $k$ , $g$ 및 $\beta$ 를 선택하면, $\pi$ 그룹은 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $\pi_1 = L^a \mu^b k^c \beta^d g^e c_p$ ,

: $\pi_2 = L^f \mu^g k^h \beta^i g^j \rho$ ,

: $\pi_3 = L^k \mu^l k^m \beta^n g^o \Delta T$ ,

: $\pi_4 = L^q \mu^r k^s \beta^t g^u h$ .

이 $\pi$ 그룹들을 풀면 다음을 얻는다.^[1]

: $\pi_1 = \frac{\mu(c_p)}{k} = \mathrm{Pr}$ ,

: $\pi_2 =\frac{l^3 g \rho^2}{\mu^2}$ ,

: $\pi_3 =\beta \Delta T$ ,

: $\pi_4 =\frac{h L}{k} = \mathrm{Nu}$

$\pi_2$ 와 $\pi_3$ 를 곱하면 그라스호프 수를 얻을 수 있다.^[1]

: $\pi_2 \pi_3=\frac{\beta g \rho^2 \Delta T L^3}{\mu^2} = \mathrm{Gr}.$

$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 와 $\Delta T = (T_s - T_0)$ 을 대입하면, 에너지 방정식으로부터 그라스호프 수를 유도하는 것과 같은 결과를 얻는다.^[1]

: $\mathrm{Gr} = \frac{\beta g \Delta T L^3}{\nu^2}$
물리적 정의그라스호프 수는 부력과 점성력의 비로 정의될 수 있다.

: $\mathrm{Gr} = \frac{\mathrm{부력}}{\mathrm{마찰력}}$

4. 1. 에너지 방정식

에너지 방정식을 무차원화하여 그라스호프 수를 유도할 수 있다. 회전 대칭 흐름과 관련된 에너지 방정식은 다음과 같다.^[3]

:

\frac{\partial}{\partial s}(\rho u r_0^{n})+{\frac{\partial}{\partial y}}(\rho v r_0^{n})=0

여기서,

$s$ 는 회전 방향 (표면에 평행한 방향)
$u$ 는 접선 속도 (표면에 평행한 속도)
$y$ 는 평면 방향 (표면에 수직인 방향)
$v$ 는 수직 속도 (표면에 수직인 속도)
$r_0$ 는 반경

위 식에서 위첨자

n

은 회전 대칭 흐름과 평면 흐름을 구별한다.

$n$ = 1: 회전 대칭 흐름
$n$ = 0: 평면, 2차원 흐름

위 식에 물리적 유체 특성을 추가하면 다음과 같이 확장된다.^[3]

:

\rho\left(u \frac{\partial u}{\partial s} + v \frac{\partial u}{\partial y}\right) = \frac{\partial}{\partial y}\left(\mu \frac{\partial u}{\partial y}\right) - \frac{d p}{d s} + \rho g.

벌크 유체 속도를 0(

u = 0

)으로 설정하면 운동량 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[3]

:

\frac{d p}{d s}=\rho_0 g

즉, 압력 기울기는 단순히 벌크 유체 밀도와 중력 가속도의 곱이다. 이를 운동량 방정식에 대입하고, 체적 팽창 계수와 동점성 계수 관계를 이용하면 다음과 같다.^[3]

:

\left(u \frac{\partial u}{\partial s}+v \frac{\partial u}{\partial y}\right)=\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)+g\frac{\rho-\rho_0}{\rho}=\nu \left(\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)-\frac{\rho_0}{\rho} g \beta (T-T_0)

이 방정식을 무차원화하기 위해, 각 변수를 상수량으로 나눈다. 길이는 특성 길이

L_c

, 속도는 참조 속도

V

(

V=\frac{\mathrm{Re}_L \nu}{L_c}

), 온도는 온도차

(T_s - T_0)

로 나눈다. 무차원 매개변수는 다음과 같다.^[3]

$s^*=\frac{s}{L_c}$
$y^* =\frac{y}{L_c}$
$u^*=\frac{u}{V}$
$v^* = \frac{v}{V}$
$T^*=\frac{(T-T_0)}{(T_s - T_0)}$

이 무차원 매개변수를 운동량 방정식에 대입하면 다음과 같은 단순화된 방정식을 얻는다.^[3]

:

u^* \frac{\partial u^*}{\partial s^*} + v^* \frac{\partial u^*}{\partial y^*} =-\left[ \frac{\rho_0 g \beta(T_s - T_0)L_c^{3}}{\rho\nu^2 \mathrm{Re}_L^{2}} \right] T^*+\frac{1}{\mathrm{Re}_L} \frac{\partial^2 u^*}{\partial {y^*}^2}

:

=-\left(\frac{\rho_0}{\rho}\right)\left[\frac{g \beta(T_s - T_0)L_c^{3}}{\nu^2} \right] \frac{T^*}{\mathrm{Re}_L^{2}}+\frac{1}{\mathrm{Re}_L} \frac{\partial^2 u^*}{\partial {y^*}^2}

여기서 대괄호 안의 무차원 매개변수가 바로 그라스호프 수이다.^[3]

:

\mathrm{Gr}=\frac{g \beta(T_s-T_0)L_c^{3}}{\nu^2}.

4. 2. 버킹엄 파이 정리 (Buckingham π theorem)

버킹엄 파이 정리를 사용하면 그라스호프 수를 유도할 수 있다. 이 방법은 경계층과 벌크 유체 간의 밀도 차이로 인한 단위 부피당 부력(

F_b

)을 고려한다.^[1]

:

F_b = (\rho - \rho_0) g

이 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.^[1]

:

F_b = -\beta g \rho_0 \Delta T.

버킹엄 파이 정리에 사용되는 변수, 기호, 차원은 다음과 같다.^[1]

변수	기호	차원
특징 길이	$L$	$\mathrm{L}$
유체 점성	$\mu$	$\mathrm{\frac{M}{L t}}$
유체 열용량	$c_p$	$\mathrm{\frac{Q}{M T}}$
유체 열전도도	$k$	$\mathrm{\frac{Q}{L t T}}$
체적 팽창 계수	$\beta$	$\mathrm{\frac{1}{T}}$
중력 가속도	$g$	$\mathrm{\frac{L}{t^2}}$
온도 차이	$\Delta T$	$\mathrm{T}$
열전달 계수	$h$	$\mathrm{\frac{Q}{L^2 t T}}$

버킹엄 파이 정리에 따르면 9 – 5 = 4 개의 무차원 그룹이 존재한다. 참조 변수로 $L$ , $\mu$ , $k$ , $g$ 및 $\beta$ 를 선택하면, $\pi$ 그룹은 다음과 같이 표현된다.^[1]

: $\pi_1 = L^a \mu^b k^c \beta^d g^e c_p$ ,

: $\pi_2 = L^f \mu^g k^h \beta^i g^j \rho$ ,

: $\pi_3 = L^k \mu^l k^m \beta^n g^o \Delta T$ ,

: $\pi_4 = L^q \mu^r k^s \beta^t g^u h$ .

이 $\pi$ 그룹들을 풀면 다음을 얻는다.^[1]

: $\pi_1 = \frac{\mu(c_p)}{k} = \mathrm{Pr}$ ,

: $\pi_2 =\frac{l^3 g \rho^2}{\mu^2}$ ,

: $\pi_3 =\beta \Delta T$ ,

: $\pi_4 =\frac{h L}{k} = \mathrm{Nu}$

$\pi_2$ 와 $\pi_3$ 를 곱하면 그라스호프 수를 얻을 수 있다.^[1]

: $\pi_2 \pi_3=\frac{\beta g \rho^2 \Delta T L^3}{\mu^2} = \mathrm{Gr}.$

$\nu = \frac{\mu}{\rho}$ 와 $\Delta T = (T_s - T_0)$ 을 대입하면, 에너지 방정식으로부터 그라스호프 수를 유도하는 것과 같은 결과를 얻는다.^[1]

: $\mathrm{Gr} = \frac{\beta g \Delta T L^3}{\nu^2}$

4. 3. 물리적 추론 (Physical Reasoning)

자유 대류는 온도 변화나 온도 구배로 인해 유체의 밀도가 변하면서 발생한다. 일반적으로 온도가 올라가면 밀도가 낮아져 유체가 위로 올라간다. 이러한 움직임은 부력 때문에 생긴다. 이 움직임을 막는 주된 힘은 점성력이다. 그라스호프 수는 이러한 반대되는 힘들을 수치화한 것이다.^[3]

그라스호프 수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

수직 평판의 경우:

:

\mathrm{Gr}_L = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) L^3}{\nu ^2}\,

파이프 및 둔탁한 물체의 경우:

:

\mathrm{Gr}_D = \frac{g \beta (T_s - T_\infty ) D^3}{\nu ^2}\,

여기서:

g는 지구의 중력 가속도이다.
β는 체적 팽창 계수(이상 기체의 경우 대략 1/''T''와 같음)이다.
T_s는 표면 온도이다.
T_∞는 벌크 온도이다.
L은 수직 길이이다.
D는 직경이다.
ν는 동점성 계수이다.

Gr_L 및 Gr_D 아래 첨자는 그라스호프 수의 길이 스케일 기준을 나타낸다.

그라스호프 수는 다음과 같이 물리적 정의를 통해 유도할 수도 있다.

:

\mathrm{Gr} = \frac{\mathrm{부력}}{\mathrm{마찰력}}=\frac{mg}{\tau A}=\frac{L^3 \rho \beta (\Delta T) g }{\mu (V/L) L^2}=\frac{L^2  \beta (\Delta T) g}{\nu V}

하지만 위 식은 실제 문헌에 나오는 그라스호프 수와는 약간 다르다. 동점성 계수와 관련된 정확한 스케일을 사용하면 최종 형태를 얻을 수 있다.

:

\mathrm{\mu} = \rho V L

위 스케일을 Gr에 적용하면 다음과 같다.

:

\mathrm{Gr} = \frac{L^3  \beta (\Delta T) g}{\nu^2 }

이러한 물리적 추론은 그라스호프 수의 의미를 이해하는 데 도움이 된다. 한편, 다음과 같은 속도 정의를 사용하여 특정 속도를 무차원화하기 위한 특징적인 속도 값으로 사용할 수 있다.

:

\mathrm{V}=\frac{L^2  \beta (\Delta T) g}{\nu Gr}

5. 다양한 유체 흐름에 대한 그라스호프 수의 영향

최근 연구에 따르면, 다양한 표면에서 대류로 발생하는 유체 흐름에서 그라스호프 수가 커질수록 벽면 온도가 상승한다.^[4] 이는 유체 간 결합을 약화시키고 내부 마찰력을 감소시킨다. 또한, 중력이 충분히 강해져 벽 근처 유체 층 사이에 상당한 비중량 차이가 발생한다.^[4]

부력 매개변수는 수직으로 움직이는 실린더 주변에 형성되는 경계층 내 층류 흐름에 큰 영향을 미친다. 이는 지정된 표면 온도(PST)와 지정된 벽 열 유속(WHF) 조건 모두에서 나타난다. 부력 매개변수는 국소 누셀트 수에 긍정적인 영향을 주지만, 프란틀 수가 작거나 지정된 벽 열 유속 조건에서는 그 영향이 미미하다.^[4]

셔우드 수, 베잔 수, 엔트로피 생성, 스탠턴 수 및 압력 기울기는 부력 관련 매개변수가 증가함에 따라 함께 증가한다. 반면 농도 프로파일, 마찰력, 운동성 미생물은 감소한다.^[4]

참조

_[1] 논문 Franz Grashof and the Grashof Number 1972
_[2] 서적 Fundamentals of Heat and Mass Transfer https://archive.org/[...] Wiley
_[3] 서적 Transport Phenomena https://archive.org/[...] J. Wiley 2002
_[4] 논문 Scrutinization of the effects of Grashof number on the flow of different fluids driven by convection over various surfaces
_[5] 서적 伝熱工学の基礎日新出版

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