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부력

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목차

1. 개요

부력은 물체가 유체 내에서 받는 중력에 반대되는 힘을 의미한다. 아르키메데스의 원리에 따르면, 물체가 받는 부력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같으며, 이 원리는 물체의 밀도와 유체의 밀도 비교를 통해 물체의 뜨고 가라앉음을 설명한다. 부력은 잠수함의 잠수와 부상, 기구의 상승과 하강 등 다양한 현대 기술에 응용되며, 물체의 정역학적 안정성을 결정하는 중요한 요소로 작용한다.

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부력

2. 아르키메데스의 원리

아르키메데스의 원리는 이 법칙을 처음 발견한 아르키메데스의 이름을 따서 지어졌다. 유체 내에서 물체가 뜨고 가라앉는 현상은 아르키메데스의 원리에 따른 힘으로 설명할 수 있다. 아르키메데스는 다음과 같이 말했다.

간단히 말하면, 부력 = 대체된 액체의 무게이다.[11]

아르키메데스의 원리는 물체에 작용하는 표면장력은 고려하지 않지만, 이 추가적인 힘은 대체되는 액체의 양을 변화시키므로, "부력 = 대체된 액체의 무게"라는 결론은 여전히 유효하다.

대체된 액체의 무게는 대체된 액체의 부피에 비례한다(액체의 밀도가 균일한 경우). 부력의 크기는 물체가 대체한 액체의 무게, 즉 대체된 액체의 부피에 밀도와 중력 가속도 g(≈9.8)를 곱한 값과 같다. 따라서 같은 질량의 물체가 물에 잠겼을 때 부피가 클수록 부력이 커진다.

예를 들어, 나무를 물에 떨어뜨리면 부력 때문에 나무가 뜬다.

금속 동전(오래된 영국 파운드 동전)이 부력 때문에 수은에 떠 있으며, 수은의 표면 장력 때문에 더 높이 떠 있는 것처럼 보인다.

2. 1. 정식화

아르키메데스의 원리는 다음과 같이 공식으로 표현할 수 있다.[11]

:F_b = \rho_f Vg

이 식에서 부력(Fb)은 유체의 밀도(ρf), 물체의 부피(V), 그리고 중력 가속도(g)의 곱으로 나타낼 수 있다.

물체에 작용하는 중력과 부력의 합력(위쪽을 양으로 하여)은 다음과 같다.

:F = (\rho_f-\rho_s) Vg

여기서 ρs는 물체의 밀도이다. 따라서

  • 물체가 유체보다 가벼울 때 (ρs < ρf), F > 0 , 즉 물체는 뜬다.
  • 물체가 유체보다 무거울 때 (ρs > ρf), F < 0 , 즉 물체는 가라앉는다.


발산 정리를 사용하면 위에 제시된 부력 공식을 유도할 수 있다.

간단히 설명하면, 유체에 잠긴 정육면체를 생각할 때, 윗면과 아랫면의 압력 차이는 깊이 차이에 비례하며, 이로 인한 힘의 차이는 정육면체 부피를 차지할 유체의 무게와 같다. 임의의 모양의 물체는 서로 접촉하는 정육면체의 그룹으로 근사할 수 있으며, 극한의 경우는 정확한 등가가 된다.

2. 2. 힘과 평형

아르키메데스의 원리는 유체 내에서 물체가 뜨고 가라앉는 현상을 설명한다. 이 원리에 따르면, 물체는 자신이 대체한 유체의 부피만큼의 무게에 해당하는 부력을 윗 방향으로 받는다.[11] 간단히 말해, 부력은 대체된 액체의 무게와 같다.

아르키메데스 원리는 물체에 작용하는 표면장력은 고려하지 않지만, 이 힘은 대체되는 액체의 양을 변화시키므로 "부력 = 대체된 액체의 무게"라는 결론은 유지된다. 대체된 액체의 무게는 그 부피에 비례하며(액체의 밀도가 균일한 경우), 부력은 대체된 액체의 부피에 밀도와 중력 가속도 g(≈9.8)를 곱한 값과 같다. 따라서 같은 질량의 물체라도 물에 잠겼을 때 부피가 클수록 부력이 커진다.

예를 들어, 무게가 10N인 돌멩이를 실에 매달아 물속에 넣었을 때 3N 무게의 물을 대체했다면, 줄이 받는 힘은 10N에서 부력 3N을 뺀 7N이 된다. 이처럼 부력은 물체가 가라앉을 때 겉보기 무게를 줄인다.

아르키메데스 원리는 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있다.

  • 측정치 무게 = 실제 무게 - 대체된 만큼의 유체의 무게


무게를 부피로 나눈 몫은 밀도이므로, 유체의 밀도와 관련된 잠긴 물체의 밀도는 다음과 같이 부피 계산 없이 정리할 수 있다.

  • (물체의 밀도)/(유체의 밀도) = (무게)/(무게-잠겨있는 부피만큼의 무게)


예를 들어, 나무를 물에 떨어뜨리면 부력 때문에 나무가 뜨게 된다. 움직이는 차 안의 헬륨 풍선은 속력이 증가할 때 차의 가속 방향(전방)으로 힘을 받아 멈추며, 곡선 길에서는 안쪽으로 쏠린다.

유체정역학에서 아르키메데스 원리가 적용되는 상황에서 물체에 가해지는 알짜힘은 0이므로, 부력의 합은 물체의 무게와 같다.

:F_\text{net} = 0 = m g - \rho_f V_\text{disp} g \,

다른 외력이 없다면 부력이 무게보다 클 때 물체는 떠오르고, 무게가 부력보다 크면 가라앉는다. 가속 상황에서는 부력을 고려한 역학이 필요하다. 물체가 완전히 가라앉거나 떠올라 움직이지 않을 때 아르키메데스 원리를 적용할 수 있다. 떠 있는 물체는 잠긴 부분만, 가라앉은 물체는 전체 부피가 물을 대체하며 추가적인 힘이 작용한다.

물체가 떠오르려 할 때, 가라앉는 것을 막는 장력 T는 다음과 같다.

:T = \rho_f V g - m g . \,

물체가 바닥에 가라앉으려 할 때, 물체에 가해지는 수직항력 N은 다음과 같다.

:N = m g - \rho_f V g . \,

부력 계산의 다른 방법은 공기 중과 물 속에서의 겉보기 무게를 이용하는 것이다.

  • 부력의 크기 = 공기 속에서의 무게 - 유체에 잠겨있을 때의 무게


결과는 뉴턴 (단위)으로 표시된다. 공기의 밀도는 매우 작으므로, 공기 중에서의 무게는 진공 속 무게와 거의 같다.

평형 상태의 유체 내부 압력 계산 방정식은 다음과 같다.

: \mathbf{f}+\operatorname{div}\,\sigma=0

( '''f'''는 외부 힘 밀도, ''σ''는 변형력 텐서)

이 경우 변형력 텐서는 개개의 텐서에 비례한다.

: \sigma_{ij}=-p\delta_{ij}.\,

(δij는 크로네커 델타)

이를 사용하면 다음과 같다.

: \mathbf{f}=\nabla p.\,

외력이 보존된다고 가정하면, 스칼라 함수의 음의 기울기로 표현 가능하다.

:\mathbf{f}=-\nabla\Phi.\,

따라서 다음과 같다.

: \nabla(p+\Phi)=0 \Longrightarrow p+\Phi = \text{constant}.\,

액체 표면 모양은 가해진 외력의 등전위면과 같다. z축을 아래로 향하게 하고, 중력장(Φ = −''ρfgz'')을 고려하면, 유체 내부 압력은 다음과 같다.

:p=\rho_f g z.\,

따라서 유체 표면으로부터 깊이가 깊어질수록 압력이 증가한다. 높이가 0이 아닌 물체는 위아래 압력이 다르며, 아래쪽 압력이 더 커서 부력이 발생한다.

유체 내부 압력을 알면, 물체에 작용하는 부력은 다음과 같이 계산된다.

:\mathbf{B}=\oint \sigma \, d\mathbf{A}.

발산정리를 이용해 부피적분으로 변환하면 다음과 같다.

:\mathbf{B}=\int \operatorname{div}\sigma \, dV = -\int \mathbf{f}\, dV = -\rho_f \mathbf{g} \int\,dV=-\rho_f \mathbf{g} V

(V는 물체가 유체에 잠긴 부피)

임의 모양의 물체(부피 V)에 대해, 액체가 물체에 가하는 힘은 물체 부피만큼의 액체 무게와 같다. 이 힘은 중력 반대 방향으로 작용한다.

:B = \rho_f V_\text{disp}\, g, \,

(''ρf''는 액체 밀도, ''Vdisp''는 잠긴 부피, ''g''는 중력 가속도)

같은 모양의 액체 부피를 고체로 대체해도, 액체가 작용하는 힘은 같다. 즉, 잠긴 물체에 가해지는 "부력"은 중력 반대 방향이며 크기는 다음과 같다.

:B = \rho_f V g. \,

2. 3. 정역학적 안정성

떠 있는 물체는 약간의 변위 후에도 스스로 평형 위치로 돌아가려는 경향이 있다면 안정적이라고 할 수 있다. 예를 들어, 떠 있는 물체는 일반적으로 수직 복원성을 갖는다. 만약 물체를 약간 아래로 밀면, 더 큰 부력이 발생하여, 무게에 의한 힘과 균형을 이루지 못하고 물체를 다시 위로 밀어 올리기 때문이다.[7]

회전 복원성은 부유하는 선박에 매우 중요하다. 작은 각 변위가 주어질 때, 선박은 원래 위치로 돌아가거나(안정), 원래 위치에서 멀어지거나(불안정), 또는 원래 위치에 머물 수 있다(중립).[7]

회전 복원성은 물체에 작용하는 힘의 상대적인 작용선에 달려 있다. 물체에 작용하는 위쪽 방향의 부력은 부력 중심을 통과하여 작용하며, 부력 중심은 유체의 변위된 부피의 도심이다. 물체에 작용하는 무게는 질량 중심을 통과하여 작용한다. 부유 물체는 무게 중심이 부력 중심 아래에 있으면 안정적인데, 이는 각 변위가 발생하면 '복원 모멘트'를 생성하기 때문이다.[7]

부력 중심(CB)과 무게 중심(CG)의 위치를 기준으로, 밑부분이 무거운(왼쪽) 선박과 윗부분이 무거운(오른쪽) 선박의 복원성 설명


표면에 떠 있는 물체의 복원성은 더 복잡하며, 무게 중심이 부력 중심 위에 있더라도 안정적으로 유지될 수 있다. 평형 위치에서 벗어났을 때, 부력 중심이 무게 중심이 이동하는 방향과 같은 쪽으로 더 많이 이동하여, 긍정적인 복원 모멘트를 제공하는 경우이다. 이러한 상황이 발생하면, 부유 물체는 긍정적인 메타센터 높이를 갖는다고 한다. 이 상황은 일반적으로 경사각의 범위 내에서 유효하며, 이 범위를 넘어서면 부력 중심이 긍정적인 복원 모멘트를 제공할 만큼 충분히 이동하지 않아, 물체는 불안정해진다. 경사 변동 중에 긍정에서 부정으로 또는 그 반대로 여러 번 전환될 수 있으며, 많은 모양이 여러 위치에서 안정적이다.[7]

2. 4. 밀도

아르키메데스의 원리에 따르면, 물체가 받는 부력은 물체가 대체한 유체의 무게와 같다. 이는 유체의 밀도에 잠긴 부피와 중력 가속도를 곱한 값과 같다.[11] 따라서 같은 질량의 물체라도 부피가 클수록 더 큰 부력을 받는다.

물체의 밀도와 유체의 밀도 간의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: \frac { \text{물체의 밀도}} { \text{유체의 밀도} } = \frac { \text{무게}} { \text{무게} - \text{잠겨있는 부피만큼의 무게}}\,

이 공식을 통해 부피를 측정하지 않고도 유체에 대한 잠긴 물체의 밀도를 쉽게 계산할 수 있다.

예를 들어, 나무를 물에 떨어뜨리면 부력에 의해 나무가 뜨게 된다. 이는 나무의 밀도가 물의 밀도보다 낮기 때문이다.

액체와 고체의 밀도 기둥: 베이비 오일, 소독용 알코올 (빨간 식용 색소 포함), 식물성 기름, 왁스, 물 (파란 식용 색소 포함) 및 알루미늄.


어떤 물체의 평균 밀도가 유체보다 낮으면, 완전히 잠겼을 때 자체 무게보다 큰 부력을 경험한다.[9] 이 경우 물체는 뜨게 되고, 물체의 무게와 같은 무게의 유체를 밀어내는 수준에서 정지한다. 반대로, 물체의 평균 밀도가 유체보다 높으면 무게보다 큰 부력을 경험하지 못하고 가라앉는다.

배가 물에 뜨는 원리도 이와 같다. 배는 강철로 만들어져 물보다 밀도가 훨씬 높지만, 배 내부에 공기를 포함하고 있어 전체적인 평균 밀도는 물보다 낮아지기 때문에 물에 뜰 수 있다.[10]

2. 5. 압축성 물체

잠수함은 밸러스트 탱크에 물을 채우거나 배출하여 부력을 조절한다. 탱크에 물을 채우면 잠수함의 평균 밀도가 증가하여 가라앉고, 물을 배출하면 평균 밀도가 감소하여 떠오른다. 대부분의 군용 잠수함은 약간의 음(-)의 부력으로 운항하며, 전진 운동 시 안정판의 "양력"을 사용하여 깊이를 유지한다.

기구 (풍선)는 상승하면서 대기압 감소로 인해 부피가 증가하지만, 기구 자체는 주변 공기만큼 팽창하지 않아 평균 밀도가 주변 공기보다 덜 감소한다. 이로 인해 변위된 공기의 무게가 감소하고, 기구와 변위된 공기의 무게가 같아지면 상승을 멈춘다.

수중 다이버는 부력 조절기와 폐의 부피를 조절하여 부력을 미세하게 조정한다. 다이버는 단열을 위해 가스 충전 공간이 있는 잠수복을 착용하며, 부력 조절기는 팽창 및 수축을 통해 부력을 조절한다. 깊이가 변하면 부력 조절기의 내용물을 조정해야 한다.

2. 6. 무차원수 (일본어 문서)

유체역학에서 사용되는 무차원수 중 부력에 관한 것으로는 다음과 같은 것들이 있다. 이들은 모두 다른 어떤 힘과의 크기 비를 나타낸다.

3. 아르키메데스의 원리에 대한 일화

아르키메데스는 임금으로부터 왕관이 순금인지 아닌지 확인하라는 명을 받았다. 그는 욕조에 들어갔을 때 욕조의 물이 넘치는 것을 보고 부력의 원리를 발견했다고 한다. 이 원리의 요점은, 액체에 넣은 물체에 작용하는 부력은 물체가 대체한 액체의 무게와 같다는 데 있다.[1]

4. 현대적 응용

잠수함은 대형 밸러스트 탱크에 해수를 채워 잠수하고 부상한다. 잠수하기 위해 탱크를 열어 공기가 탱크 상단으로 배출되도록 하고, 물이 하단에서 유입되도록 한다. 무게 균형이 맞춰져 잠수함의 전체 밀도가 주변 물과 같아지면 중립 부력을 갖게 되어 해당 깊이에 머물게 된다. 대부분의 군용 잠수함은 약간의 음의 부력으로 운항하며, 전진 운동 시 안정판의 "양력"을 사용하여 깊이를 유지한다.[1]

기구가 상승하는 높이는 안정적인 경향이 있다. 기구는 상승하면서 대기압 감소에 따라 부피가 증가하는 경향이 있지만, 기구 자체는 기구가 올라타는 공기만큼 팽창하지 않는다. 기구의 평균 밀도는 주변 공기보다 덜 감소한다. 변위된 공기의 무게가 감소한다. 상승하는 기구는 기구와 변위된 공기의 무게가 같아지면 상승을 멈춘다. 마찬가지로, 하강하는 기구는 하강을 멈추는 경향이 있다.[2]

수중 다이버는 압축성으로 인해 불안정한 부력 문제의 흔한 예시이다. 다이버는 일반적으로 단열을 위해 가스 충전 공간에 의존하는 노출복을 착용하며, 부력을 증가시키기 위해 팽창하고 부력을 감소시키기 위해 수축되는 가변 용적 부력 백인 부력 조절기를 착용할 수도 있다. 원하는 상태는 다이버가 중간 수역에서 수영할 때 대개 중성 부력이며, 이 상태는 불안정하므로 다이버는 폐의 부피 조절을 통해 지속적으로 미세 조정을 하고, 깊이가 변하면 부력 조절기의 내용물을 조정해야 한다.[3]

참조

[1] 서적 Longman Pronunciation Dictionary Longman
[2] 서적 Cambridge English Pronouncing Dictionary Cambridge University Press
[3] 문서
[4] 간행물 The diving "Law-ers": A brief resume of their lives. http://archive.rubic[...] 2009-06-13
[5] 서적 Archimedes to Hawking Oxford University Press US
[6] 웹사이트 Floater clustering in a standing wave: Capillarity effects drive hydrophilic or hydrophobic particles to congregate at specific points on a wave http://www.weizmann.[...] 2005-06-23
[7] 간행물 Using surface integrals for checking Archimedes' law of buoyancy https://iopscience.i[...] 2012-01-22
[8] 간행물 A downward buoyant force experiment 2014-05-11
[9] 서적 Archimedes to Hawking Oxford University Press US
[10] 웹사이트 Buoyancy https://www.britanni[...] 2024-10-15
[11] 서적 토목기사 과년도 - 수리수문학 성안당 2015


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