경계층

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1. 개요

경계층은 유체 흐름에서 물체의 표면 근처에 형성되는 얇은 층으로, 유체의 점성으로 인해 속도 변화가 나타난다. 경계층은 층류와 난류로 구분되며, 층류는 매끄러운 흐름을, 난류는 소용돌이를 포함한다. 경계층의 종류로는 스토크스 경계층, 블라지우스 경계층, 팔크너-스칸 경계층, 에크만 경계층 등이 있으며, 열 경계층도 존재한다. 경계층의 두께는 물체 표면으로부터 유동 속도가 자유 유동 속도의 99%에 도달하는 지점까지의 거리로 정의되며, 레이놀즈 수가 증가하면 층류에서 난류로 천이(경계층 천이)가 일어난다. 경계층은 항공기 날개 설계, 선박, 자동차, 터보 기계 등 다양한 분야에서 중요하게 활용되며, 경계층 제어를 통해 성능 향상을 도모한다.

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경계층

2. 경계층의 종류

층류 경계층은 구조와 생성 환경에 따라 대략적으로 분류할 수 있다. 진동하는 물체에 발생하는 얇은 전단층은 스토크스 경계층의 예이며, 블라지우스 경계층은 일정 방향으로 흐르는 유체 속에 놓인 부착된 평판 근처의 잘 알려진 상사성 해를 말하며, 팔크너-스칸 경계층은 블라지우스 프로파일의 일반화이다. 유체가 회전하고 점성력이 코리올리 효과(대류 관성이 아닌)에 의해 균형을 이룰 때 에크만 경계층이 형성된다. 열전달 이론에서는 열 경계층이 발생한다. 표면에는 여러 유형의 경계층이 동시에 존재할 수 있다.^[1]

기류의 점성은 표면의 국소 속도를 감소시키며, 이는 표면 마찰의 원인이 된다. 날개 표면 위의 공기층은 점성에 의해 속도가 감소하거나 정지하며, 이것이 경계층이다. 경계층 흐름에는 층류와 난류의 두 가지 유형이 있다.^[1]

'''층류 경계층 흐름'''

층류 경계층은 매우 매끄러운 흐름인 반면, 난류 경계층에는 소용돌이 또는 "와류"가 포함된다. 층류는 난류보다 표면 마찰 항력이 적지만 안정성이 떨어진다. 날개 표면 위의 경계층 흐름은 매끄러운 층류로 시작된다. 흐름이 전연에서 계속됨에 따라 층류 경계층의 두께는 증가한다.

'''난류 경계층 흐름'''

전연에서 어느 정도 거리 뒤에 매끄러운 층류가 붕괴되어 난류로 전이된다. 항력의 관점에서 볼 때, 층류에서 난류로의 전이가 날개의 후방으로 갈수록 멀어지거나, 날개 표면의 상당 부분이 경계층의 층류 부분 내에 있도록 하는 것이 좋다. 그러나 저에너지 층류는 난류보다 갑자기 붕괴되는 경향이 있다.

; 층류 경계층

: 층류로 구성된 경계층. 층류 경계층에서는 유체 간의 운동량 교환이 분자 운동(유체 분자의 충돌)에 의해서만 이루어지기 때문에, 이것이 활발하게 일어나지 않는다. 따라서 난류 경계층보다 먼저 박리될 뿐만 아니라, 벽면 근처에서 완만하게 감소하는 속도 분포를 보인다. 따라서 벽면과의 속도 차이가 작고, 벽면에 작용하는 마찰 항력은 작다.

: 레이놀즈 수가 커지면 난류 경계층으로 '''경계층 천이'''한다. 간단한 구체적인 예로, 균일한 흐름 속에 평판을 흐름에 따라 놓았을 경우, 평판 전연으로부터의 거리를 대표 길이로 하여 레이놀즈 수를 정의하면, 대략 3.2×10⁵ 정도의 지점에서 층류에서 난류로의 천이가 일어난다.^[33]

; 난류 경계층

: 난류로 구성된 경계층. 난류 경계층에서는 유체의 와류 운동에 의해, 큰 속도를 가진 유체와 벽면 근처의 운동량이 작은 유체가 섞여 활발하게 운동량 교환이 이루어진다. 따라서 벽면 근방의 유체에 운동량이 계속 공급되므로 층류 경계층보다 박리되기 어렵다. 이러한 성질에 주목하여, 실속을 싫어하는 비행기의 날개에는 의도적으로 난류를 발생시키기 위한 돌기인 볼텍스 제너레이터가 자주 설치된다.

: 또한 속도의 평균화가 일어나기 때문에, 벽면 근처에서 급격하게 감소하는 속도 분포를 가지며, 따라서 마찰 항력이 크다.

2. 1. 층류 경계층

층류 경계층은 구조와 생성 환경에 따라 대략적으로 분류할 수 있다. 진동하는 물체에 발생하는 얇은 전단층은 스토크스 경계층의 예이며, 블라지우스 경계층은 일정 방향으로 흐르는 유체 속에 놓인 부착된 평판 근처의 잘 알려진 상사성 해를 말하며, 팔크너-스칸 경계층은 블라지우스 프로파일의 일반화이다. 유체가 회전하고 점성력이 코리올리 효과(대류 관성이 아닌)에 의해 균형을 이룰 때 에크만 경계층이 형성된다. 열전달 이론에서는 열 경계층이 발생한다. 표면에는 여러 유형의 경계층이 동시에 존재할 수 있다.^[1]

기류의 점성은 표면의 국소 속도를 감소시키며, 이는 표면 마찰의 원인이 된다. 날개 표면 위의 공기층은 점성에 의해 속도가 감소하거나 정지하며, 이것이 경계층이다. 경계층 흐름에는 층류와 난류의 두 가지 유형이 있다.^[1]

층류 경계층은 매우 매끄러운 흐름인 반면, 난류 경계층에는 소용돌이 또는 "와류"가 포함된다. 층류는 난류보다 표면 마찰 항력이 적지만 안정성이 떨어진다. 날개 표면 위의 경계층 흐름은 매끄러운 층류로 시작된다. 흐름이 전연에서 계속됨에 따라 층류 경계층의 두께는 증가한다.^[1]

층류 경계층에서는 유체 간의 운동량 교환이 분자 운동(유체 분자의 충돌)에 의해서만 이루어지기 때문에, 이것이 활발하게 일어나지 않는다. 따라서 난류 경계층보다 먼저 박리될 뿐만 아니라, 벽면 근처에서 완만하게 감소하는 속도 분포를 보인다. 따라서 벽면과의 속도 차이가 작고, 벽면에 작용하는 마찰 항력은 작다.^[33]

레이놀즈 수가 커지면 난류 경계층으로 '''경계층 천이'''한다. 간단한 구체적인 예로, 균일한 흐름 속에 평판을 흐름에 따라 놓았을 경우, 평판 전연으로부터의 거리를 대표 길이로 하여 레이놀즈 수를 정의하면, 대략 3.2×10⁵ 정도의 지점에서 층류에서 난류로의 천이가 일어난다.^[33]

2. 2. 난류 경계층

난류 경계층은 유동 특성의 시간에 따른 변화 때문에 해석이 어렵다.^[1] 난류 유동을 다루는 데 널리 사용되는 기법 중 하나는 레이놀즈 분해를 적용하는 것이다. 이 기법을 경계층 방정식에 적용하면 다음과 같은 방정식을 얻는다.^[1]

:

{\partial \overline{u}\over\partial x}+{\partial \overline{v}\over\partial y}=0

:

\overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+ \nu \left({\partial^2 \overline{u}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'^2})

:

\overline{u}{\partial \overline{v} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{v} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial y}+\nu \left({\partial^2 \overline{v}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{v}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{v'^2})

유사한 크기 차수 분석을 통해 위의 방정식을 단순화할 수 있다. x-운동량 방정식은 다음과 같이 표현된다.^[1]

:

\overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).

점성 항이 주요 항이 되도록 새로운 길이 스케일을 사용하면, "내부 경계층"에 대한 운동량 방정식은 다음과 같다.^[1]

:

0=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).

무한대 레이놀즈 수의 한계에서, 압력 구배 항은 난류 경계층의 내부 영역에 영향을 미치지 않는다. 난류 변동의 속도 스케일은 마찰 속도이다.^[1]

난류 경계층에 대한 보편적인 유사 해를 찾는 것은 어렵고 논란의 여지가 있다. 유동의 두 영역을 모두 포괄하는 유사 해를 찾으려면 점근적으로 해를 일치시켜야 하며, 이는 로그 법칙 또는 멱 법칙을 생성한다.^[1]

난류 경계층 방정식의 추가 항

\overline{u'v'}

는 레이놀즈 전단 응력으로 알려져 있으며, 사전적으로 알 수 없다. 따라서 난류 경계층 방정식의 해는 난류 모델의 사용을 필요로 한다.^[1]

일정 응력층은 벽 근처 영역에 존재한다. 벽 근처에서 수직 속도 변동이 감쇠되기 때문에 레이놀즈 응력 항은 무시할 수 있게 되고, 선형 속도 프로파일이 존재한다는 것을 알 수 있다. 이것은 매우 벽 근처 영역에서만 해당된다.^[1]

난류 경계층에서는 유체의 와류 운동에 의해 운동량 교환이 활발하게 이루어진다. 따라서 벽면 근방의 유체에 운동량이 계속 공급되므로 층류 경계층보다 박리되기 어렵다. 이러한 성질 때문에 볼텍스 제너레이터가 설치되기도 한다. 또한 속도의 평균화가 일어나기 때문에, 벽면 근처에서 급격하게 감소하는 속도 분포를 가지며, 따라서 마찰 항력이 크다.^[33]

2. 3. 경계층 천이

레이놀즈 수가 커지면 층류 경계층은 난류 경계층으로 '''경계층 천이'''를 한다.^[33] 예를 들어 균일한 흐름 속에 평판을 흐름에 따라 놓았을 경우, 평판 전연으로부터의 거리를 대표 길이로 하여 레이놀즈 수를 정의하면, 대략 3.2×10⁵ 정도의 지점에서 층류에서 난류로의 천이가 일어난다.^[33]

항력의 관점에서 볼 때, 층류에서 난류로의 전이가 날개의 후방으로 갈수록 멀어지거나, 날개 표면의 상당 부분이 경계층의 층류 부분 내에 있도록 하는 것이 좋다. 그러나 저에너지 층류는 난류보다 갑자기 붕괴되는 경향이 있다.^[1]

3. 경계층의 특징

항공역학적 경계층은 1904년 8월 12일 하이델베르크(Heidelberg, Germany)에서 열린 제3차 국제 수학자 회의에서 루트비히 프란틀이 발표한 논문에서 처음으로 제시되었다.^[2] 이는 유동장을 두 영역으로 나눔으로써 유체 흐름 방정식을 단순화한다. 하나는 점성이 지배적인 경계층 내부 영역으로, 경계면에 작용하는 대부분의 항력을 발생시키고, 다른 하나는 점성을 무시해도 해에 큰 영향을 미치지 않는 경계층 외부 영역이다.^[2] 이를 통해 완전해를 통해 전체 나비어-스톡스 방정식을 크게 단순화하여 두 영역 모두에서 흐름에 대한 해를 구할 수 있다. 이와 같은 가정은 물과 같이 점성이 중간 정도 또는 낮은 다른 유체(공기 이외)에도 적용 가능하다.^[2] 표면과 벌크 유체 사이에 온도차가 있는 경우, 물체로의 또는 물체로부터의 대부분의 열전달은 속도 경계층 근처에서 발생한다는 것을 알 수 있다. 이는 다시 경계층 외부 유동장에서 방정식을 단순화할 수 있게 해준다.^[2] 표면(예: 익형)에 수직인 방향으로 경계층 전체의 압력 분포는 경계층 전체에 걸쳐 비교적 일정하며, 표면 자체의 압력 분포와 같다.

== 경계층 두께 ==

속도 경계층의 두께는 일반적으로 고체 표면으로부터 점성 유동 속도가 자유 유동 속도(비점성 유동의 표면 속도)의 99%에 도달하는 지점까지의 거리로 정의된다.^[2] 변위 두께는 벽에서 미끄럼이 있는 비점성 유동과 비교하여 경계층이 질량 유동량의 부족을 나타낸다는 대안적인 정의이다. 이는 점성 유동과 같은 총 질량 유동량을 얻기 위해 비점성 유동에서 벽을 이동시켜야 하는 거리이다.^[2] 미끄럼 방지 조건은 고체 물체 표면에서 유동 속도가 0이고 유체 온도가 표면 온도와 같아야 함을 요구한다.^[2] 그러면 아래의 경계층 방정식에 따라 유동 속도가 경계층 내에서 급격히 증가한다.

열 경계층 두께는 마찬가지로, 온도가 자유 유동 온도의 99%에 도달하는 지점까지의 물체로부터의 거리이다.^[2] 두 두께의 비는 프란틀 수에 의해 결정된다. 프란틀 수가 1이면 두 경계층의 두께는 같다. 프란틀 수가 1보다 크면 열 경계층이 속도 경계층보다 얇고, 표준 조건에서 공기의 경우처럼 프란틀 수가 1보다 작으면 열 경계층이 속도 경계층보다 두껍다.^[2]

위와 같은 물체 주위의 직선 유동의 예에서, 경계층 두께는 유동의 속도가

:

u = 0.99 u₀

가 되는 물체의 표면으로부터의 거리로 정의할 수 있다. 이러한 정의는 층류 및 난류 모두에 대해 유효하다.

위의 그림에서 점선은 경계층 두께를 나타내며, 그림에서 나타난 것과 같이 평판의 시작 부분에서부터 하류로 갈수록 경계층 두께가 점점 두꺼워진다. 유동 조건에 따라 더 하류로 가면 난류 경계층으로 바뀔 수도 있으며, 이러한 현상을 '''경계층 천이(boundary layer transition)'''라고 한다.

유체역학에서는 보다 의미 있는 정의로서 displacement thickness 및 momentum thichkess라는 두 가지 정의를 사용한다.

원통형 유동에 대한 과도 및 점성력 방정식을 사용하면, 우머슬리 수($N_w$)를 구하여 과도 경계층 두께를 예측할 수 있다.

과도력 = ρvw

점성력 = ${\frac {μv}{δ12}}$

두 힘을 같다고 놓으면:

ρvw=${\frac {μv}{δ12}}$

델타에 대해 풀면:

$δ1=${\sqrt }}={\sqrt }}$

무차원 형태로 나타내면:

${\frac {L}{δ1}}=L{\sqrt }}=Nw$

여기서 N_w = 우머슬리 수; ρ = 밀도; v = 속도; w = ?; δ₁ = 과도 경계층 길이; μ = 점도; L = 특성 길이.

== 속도 분포 ==

활공기와 여객기와 같이 고성능 설계에서는 항력을 최소화하기 위해 경계층의 거동을 제어하는 데 많은 주의를 기울인다.^[2] 두 가지 효과를 고려해야 한다. 첫째, 경계층은 변위 두께를 통해 물체의 유효 두께를 증가시켜 압력 항력을 증가시킨다. 둘째, 날개 표면의 전단력은 표면 마찰 항력을 발생시킨다.^[2]

전체 크기의 항공기에서 일반적인 높은 레이놀즈 수에서는 층류 경계층을 갖는 것이 바람직하다. 이는 층류의 특징적인 속도 분포로 인해 표면 마찰이 감소하기 때문이다.^[2] 그러나 경계층은 유동이 물체를 따라 발달함에 따라 불가피하게 두꺼워지고 안정성이 떨어지며 결국 난류가 되는데, 이 과정을 경계층 천이라고 한다. 이 문제를 해결하는 한 가지 방법은 다공성 표면을 통해 경계층을 빨아들이는 것이다(경계층 흡입 참조).^[2] 이렇게 하면 항력을 줄일 수 있지만, 기계적 복잡성과 공기를 이동시키고 제거하는 데 필요한 동력 때문에 일반적으로 실용적이지 않다. 자연 층류(NLF) 기술은 익형 또는 동체의 가장 두꺼운 지점을 후방으로 이동시켜 전방의 속도를 줄이고 더 긴 길이로 동일한 레이놀즈 수를 달성함으로써 경계층 천이를 후방으로 이동시킨다.^[2]

모형 항공기에서 볼 수 있는 것과 같은 낮은 레이놀즈 수에서는 층류를 유지하는 것이 비교적 쉽다.^[2] 이것은 바람직한 낮은 표면 마찰을 제공한다. 그러나 층류 경계층에 낮은 표면 마찰을 제공하는 동일한 속도 분포는 또한 역압 구배에 의해 심하게 영향을 받는다.^[2] 날개 코드의 후방 부분에서 압력이 회복되기 시작하면 층류 경계층은 표면에서 분리되는 경향이 있다. 이러한 유동 박리는 날개 단면의 유효 크기를 크게 증가시키기 때문에 압력 항력이 크게 증가한다.^[2] 이러한 경우, 층류 박리 위치 이전 지점에서 난류 발생기를 사용하여 경계층을 의도적으로 난류로 천이시키는 것이 유리할 수 있다. 난류 경계층의 더 완전한 속도 분포를 통해 역압 구배를 분리하지 않고 유지할 수 있다. 따라서 표면 마찰이 증가하지만 전반적인 항력은 감소한다.^[2] 이것이 골프공의 딤플과 항공기의 와류 발생기의 원리이다. 층류 박리를 줄이거나 제거하도록 압력 회복을 조정하는 특수 날개 단면도 설계되었다. 이것은 유동 박리로 인한 압력 항력과 유도 난류로 인한 표면 마찰 사이의 최적의 절충안을 나타낸다.^[2]

벽면 근방에서는 평균 속도에 대해 상당히 보편적인 법칙이 성립하는 것으로 알려져 있다.^[36] 난류의 벽면 근방에서의 속도 분포는, 벽에 따른 흐름의 평균 속도 를 무차원화한 ''U'' / ''U''_τ}}의 분포가 벽면으로부터의 거리 를 무차원화한 ''y'' / δ_ν}}의 함수로서 주어지는 것이 실험적으로 확인되고 있다. 이 관계를 '''벽 법칙'''(wall law)^[37] 또는 속도 분포가 로그 함수를 이용하여 표현되는 것으로부터 '''로그 속도칙'''^[36]이라고 한다.

$U_\tau := \sqrt{\frac{\tau_\mathrm{w}}{\rho}}$ 는 마찰 속도,
$\delta_\nu := \frac{\nu}{U_\tau}$ 는 점성 길이이며, 이들은 벽 근처의 점성 영역을 대표하는 스케일이다. (는 벽면 전단 응력, 는 유체 밀도, 는 유체의 동점성률).

벽 근방에서는 속도 기울기가 크기 때문에, 전산유체역학(CFD)에서는 보통 이 영역의 격자 간격을 밀집시켜야 한다. 그러나 실제 계산에서는 여러 가지 제약에 의해 격자점 수를 줄이는 것이 요구된다. 벽 법칙의 이용은 이러한 요구에 응하는 것이며, 실무적인 계산에 많이 사용되고 있다.^[37]

벽 법칙은 다음의 무차원 방정식

:

\frac{dU^+}{dy^+} = \frac{1}{y^+}\Phi_\mathrm{I}(y^+), \quad \frac{y}{a}\ll 1

또는 이것을 적분한

:

U^+ = f_\mathrm{w}(y^+)

로 표현된다. 여기서 는 흐름의 스케일이며, 은 벽에 충분히 가까운 영역임을 나타낸다.

경계층은 벽으로부터의 무차원 거리 에 의해 3가지 영역으로 분류되고, 속도 분포 가 다른 함수 및 로 표현된다. 이것은 카르만의 3층 모델^[38]이라고 불린다.

점성 저층: ^[36]^[37]의, 벽면에 매우 가까운 영역에서는, ''y''⁺}}가 성립한다.
완충층: 점성 저층과 로그층의 중간 영역이다.
로그층: 그리고 의 영역^[36], 또는 ^[37]의 영역에서는, 를 상수로 놓고,

::

\frac{dU^+}{dy^+} = \frac{1}{\kappa y^+}

:또는 이것을 적분하여

::

U^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ +B

:로 표현할 수 있다. 상수 는 카르만 상수라고 불리며, 일반적으로

:* 0.41, ''B'' 5.2}}^[37]

:* 매끄러운 평판에 대해서는 0.4, ''B'' 5.5}}^[36]

:가 실험에 의한 속도 분포를 잘 재현한다.

한편, 완충층을 무시하고 다음과 같이 표현되는 2층 모델도 있다.^[38] 이것은 식의 형태로부터 1/7승칙이라고도 불린다.

에서 ''y''⁺}}
에서 8.57(''y''⁺)^1/7}}

3. 1. 경계층 두께

위와 같은 물체 주위의 직선 유동의 예에서, 경계층 두께는 유동의 속도가

:

u = 0.99 u₀

가 되는 물체의 표면으로부터의 거리로 정의할 수 있다. 이러한 정의는 층류 및 난류 모두에 대해 유효하다.

위의 그림에서 점선은 경계층 두께를 나타내며, 그림에서 나타난 것과 같이 평판의 시작 부분에서부터 하류로 갈수록 경계층 두께가 점점 두꺼워진다. 유동 조건에 따라 더 하류로 가면 난류 경계층으로 바뀔 수도 있으며, 이러한 현상을 '''경계층 천이(boundary layer transition)'''라고 한다.

유체역학에서는 보다 의미 있는 정의로서 displacement thickness 및 momentum thichkess라는 두 가지 정의를 사용한다.

원통형 유동에 대한 과도 및 점성력 방정식을 사용하면, 우머슬리 수($N_w$)를 구하여 과도 경계층 두께를 예측할 수 있다.

과도력 = ρvw

점성력 = ${\frac {μv}{δ12}}$

두 힘을 같다고 놓으면:

ρvw=${\frac {μv}{δ12}}$

델타에 대해 풀면:

$δ1=${\sqrt }}={\sqrt }}$

무차원 형태로 나타내면:

${\frac {L}{δ1}}=L{\sqrt }}=Nw$

여기서 N_w = 우머슬리 수; ρ = 밀도; v = 속도; w = ?; δ₁ = 과도 경계층 길이; μ = 점도; L = 특성 길이.

3. 2. 속도 분포

벽면 근방에서는 평균 속도에 대해 상당히 보편적인 법칙이 성립하는 것으로 알려져 있다.^[36] 난류의 벽면 근방에서의 속도 분포는, 벽에 따른 흐름의 평균 속도 를 무차원화한 ''U'' / ''U''_τ}}의 분포가 벽면으로부터의 거리 를 무차원화한 ''y'' / δ_ν}}의 함수로서 주어지는 것이 실험적으로 확인되고 있다. 이 관계를 '''벽 법칙'''(wall law)^[37] 또는 속도 분포가 로그 함수를 이용하여 표현되는 것으로부터 '''로그 속도칙'''^[36]이라고 한다.

$U_\tau := \sqrt{\frac{\tau_\mathrm{w}}{\rho}}$ 는 마찰 속도,
$\delta_\nu := \frac{\nu}{U_\tau}$ 는 점성 길이이며, 이들은 벽 근처의 점성 영역을 대표하는 스케일이다. (는 벽면 전단 응력, 는 유체 밀도, 는 유체의 동점성률).

벽 근방에서는 속도 기울기가 크기 때문에, 전산유체역학(CFD)에서는 보통 이 영역의 격자 간격을 밀집시켜야 한다. 그러나 실제 계산에서는 여러 가지 제약에 의해 격자점 수를 줄이는 것이 요구된다. 벽 법칙의 이용은 이러한 요구에 응하는 것이며, 실무적인 계산에 많이 사용되고 있다.^[37]

벽 법칙은 다음의 무차원 방정식

:

\frac{dU^+}{dy^+} = \frac{1}{y^+}\Phi_\mathrm{I}(y^+), \quad \frac{y}{a}\ll 1

또는 이것을 적분한

:

U^+ = f_\mathrm{w}(y^+)

로 표현된다. 여기서 는 흐름의 스케일이며, 은 벽에 충분히 가까운 영역임을 나타낸다.

경계층은 벽으로부터의 무차원 거리 에 의해 3가지 영역으로 분류되고, 속도 분포 가 다른 함수 및 로 표현된다. 이것은 카르만의 3층 모델^[38]이라고 불린다.

점성 저층: ^[36]^[37]의, 벽면에 매우 가까운 영역에서는, ''y''⁺}}가 성립한다.
완충층: 점성 저층과 로그층의 중간 영역이다.
로그층: 그리고 의 영역^[36], 또는 ^[37]의 영역에서는, 를 상수로 놓고,

::

\frac{dU^+}{dy^+} = \frac{1}{\kappa y^+}

:또는 이것을 적분하여

::

U^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ +B

:로 표현할 수 있다. 상수 는 카르만 상수라고 불리며, 일반적으로

:* 0.41, ''B'' 5.2}}^[37]

:* 매끄러운 평판에 대해서는 0.4, ''B'' 5.5}}^[36]

:가 실험에 의한 속도 분포를 잘 재현한다.

한편, 완충층을 무시하고 다음과 같이 표현되는 2층 모델도 있다.^[38] 이것은 식의 형태로부터 1/7승칙이라고도 불린다.

에서 ''y''⁺}}
에서 8.57(''y''⁺)^1/7}}

3. 3. 벽면 전단 응력

4. 경계층 방정식

크기 차수 분석을 이용하여 점성 유체 흐름의 잘 알려진 지배 나비어-스토크스 방정식을 경계층 내에서 크게 단순화할 수 있다. 특히, 편미분 방정식의 특성은 완전한 나비어-스토크스 방정식의 타원형 형태가 아닌 포물선형이 된다. 이는 방정식의 해를 구하는 것을 크게 단순화한다. 경계층 근사를 통해 유동은 비점성 부분(여러 방법으로 쉽게 풀 수 있음)과 경계층으로 나뉘는데, 경계층은 풀기 쉬운 편미분 방정식에 의해 지배된다. 직교 좌표계에서 2차원 정상 비압축성 유동에 대한 연속 방정식과 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같다.

: ${\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0$

: $u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right)$

: $u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon{\partial \upsilon \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 \upsilon\over \partial x^2}+{\partial^2 \upsilon\over \partial y^2}\right)$

여기서 $u$ 와 $\upsilon$ 는 속도 성분, $\rho$ 는 밀도, $p$ 는 압력, $\nu$ 는 특정 지점에서의 유체의 동점성계수이다.

근사는 충분히 높은 레이놀즈 수에 대해 표면 위의 유동을 점성의 영향을 받지 않는 비점성 유동의 외부 영역(유동의 대부분)과 점성이 중요한 표면 근처의 영역(경계층)으로 나눌 수 있다고 말한다. $u$ 와 $\upsilon$ 를 경계층 내의 유동 방향 및 수직(벽에 수직) 속도라고 하자. 척도 분석을 사용하면, 운동 방정식이 경계층 내에서 다음과 같이 축소됨을 보일 수 있다.

: $u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}$

: ${1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0$

그리고 유체가 비압축성(표준 조건 하의 액체와 같음)인 경우:

: ${\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0$

크기 차수 분석은 경계층 내의 유동 방향 길이 눈금이 수직 방향 길이 눈금보다 상당히 크다고 가정한다. 따라서 유동 방향의 특성 변화는 일반적으로 벽에 수직 방향의 변화보다 훨씬 작다. 이것을 연속 방정식에 적용하면 벽에 수직한 속도인 $\upsilon$ 가 유동 방향 속도인 $u$ 에 비해 작다는 것을 알 수 있다.

정압 $p$ 가 $y$ 와 무관하므로, 경계층 가장자리의 압력은 주어진 유동 방향 위치에서 경계층 전체의 압력과 같다. 외부 압력은 베르누이 방정식을 적용하여 얻을 수 있다. $u$ 와 $U$ 가 모두 평행인 경계층 외부의 유체 속도를 $U$ 라고 하자. $p$ 를 대입하면 다음 결과를 얻는다.

: $u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=U\frac{dU}{dx}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}$

정압 $p$ 가 유동 방향으로도 변하지 않는 유동의 경우

: $\frac{dp}{dx}=0$

따라서 $U$ 는 일정하게 유지된다.

따라서 운동 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

: $u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}$

이러한 근사는 과학 및 공학적 관심 분야의 다양한 실제 유동 문제에 사용된다. 위 분석은 임의의 순간 층류 또는 난류 경계층에 적용되지만, 속도 변동이 없기 때문에 평균 유동이 순간 유동과 같기 때문에 주로 층류 연구에 사용된다. 이 단순화된 방정식은 포물선형 편미분 방정식이며, 종종 블라지우스 경계층으로 불리는 유사 해를 사용하여 풀 수 있다.

경계층에 대해 연속 방정식과 나비에-스톡스 방정식의 각 항의 차수를 검토하면, 다음과 같은, 흐름 방향에 대한 운동 방정식을 얻을 수 있다.^[35] 이 식을 '''경계층 방정식'''이라고 한다.^[35]

: $u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{\partial U}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$

여기서 는 주류 속도, 는 동점성 계수이다. 이 방정식의 경계 조건은, 벽면 ( 0}})에서의 점착 조건과 경계층 외부 ( δ}})에서의 주류 속도와의 일치:^[35]

: $\begin{align}&u=v=0\quad(y=0),\\&u=U\quad(y=\delta)\end{align}$

이다. 경계층 내의 속도 분포가 유사하다고 가정하면, 무차원 속도 는 의 함수로 나타낼 수 있다.^[35]

또, 압력 에 관해서는

: $\frac{\partial P}{\partial y} = 0$

즉, 경계층 내의 압력은 외부의 압력과 같다는 것을 알 수 있다.^[35]

4. 1. 프란틀의 경계층 방정식

항공역학적 경계층은 1904년 8월 12일 하이델베르크(Heidelberg, Germany)에서 열린 제3차 국제 수학자 회의에서 루트비히 프란틀(Ludwig Prandtl)이 발표한 논문에서 처음으로 제시되었다. 이는 유동장을 두 영역으로 나눔으로써 유체 흐름 방정식을 단순화한다. 하나는 점성이 지배적인 경계층 내부 영역으로, 경계면에 작용하는 대부분의 항력을 발생시키고, 다른 하나는 점성을 무시해도 해에 큰 영향을 미치지 않는 경계층 외부 영역이다. 이를 통해 완전해를 통해 전체 나비어-스톡스 방정식을 크게 단순화하여 두 영역 모두에서 흐름에 대한 해를 구할 수 있다. 표면과 벌크 유체 사이에 온도차가 있는 경우, 물체로의 또는 물체로부터의 대부분의 열전달은 속도 경계층 근처에서 발생한다는 것을 알 수 있다. 이는 다시 경계층 외부 유동장에서 방정식을 단순화할 수 있게 해준다. 표면(예: 익형)에 수직인 방향으로 경계층 전체의 압력 분포는 경계층 전체에 걸쳐 비교적 일정하며, 표면 자체의 압력 분포와 같다.

속도 경계층의 두께는 일반적으로 고체 표면으로부터 점성 유동 속도가 자유 유동 속도(비점성 유동의 표면 속도)의 99%에 도달하는 지점까지의 거리로 정의된다.^[2] 미끄럼 방지 조건은 고체 물체 표면에서 유동 속도가 0이고 유체 온도가 표면 온도와 같아야 함을 요구한다.^[2]

'''경계층 방정식'''의 유도는 유체역학에서 가장 중요한 발전 중 하나였다. 크기 차수 분석을 이용하여 점성 유체 흐름의 잘 알려진 지배 나비어-스토크스 방정식을 경계층 내에서 크게 단순화할 수 있다. 특히, 편미분 방정식의 특성은 완전한 나비어-스토크스 방정식의 타원형 형태가 아닌 포물선형이 된다. 이는 방정식의 해를 구하는 것을 크게 단순화한다. 경계층 근사를 통해 유동은 비점성 부분(여러 방법으로 쉽게 풀 수 있음)과 경계층으로 나뉘는데, 경계층은 풀기 쉬운 편미분 방정식에 의해 지배된다. 직교 좌표계에서 2차원 정상 비압축성 유동에 대한 연속 방정식과 나비어-스토크스 방정식은 다음과 같다.

:

{\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0

:

u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right)

:

u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon{\partial \upsilon \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 \upsilon\over \partial x^2}+{\partial^2 \upsilon\over \partial y^2}\right)

여기서

u

와

\upsilon

는 속도 성분,

\rho

는 밀도,

p

는 압력,

\nu

는 특정 지점에서의 유체의 동점성계수이다.

근사는 충분히 높은 레이놀즈 수에 대해 표면 위의 유동을 점성의 영향을 받지 않는 비점성 유동의 외부 영역(유동의 대부분)과 점성이 중요한 표면 근처의 영역(경계층)으로 나눌 수 있다고 말한다.

u

와

\upsilon

를 경계층 내의 유동 방향 및 수직(벽에 수직) 속도라고 하자. 척도 분석을 사용하면, 운동 방정식이 경계층 내에서 다음과 같이 축소됨을 보일 수 있다.

:

u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

:

{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0

그리고 유체가 비압축성(표준 조건 하의 액체와 같음)인 경우:

:

{\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0

크기 차수 분석은 경계층 내의 유동 방향 길이 눈금이 수직 방향 길이 눈금보다 상당히 크다고 가정한다. 따라서 유동 방향의 특성 변화는 일반적으로 벽에 수직 방향의 변화보다 훨씬 작다. 이것을 연속 방정식에 적용하면 벽에 수직한 속도인

\upsilon

가 유동 방향 속도인

u

에 비해 작다는 것을 알 수 있다.

정압

p

가

y

와 무관하므로, 경계층 가장자리의 압력은 주어진 유동 방향 위치에서 경계층 전체의 압력과 같다. 외부 압력은 베르누이 방정식을 적용하여 얻을 수 있다.

u

와

U

가 모두 평행인 경계층 외부의 유체 속도를

U

라고 하자.

p

를 대입하면 다음 결과를 얻는다.

:

u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=U\frac{dU}{dx}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

정압

p

가 유동 방향으로도 변하지 않는 유동의 경우

:

\frac{dp}{dx}=0

따라서

U

는 일정하게 유지된다.

따라서 운동 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

:

u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2}

이러한 근사는 과학 및 공학적 관심 분야의 다양한 실제 유동 문제에 사용된다. 위 분석은 임의의 순간 층류 또는 난류 경계층에 적용되지만, 속도 변동이 없기 때문에 평균 유동이 순간 유동과 같기 때문에 주로 층류 연구에 사용된다. 이 단순화된 방정식은 포물선형 편미분 방정식이며, 종종 블라지우스 경계층으로 불리는 유사 해를 사용하여 풀 수 있다.

프란틀(Ludwig Prandtl)은 경계층 방정식을 만족하는 임의의 해 u(x,y,t), v(x,y,t)로부터, 경계층 방정식을 또한 만족하는 추가적인 해 u*(x,y,t), v*(x,y,t)를 다음과 같이 구성할 수 있음을 관찰했다.^[3]

:u*(x,y,t) = u(x,y+f(x),t), v*(x,y,t) = v(x,y+f(x),t) - f'(x)u(x,y+f(x),t)

여기서 f(x)는 임의의 함수이다.^[3] 수학적인 관점에서 해는 유일하지 않으므로,^[4] 스튜어트슨(Keith Stewartson)^[5]과 폴 A. 리비(Paul A. Libby)^[6]^[7]가 보여준 바와 같이 해에는 무한한 집합의 고유함수 중 하나를 더할 수 있다.

경계층에 대해 연속 방정식과 나비에-스톡스 방정식의 각 항의 차수를 검토하면, 다음과 같은, 흐름 방향에 대한 운동 방정식을 얻을 수 있다.^[35] 이 식을 '''경계층 방정식'''이라고 한다.^[35]

:

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{\partial U}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

여기서 는 주류 속도, 는 동점성 계수이다. 이 방정식의 경계 조건은, 벽면 ( 0}})에서의 점착 조건과 경계층 외부 ( δ}})에서의 주류 속도와의 일치:^[35]

:

\begin{align}&u=v=0\quad(y=0),\\&u=U\quad(y=\delta)\end{align}

이다. 경계층 내의 속도 분포가 유사하다고 가정하면, 무차원 속도 는 의 함수로 나타낼 수 있다.^[35]

또, 압력 에 관해서는

:

\frac{\partial P}{\partial y} = 0

즉, 경계층 내의 압력은 외부의 압력과 같다는 것을 알 수 있다.^[35]

4. 2. 블라지우스 해

파울 리하르트 하인리히 블라지우스(Paul Richard Heinrich Blasius)는 층류 경계층 방정식에 대한 정확한 해를 유도했다.^[25] 경계층의 두께

\delta

는 층류 흐름에 대한 레이놀즈 수의 함수이다.

:

\delta \approx 5.0{x \over \sqrt {Re}}

:

\delta

는 경계층의 두께로, 속도가 원거리 속도

v_\infty

의 99% 미만인 유동 영역을 의미한다.

x

는 반무한 평판을 따라 위치하며,

Re

는

\rho v_\infty x / \mu

로 주어지는 레이놀즈 수이다. (

\rho =

밀도 및

\mu =

동점성도).

블라지우스 해는 무차원 형태의 경계 조건을 사용한다.

:

{v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = {v_y\over v_\infty}= 0

at

y=0

:

{v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = 1

at

y=\infty

and

x=0

Velocity and Temperature boundary layers share functional form — 속도 경계층(위쪽, 주황색)과 온도 경계층(아래쪽, 녹색)은 운동량/에너지 균형과 경계 조건의 유사성으로 인해 함수 형태가 같습니다.

많은 경우에, 미끄럼 방지 경계 조건이 성립하여

v_S

, 즉 평판 표면의 유체 속도는 모든 위치에서 평판의 속도와 같다. 평판이 움직이지 않으면

v_S = 0

이다. 유체 미끄럼이 허용되는 경우 훨씬 더 복잡한 유도가 필요하다.^[26]

반무한 평판 위의 경계층에서 층류 속도 프로파일을 위한 블라지우스 해는 열 및 질량 전달에 대한 열 경계층 및 농도 경계층을 설명하기 위해 확장될 수 있다. 미분 x-운동량 균형(운동 방정식) 대신, 유사하게 유도된 에너지 및 질량 균형을 사용한다.

에너지:

v_x {\partial T \over \partial x} + v_y {\partial T \over \partial y} = {k \over \rho C_p}{\partial^2 T \over \partial y^2}

질량:

v_x {\partial c_A \over \partial x} + v_y {\partial c_A \over \partial y} = D_{AB}{\partial^2 c_A \over \partial y^2}

운동량 균형의 경우, 동점성도

\nu

는 ''운동량 확산도''로 간주될 수 있다. 에너지 균형에서는 이것이 열 확산도

\alpha = {k / \rho C_P}

로, 질량 균형에서는 질량 확산도

D_{AB}

로 대체된다. 물질의 열 확산도에서

k

는 열전도도,

\rho

는 밀도,

C_P

는 열용량이다. 아래첨자 AB는 종 A가 종 B로 확산되는 확산도를 나타낸다.

\alpha = D_{AB} = \nu

라는 가정하에, 이러한 방정식은 운동량 균형과 동일해진다. 따라서 프란틀 수

Pr = \nu/\alpha = 1

및 슈미트 수

Sc = \nu/D_{AB} = 1

에 대해 블라지우스 해가 직접 적용된다.

v

를

T

또는

c_A

(절대 온도 또는 종 A의 농도)로 대체하는 관련 형태의 경계 조건이 사용된다. 아래첨자 S는 표면 조건을 나타낸다.

:

{v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}}= 0

at

y=0

:

{v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}} = 1

at

y=\infty

and

x=0

유선 함수를 사용하여 블라지우스는 평판 표면에서 전단 응력에 대한 해를 얻었다.

:

\tau_0 = \left( {\partial v_x \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {v_\infty \over x} Re^{1/2}

경계 조건을 통해 다음이 알려져 있다.

:

{v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty - c_{AS}}

평판 표면에서의 열/질량 플럭스에 대한 관계는 다음과 같다.

:

\left( {\partial T \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {T_\infty - T_S \over x} Re^{1/2}

:

\left( {\partial c_A \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {c_{A\infty} - c_{AS} \over x} Re^{1/2}

따라서

Pr=Sc=1

에 대해

:

\delta =\delta _T= \delta _c= {5.0 x\over\sqrt{Re}}

여기서

\delta_T,\delta_c

는

T

와

c_A

가 원거리 값의 99% 미만인 유동 영역이다.^[27]

루드비히 프란틀(Ludwig Prandtl)과 함께 일했던 독일 엔지니어 E. 폴하우젠은 이 방정식을

Pr\ne 1

에 적용하기 위해 경험적으로 확장했다. 그의 결과는

Sc

에도 적용될 수 있다.^[28] 그는 프란틀 수가 0.6보다 큰 경우 열 경계층 두께가 다음과 같이 근사적으로 주어짐을 발견했다.

Prandtl number affects the thickness of the Thermal boundary layer. When the Prandtl is less than 1, the thermal layer is larger than the velocity. For Prandtl is greater than 1, the thermal is thinner than the velocity.

:

{\delta \over \delta_T} = Pr^{1/3}

and therefore

{\delta \over \delta_c} = Sc^{1/3}

이 해를 통해 경계층 유동 영역을 기반으로 대류 열/질량 전달 상수를 특징짓는 것이 가능하다. 푸리에의 전도 법칙과 뉴턴의 냉각 법칙은 위에서 유도된 플럭스 항과 경계층 두께와 결합된다.

:

{q\over A} = -k \left({\partial T \over \partial y} \right)_{y=0} = h_x(T_S-T_\infty)

:

h_x = 0.332{k \over x} Re^{1/2}_x Pr^{1/3}

이는 반무한 평면의 한 지점에서 국소 대류 상수

h_x

를 제공한다. 평판의 길이에 걸쳐 적분하면 평균값이 주어집니다.

:

h_L = 0.664{k \over x} Re^{1/2}_L Pr^{1/3}

질량 전달 항을 사용한 유도를 따르면(

k

= 대류 질량 전달 상수,

D_{AB}

= 종 A가 종 B로 확산되는 확산도,

Sc = \nu / D_{AB}

), 다음 해가 얻어진다.

:

k'_x = 0.332{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_x Sc^{1/3}

:

k'_L = 0.664{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_L Sc^{1/3}

이러한 해는 프란틀/슈미트 수가 0.6보다 큰 층류 흐름에 적용된다.^[27]

경계층에 대해 연속 방정식과 나비에-스톡스 방정식의 각 항의 차수를 검토하면, 흐름 방향에 대한 운동 방정식인 경계층 방정식을 얻을 수 있다.^[35]

:

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{\partial U}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

여기서 는 주류 속도, 는 동점성 계수이다. 이 방정식의 경계 조건은, 벽면 ( 0}})에서의 점착 조건과 경계층 외부 ( δ}})에서의 주류 속도와의 일치이다.

:

\begin{align}&u=v=0\quad(y=0),\\&u=U\quad(y=\delta)\end{align}

경계층 내의 속도 분포가 유사하다고 가정하면, 무차원 속도 는 의 함수로 나타낼 수 있다.

압력 에 관해서는

:

\frac{\partial P}{\partial y} = 0

즉, 경계층 내의 압력은 외부의 압력과 같다.

4. 3. 폰 카르만 적분 방정식

테오도어 폰 카르만(Theodore von Kármán^영어)은 1921년 경계층 방정식을 경계층 전체에 걸쳐 적분하여 적분 방정식을 유도하였다.^[8] 이 방정식은 다음과 같다.

:

\frac{\tau_w}{\rho U^2 } = \frac{1}{U^2}\frac{\partial }{\partial t}(U\delta_1) + \frac{\partial \delta_2}{\partial x} +\frac{2\delta_2+\delta_1}{U} \frac{\partial U}{\partial x} + \frac{v_w}{U}

여기서

:

\tau_w = \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0}, \quad v_w = v(x,0,t), \quad \delta_1 = \int_0^\infty \left(1- \frac{u}{U} \right) \, dy, \quad \delta_2 = \int_0^\infty \frac{u}{U} \left(1- \frac{u}{U}\right) \, dy

\tau_w

는 벽 전단응력(wall shear stress),

v_w

는 벽에서의 흡입/주입 속도(suction/injection velocity),

\delta_1

은 변위 두께(displacement thickness),

\delta_2

는 운동량 두께(momentum thickness)이다. 카르만-폴하우젠 근사(Kármán–Pohlhausen Approximation)는 이 방정식에서 유도된다.

경계층에 대해 연속 방정식과 나비에-스톡스 방정식의 각 항의 차수를 검토하면, 다음과 같은, 흐름 방향에 대한 운동 방정식을 얻을 수 있다.^[35] 이 식을 '''경계층 방정식'''이라고 한다.

:

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{\partial U}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

여기서 ''U''는 주류 속도, ν는 동점성 계수이다.

경계층 내의 속도 분포가 유사하다고 가정하면, 무차원 속도 ''u'' /''U''는 ''y'' /δ 의 함수로 나타낼 수 있다.

또, 압력 ''P'' 에 관해서는

:

\frac{\partial P}{\partial y} = 0

즉, 경계층 내의 압력은 외부의 압력과 같다는 것을 알 수 있다.

4. 4. 난류 경계층 방정식

레이놀즈 분해를 통해 난류 유동을 평균 성분과 변동 성분으로 분해하여 경계층 방정식에 적용하면 다음과 같은 완전한 난류 경계층 방정식을 얻을 수 있다.^[15]^[16]

:

{\partial \overline{u}\over\partial x}+{\partial \overline{v}\over\partial y}=0

:

\overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+ \nu \left({\partial^2 \overline{u}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'^2})

:

\overline{u}{\partial \overline{v} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{v} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial y}+\nu \left({\partial^2 \overline{v}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{v}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{v'^2})

횡방향 변화에 대한 길이 스케일

\delta

와 유동 방향 변화에 대한 길이 스케일

L

을 고려하고 (

\delta<), x-운동량 방정식을 단순화하면 다음과 같다.

:

\overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).

이 방정식은 벽에서 미끄럼 방지 조건을 만족하지 않기 때문에, 점성 항이 중요해지는 더 작은 길이 스케일

\eta

(

\eta<<\delta

)를 도입하여 "내부 경계층"에 대한 방정식을 유도하면 다음과 같다.

:

0=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).

무한대 레이놀즈 수의 한계에서 압력 구배 항은 난류 경계층의 내부 영역에 영향을 미치지 않는다. "내부 길이 스케일"

\eta

는 점성 길이 스케일이며,

\frac{\nu}{u_*}

의 크기를 갖는다. 여기서

u_*

는 마찰 속도를 나타낸다.

난류 경계층은 서로 다른 유동 스케일에 지배되는 두 영역(내부 및 외부) 때문에, 층류 경계층과 달리 보편적인 유사 해를 찾기 어렵다. 두 영역 모두를 포괄하는 해를 찾으려면 점근적으로 일치시켜야 하며, 이는 로그 법칙 또는 멱 법칙을 유도한다.

난류 경계층 방정식의 추가 항

\overline{u'v'}

는 사전적으로 알 수 없는 레이놀즈 전단 응력을 나타내며, 이를 알려진 유동 변수나 미분으로 표현하기 위해 난류 모델을 사용해야 한다.

경계층에 대해 연속 방정식과 나비에-스톡스 방정식의 각 항의 차수를 검토하면, 흐름 방향에 대한 운동 방정식, 즉 '''경계층 방정식'''을 얻을 수 있다.^[35]

:

u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = U\frac{\partial U}{\partial x} + \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

여기서 ''U''는 주류 속도, ν는 동점성 계수이다. 경계 조건은 벽면 (''y'' = 0)에서의 점착 조건과 경계층 외부 (''y'' = δ)에서의 주류 속도와의 일치이다.

:

\begin{align}&u=v=0\quad(y=0),\\&u=U\quad(y=\delta)\end{align}

경계층 내의 속도 분포가 유사하다고 가정하면, 무차원 속도 ''u'' /''U''는 ''y'' /δ 의 함수로 나타낼 수 있다.

또한, 압력 ''P'' 에 관해서는

:

\frac{\partial P}{\partial y} = 0

즉, 경계층 내의 압력은 외부의 압력과 같다.

5. 경계층 박리

경계층 박리(境界層剥離)는 경계층이 물체 표면에서 떨어진 위치에 형성되는 것을 가리킨다.^[34]

하류로 갈수록 유역이 넓어지는 흐름장에서는 하류로 갈수록 압력이 높아지는 압력 구배가 형성된다.^[34] 이러한 압력 구배를 '''역압력 구배'''라고 부른다. 구배는 또한 베르누이 정리에서 하류 쪽으로 갈수록 유속이 감소하는 것을 의미한다. 따라서 강한 역압력 구배를 갖는 흐름에서는 경계층 내의 비교적 유속이 작은 영역에서 유속이 음의 값이 되어 역류가 발생한다. 이때 경계층이 역류 영역 위에 형성되므로 경계층이 물체에서 벗겨진 것처럼 보이기 때문에 이 현상을 경계층 박리라고 부른다.

경계층 박리는 실속의 원인이 되므로 항공기 날개 설계에서 매우 중요한 현상이다.

5. 1. 역압력 구배

하류로 갈수록 유역이 넓어지는 흐름장에서는 하류로 갈수록 압력이 높아지는 압력 구배가 형성된다.^[34] 이러한 압력 구배를 '''역압력 구배'''라고 부른다. 베르누이 정리에 따르면, 역압력 구배는 하류 쪽으로 갈수록 유속이 감소하는 것을 의미한다. 강한 역압력 구배를 갖는 흐름에서는 경계층 내의 비교적 유속이 작은 영역에서 유속이 음의 값이 되어 역류가 발생하고, 경계층이 역류 영역 위에 형성되면서 경계층이 물체에서 벗겨진 것처럼 보이는 경계층 박리 현상이 일어난다. 경계층 박리는 실속의 원인이 되므로 항공기 날개 설계에서 매우 중요하다.

5. 2. 박리의 영향

경계층 박리(境界層剥離)는 경계층이 물체 표면에서 떨어진 위치에 형성되는 것을 가리킨다.^[34]

하류로 갈수록 유역이 넓어지는 흐름장에서는 하류로 갈수록 압력이 높아지는 압력 구배가 형성된다.^[34] 이러한 압력 구배를 '''역압력 구배'''라고 부른다. 구배는 또한 베르누이 정리에서 하류 쪽으로 갈수록 유속이 감소하는 것을 의미한다. 따라서 강한 역압력 구배를 갖는 흐름에서는 경계층 내의 비교적 유속이 작은 영역에서 유속이 음의 값이 되어 역류가 발생한다. 이때 경계층이 역류 영역 위에 형성되므로 경계층이 물체에서 벗겨진 것처럼 보이기 때문에 이 현상을 경계층 박리라고 부른다.

경계층 박리는 실속의 원인이 되므로 항공기 날개 설계에서 매우 중요한 현상이다.

6. 경계층 제어

항공기 주익의 경계층을 제어하는 여러 가지 방법을 의미한다. 층류 경계층 유지를 목적으로 할 때는 층류 제어(Laminar flow control, LFC)라고도 불린다. 고양력 장치로서 단거리 이착륙기 등에 사용된다.

6. 1. 층류 제어 (Laminar flow control, LFC)

경계층 제어는 항공기 주익의 경계층을 제어하는 여러 가지 방법을 의미한다. 층류 경계층 유지를 목적으로 할 때는 층류 제어(Laminar flow control, LFC)라고도 불린다. 고양력 장치로서 단거리 이착륙기 등에 사용된다.

6. 2. 난류 제어

난류 제어는 항공기 주익의 경계층을 제어하는 여러 가지 방법을 의미한다. 층류 경계층 유지를 목적으로 할 때는 층류 제어(Laminar flow control, LFC)라고도 불린다. 고양력 장치로서 단거리 이착륙기 등에 사용된다.

6. 3. 경계층 흡입

경계층 흡입은 후방에 장착된 추진기가 느린 동체 경계층을 흡입하고 후류를 재활성화하여 항력을 줄이고 추진 효율을 높임으로써 항공기 연료 효율을 높이는 기술이다. 왜곡된 기류에서 작동하기 위해 팬은 더 무겁고 효율이 떨어지며 통합이 어렵다.^[30] 오로라 D8 또는 프랑스 연구 기관 ONERA의 Nova와 같은 개념에 사용되어 동체 경계층의 40%를 흡입함으로써 순항 시 5%의 연료를 절약한다.^[30]

에어버스는 2018년 9월 ICAS 회의에서 노틸러스(Nautilius) 개념을 발표했다. 방위각 방향의 흐름 왜곡을 최소화하면서 동체 경계층 전체를 흡입하기 위해 동체는 13-18:1의 바이패스 비 팬을 가진 두 개의 스핀들로 분리된다. 추진 효율은 더 작고, 가볍고, 복잡하지 않고 소음이 적은 엔진을 사용하는 반회전 개방형 로터와 같이 최대 90%에 달한다. 일반적인 날개 아래 15:1 바이패스 비 엔진에 비해 연료 소비량을 10% 이상 줄일 수 있다.^[30]

경계층 제어는 항공기 주익의 경계층을 제어하는 여러 가지 방법을 의미한다. 층류 경계층 유지를 목적으로 할 때는 층류 제어(Laminar flow control, LFC)라고도 불린다. 고양력 장치로서 단거리 이착륙기 등에 사용된다.

6. 4. 볼텍스 제너레이터

경계층 제어는 항공기 주익의 경계층을 제어하는 여러 가지 방법을 의미한다. 층류 경계층 유지를 목적으로 할 때는 층류 제어(Laminar flow control, LFC)라고도 불린다. 고양력 장치로서 단거리 이착륙기 등에 사용된다.

7. 응용 분야

7. 1. 항공 공학

경계층 흡입은 후방에 장착된 추진기가 느린 동체 경계층을 흡입하고 후류를 재활성화하여 항력을 줄이고 추진 효율을 높임으로써 항공기 연료 효율을 높일 수 있다.^[30] 왜곡된 기류에서 작동하기 위해 팬은 더 무겁고 효율이 떨어지며 통합이 어렵다. 오로라 D8 또는 프랑스 연구 기관 ONERA의 Nova와 같은 개념에 사용되어 동체 경계층의 40%를 흡입함으로써 순항 시 5%의 연료를 절약한다.^[30]

에어버스는 2018년 9월 ICAS 회의에서 노틸러스(Nautilius) 개념을 발표했다. 방위각 방향의 흐름 왜곡을 최소화하면서 동체 경계층 전체를 흡입하기 위해 동체는 13-18:1의 바이패스 비 팬을 가진 두 개의 스핀들로 분리된다. 추진 효율은 더 작고, 가볍고, 복잡하지 않고 소음이 적은 엔진을 사용하는 반회전 개방형 로터와 같이 최대 90%에 달한다. 일반적인 날개 아래 15:1 바이패스 비 엔진에 비해 연료 소비량을 10% 이상 줄일 수 있다.^[30]

7. 2. 조선 공학

선박, 잠수함, 해양 구조물에는 항공기에 적용되는 많은 원리가 적용되지만, 주된 유체는 공기가 아닌 물이다. 물은 이상적인 유체가 아니므로, 물속을 이동하는 선박은 저항을 받는다. 유체 입자는 물과 선체 사이의 접착력으로 인해 선체에 달라붙어, 유체의 유속이 작지만 가파른 속도 기울기를 형성하는 경계층을 만든다. 선체와 접촉하는 유체의 상대 속도는 이상적으로 0이고, 경계층 가장자리의 유체는 자유 유동 속도 또는 선박 주변 유체의 상대 속도가 된다.^[29]

선박의 앞쪽은 주변 유체로 인해 수직 압력을 받지만, 뒤쪽은 경계층으로 인해 작용하는 압력 성분이 낮아진다. 이로 인해 '점성 압력 항력' 또는 '형상 항력'으로 알려진 더 큰 저항이 발생한다.^[29]

항공기와 달리 선박에서는 물의 밀도 변화가 무시할 수 있는 비압축성 흐름을 다룬다(약 1000kPa의 압력 상승은 2~3 kg/m³의 변화만 초래한다). 이 유체 역학 분야를 수역학이라고 한다. 선박 엔지니어는 먼저 수역학을 설계하고 나중에 강도를 고려한다. 물의 높은 점성으로 인해 높은 전단 응력이 발생하기 때문에 경계층의 발달, 파괴 및 박리가 매우 중요하다.

7. 3. 자동차 공학

7. 4. 터보 기계

경계층 효과는 1913년 니콜라 테슬라가 특허를 받은 테슬라 터빈에 활용되었다. 이 터빈은 기존 터빈과 달리 유체가 블레이드에 부딪히지 않고 경계층 효과를 이용하기 때문에 블레이드 없는 터빈으로 불린다. 경계층 터빈은 응집형 터빈, 블레이드 없는 터빈, 루트비히 프란틀의 이름을 딴 프란틀 층 터빈으로도 알려져 있다.

7. 5. 기타

8. 대한민국의 경계층 연구

8. 1. 한국해양대학교

8. 2. 한국항공대학교

8. 3. 현대자동차

8. 4. KIST (한국과학기술연구원)

참조

_[1] 서적 Boundary layers American Institute of Aeronautics and Astronautics 1989
_[2] 서적 Boundary-Layer theory Springer 2023-08-05
_[3] 학술지 Zur Berechnung der Grenzschichten 1938
_[4] 서적 Perturbation methods in fluid mechanics Parabolic Press, Incorporated 1975
_[5] 학술지 On Asymptotic Expansions in the Theory of Boundary Layers 1957
_[6] 학술지 Some perturbation solutions in laminar boundary-layer theory 1963
_[7] 학술지 Some perturbation solutions in laminar boundary layer theory Part 2. The energy equation 1964
_[8] 학술지 Über laminare und turbulente Reibung https://zenodo.org/r[...] 1921
_[9] 문서 On an energy equation for the calculation of laminar boundary layers Joint Intelligence Objectives Agency 1946
_[10] 학술지 Über einen Energiesatz zur Berechnung laminarer Grenzschichten 1948
_[11] 서적 Laminar boundary layers Clarendon Press 1963
_[12] 서적 Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen 1961
_[13] 학술지 Boundary Layer in Compressible Fluids 1938
_[14] 문서 A characteristic transformation of the equations of the boundary layer in gases ARC 4582 1940
_[15] 학술지 The analogy between fluid friction and heat transfer 1939
_[16] 학술지 Structure of the thermal boundary layer in turbulent channel flows at transcritical conditions 2022-03
_[17] 학술지 Les lois de la transmission de chaleur par convection 1928
_[18] 웹사이트 André Lévêque p285, a review of his velocity profile approximation http://www.computing[...]
_[19] 학술지 The generalized Lévêque equation and its practical use for the prediction of heat and mass transfer rates from pressure drop 2002
_[20] 학술지 On Asymptotic Solutions for the Heat Transfer at Varying Wall Temperatures in a Laminar Boundary Layer with Hartree's Velocity Profiles 1953
_[21] 학술지 The transfer of heat across a turbulent boundary layer at very high prandtl numbers 1962
_[22] 서적 Boundary-Layer Theory McGraw-Hill 1979
_[23] 학술지 Self‑similar analysis of the time‑dependent compressible and incompressible boundary layers including heat conduction https://link.springe[...] 2022
_[24] 학술지 Energy losses in photovoltaic generators due to wind patterns https://doi.org/10.1[...] 2023
_[25] 학술지 Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung https://archive.org/[...] 1908
_[26] 학술논문 AIP Conference Proceedings 2001
_[27] 서적 Transport Processes and Separation Process Principles: (includes Unit Operations) Prentice Hall Professional Technical Reference 2003
_[28] 학술지 Der Wärmeaustausch zwischen festen Körpern und Flüssigkeiten mit kleiner reibung und kleiner Wärmeleitung https://zenodo.org/r[...] 1921
_[29] 웹사이트 Resistance and Powering of Ships https://www.usna.edu[...] 2024-02-14
_[30] 뉴스 The Week In Technology, November 19-23, 2018 http://aviationweek.[...] 2018-11-19
_[31] 서적 流体力学シュプリンガージャパン 2008
_[32] 문서 この評価式は後述する境界層方程式の導出に用いられる。
_[33] 서적 伝熱工学資料丸善 2009
_[34] 문서 [[連続の式]]と[[ベルヌーイの定理]]から導くことができる。
_[35] 서적 物質移動の基礎と応用丸善 2004
_[36] 서적 乱れと流れ培風館
_[37] 서적 JAVAによる流体・熱流動の数値シミュレーション森北出版
_[38] 서적 エスプレッソ伝熱工学裳華房

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