레일리 수

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1. 개요
2. 정의 및 유도
- 2.1. 기본 정의
- 2.2. 다른 표현
3. 응용 분야
참조

1. 개요

레일리 수는 유체의 질량 밀도 불균일이 있을 때 유체의 거동을 설명하는 무차원 수이다. 온도 차이에 의해 발생하는 밀도 차이로 인해 유체의 대류 현상을 예측하며, 열전달의 방식과 정도를 나타낸다. 레일리 수는 그라쇼프 수와 프란틀 수의 곱으로 표현되며, 자유 대류, 합금 응고, 다공성 매질, 지구물리학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 레일리 수는 특정 임계값을 기준으로 대류의 발생 여부를 판단하는 데 사용되며, 지구 연약권과 같은 지질학적 현상 연구에도 중요한 지표로 활용된다.

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레일리 수
일반 정보
기호	Ra
명명 유래	레일리 경
차원	1
SI 단위	단위 없음
정의
정의	열전달에서 유체의 자유 대류와 관련된 무차원 수
공식	Ra = Gr × Pr
Gr	그라쇼프 수
Pr	프란틀 수
다른 표현	Ra = B/μ × ν/α
B	부력
μ	역학적 점성
ν	운동학적 점성
α	열 확산율
응용
응용	유체가 열을 얼마나 효율적으로 전달하는지 예측
임계 레일리 수	자유 대류가 시작되는 임계값
Nu	누셀트 수와 관련
국소 레일리 수	Ra_{x,c} = Gr_{x,c} ⋅ Pr = (g β / να) (T_s - T_{∞}) x³
g	중력 가속도
β	열팽창 계수
T_s	표면 온도
T_{∞}	주변 온도
x	특성 길이

2. 정의 및 유도

레일리 수는 유체의 밀도 차이로 인한 유동 현상을 설명하는 무차원 수이다. 밀도 차이는 주로 온도 차이에 의해 발생하며, 가열된 유체는 팽창하여 밀도가 낮아진다. 중력은 밀도가 높은 유체를 아래로 가라앉게 만들고, 이러한 현상을 대류라고 한다. 로드 레일리는 레일리-베나르 대류 현상을 연구하면서 레일리 수를 도입했다. 레일리 수가 특정 임계값보다 낮으면 유체는 정지 상태를 유지하고 열은 열 전도를 통해 전달된다. 반면, 레일리 수가 임계값을 초과하면 자연 대류가 발생하여 열 전달이 활발해진다.

밀도 차이가 온도 차이로 인해 발생할 때, 레일리 수는 확산에 의한 열 수송 시간 척도와 속도 $u$ 에서 대류에 의한 열 수송 시간 척도의 비율로 정의된다.

: $\mathrm{Ra} = \frac{\text{확산을 통한 열 수송 시간 척도}}{\text{속도} ~ u \text{에서 대류를 통한 열 수송 시간 척도}}.$

이는 레일리 수가 페클레 수의 일종임을 의미한다. 크기가 $l$ 인 3차원 유체 부피에서 밀도 차이 $\Delta\rho$ 에 의한 중력은 $\Delta\rho l^3g$ (여기서 $g$ 는 중력 가속도)이다. 스토크스 방정식에 따르면, 유체가 가라앉을 때 점성 항력은 $\eta l u$ (여기서 $\eta$ 는 유체의 동점성 계수)이다. 두 힘이 같으면 속도 $u \sim \Delta\rho l^2 g/\eta$ 이다. 따라서 흐름을 통한 수송 시간 척도는 $l/u \sim \eta/\Delta\rho lg$ 이다. 거리 $l$ 에서의 열 확산 시간 척도는 $l^2/\alpha$ (여기서 $\alpha$ 는 열 확산율)이다. 따라서 레일리 수 Ra는 다음과 같이 표현된다.

: $\mathrm{Ra} = \frac{l^2/\alpha}{\eta/\Delta\rho lg} = \frac{\Delta\rho l^3g}{\eta\alpha} = \frac{\rho\beta\Delta T l^3g}{\eta\alpha}$

위 식에서 $\rho$ 는 유체의 평균 밀도, $\beta$ 는 열팽창 계수, $\Delta T$ 는 거리 $l$ 에 걸친 온도 차이를 나타낸다.

2. 1. 기본 정의

레일리 수는 유체의 밀도가 균일하지 않을 때 유체(예: 물 또는 공기)의 거동을 설명한다. 밀도 차이는 일반적으로 온도 차이에 의해 발생한다. 일반적으로 유체는 가열됨에 따라 팽창하여 밀도가 낮아진다. 중력은 유체의 밀도가 높은 부분이 가라앉게 하는데, 이를 대류라고 한다. 로드 레일리는 레일리-베나르 대류의 경우를 연구했다. 레일리 수 Ra가 유체의 임계값보다 낮으면 흐름이 없고 열 전달은 순전히 열 전도에 의해 이루어지며, 그 값을 초과하면 자연 대류에 의해 열이 전달된다.

밀도 차이가 온도 차이에 의해 발생하는 경우, Ra는 정의에 따라 속도

u

에서 확산 열 수송의 시간 척도와 대류 열 수송의 시간 척도의 비율이다.

:

\mathrm{Ra} = \frac{\text{확산을 통한 열 수송 시간 척도}}{\text{속도} ~ u \text{에서 대류를 통한 열 수송 시간 척도}}.

이는 레일리 수가 일종의 페클레 수임을 의미한다. 모든 3차원에서 크기가

l

인 유체 부피와 밀도 차이

\Delta\rho

에 대해 중력에 의한 힘은

\Delta\rho l^3g

의 크기이며, 여기서

g

는 중력 가속도이다. 스토크스 방정식에 따르면 유체 부피가 가라앉을 때 점성 항력은

\eta l u

의 크기이며, 여기서

\eta

는 유체의 동점성 계수이다. 이 두 힘이 같을 때 속도

u \sim \Delta\rho l^2 g/\eta

이다. 따라서 흐름을 통한 수송 시간 척도는

l/u \sim \eta/\Delta\rho lg

이다. 거리

l

에 걸친 열 확산의 시간 척도는

l^2/\alpha

이며, 여기서

\alpha

는 열 확산율이다. 따라서 레일리 수 Ra는

:

\mathrm{Ra} = \frac{l^2/\alpha}{\eta/\Delta\rho lg} = \frac{\Delta\rho l^3g}{\eta\alpha} = \frac{\rho\beta\Delta T l^3g}{\eta\alpha}

여기서 평균 밀도가

\rho

인 유체에 대해 밀도 차이

\Delta\rho=\rho\beta\Delta T

, 열팽창 계수

\beta

및 거리

l

에 걸친 온도 차이

\Delta T

를 근사했다.

레일리 수는 그라쇼프 수와 프란틀 수의 곱으로 쓸 수 있다.

:

\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr}.

2. 2. 다른 표현

레일리 수는 그라쇼프 수와 프란틀 수의 곱으로 표현할 수 있다.

:

\mathrm{Ra} = \mathrm{Gr}\mathrm{Pr}.

3. 응용 분야

레일리 수는 다양한 분야에서 활용된다.

레일리 수는 응고 합금의 머시 존에서 A-편석과 같은 대류 불안정성을 예측하는 데 사용될 수 있다. 머시 존 레일리 수는 다음과 같이 정의된다.

: $\mathrm{Ra} = \frac{\frac{\Delta \rho}{\rho_0}g \bar{K} L}{\alpha \nu} = \frac{\frac{\Delta \rho}{\rho_0}g \bar{K} }{R \nu}$

여기서,

''K''는 평균 투과율(머시의 초기 부분)이다.
''L''은 특징적인 길이 척도이다.
''α''는 열 확산율이다.
''ν''는 동점성이다.
''R''은 응고 또는 등온선 속도이다.^[8]

A-편석은 레일리 수가 특정 임계값을 초과할 때 형성될 것으로 예측된다. 이 임계값은 합금의 조성과 무관하며, 이는 대류 불안정성 예측을 위한 다른 기준에 비해 레일리 수 기준의 주요 장점이다. Torabi Rad 등은 강철 합금의 경우 임계 레일리 수가 17임을 보였다.^[8] Pickering 등은 Torabi Rad의 기준을 연구하여 그 효과를 더욱 검증했다. 납-주석 및 니켈 기반 초합금에 대한 임계 레일리 수도 개발되었다.^[9]

레일리 수는 공기나 물과 같은 벌크 유체에서의 대류뿐만 아니라, 다공성 매질 내에서 유체가 존재할 때 발생하는 대류에도 적용된다.^[10] 이 경우, 레일리 수는 때때로 '''레일리-다시 수'''라고도 하며, 다른 값을 갖는다. 다공성 매질에서의 레일리 수(레일리-다시 수)는 다음과 같다.

:

\mathrm{Ra}=\frac{\rho\beta\Delta T klg}{\eta\alpha}

이것은 또한 응고 합금의 머시 존에서 A-분리체에도 적용된다.^[8]

지구물리학에서 레일리 수는 지구 연약권과 같은 유체 내에서 대류의 존재와 강도를 나타내는 중요한 값이다. 연약권은 지질학적 시간 척도에서 유체처럼 거동하는 고체이다. 내부 가열만으로 인한 지구 연약권에 대한 레일리 수(Ra''_H'') 및 핵으로부터의 연약권 하부 가열에 대한 레일리 수(Ra''_T'')는 다음과 같이 주어진다.

:

\mathrm{Ra}_H = \frac{g\rho^{2}_{0}\beta HD^5}{\eta \alpha k}

:

\mathrm{Ra}_T = \frac{\rho_{0}^2 g\beta\Delta T_\text{sa}D^3 C_P}{\eta k}

여기서,

''H''는 단위 질량당 방사성 열 생산율
''η''는 동점성 계수
''k''는 열전도율
''D''는 연약권의 깊이이다.^[11]
Δ''T''_sa는 기준 연약권 온도와 핵-맨틀 경계 사이의 초단열 온도 차이이다.
''C_P''는 정압 비열이다.^[11]

지구 연약권의 높은 레일리 수 값은 지구 내부의 대류가 활발하고 시간 변화하며, 대류가 깊은 내부에서 표면으로 전달되는 거의 모든 열을 담당한다는 것을 나타낸다.

3. 1. 자유 대류

자유 대류가 일어나는 수직 벽면 근처에서 레일리 수는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:Ra_''x'' = (g β / ν α) (T_s - T_∞) x³ = Gr_''x''Pr

여기서,

''x''는 특성 길이
Ra_''x''는 특성 길이 ''x''에 대한 레일리 수
''g''는 중력 가속도
''β''는 열팽창 계수 (이상 기체의 경우 1/''T''와 같으며, 여기서 ''T''는 절대 온도이다.)
ν는 동점성 계수
''α''는 열확산율
''T_s''는 표면 온도
''T''_∞는 정지 온도 (물체의 표면에서 멀리 떨어진 유체 온도)
Gr_''x''는 특성 길이 ''x''에 대한 그라쇼프 수
Pr은 프란틀 수

위 식에서, 유체 물성치 Pr, ν, ''α'' 및 ''β''는 막 온도에서 평가되며, 막 온도는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:T_f = (T_s + T_∞) / 2

균일한 벽면 가열 열속의 경우, 수정된 레일리 수는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:Ra^*_''x'' = g β q"_o x⁴ / ν α k

여기서,^[1]

''q''_o는 균일한 표면 열속
''k''는 열전도도이다.

3. 2. 합금 응고

합금 응고 과정에서 발생하는 머시 존(mushy zone)에서 A-편석과 같은 대류 불안정성을 예측하는 데 레일리 수를 활용할 수 있다. 머시 존 레일리 수는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathrm{Ra} = \frac{\frac{\Delta \rho}{\rho_0}g \bar{K} L}{\alpha \nu} = \frac{\frac{\Delta \rho}{\rho_0}g \bar{K} }{R \nu}

여기서,

''K''는 평균 투과율(머시의 초기 부분)이다.
''L''은 특징적인 길이 척도이다.
''α''는 열 확산율이다.
''ν''는 동점성이다.
''R''은 응고 또는 등온선 속도이다.^[8]

A-편석은 레일리 수가 특정 임계값을 초과할 때 형성될 것으로 예측된다. 이 임계값은 합금의 조성과 무관하며, 이는 스즈키 기준과 같은 다른 대류 불안정성 예측 기준과 비교했을 때 레일리 수 기준이 가지는 주요 장점이다.

Torabi Rad 등은 강철 합금의 경우 임계 레일리 수가 17임을 보였다.^[8] Pickering 등은 Torabi Rad의 기준을 연구하여 그 효과를 더 검증했다. 납-주석 및 니켈 기반 초합금에 대한 임계 레일리 수도 개발되었다.^[9]

3. 3. 다공성 매질

레이저 수는 공기나 물과 같은 벌크 유체에서의 대류뿐만 아니라, 물로 포화된 다공성 암석과 같이 다공성 매질 내에서 유체가 존재할 때 발생하는 대류에도 적용된다.^[10] 이 경우, 레이저 수는 때때로 '''레일리-다시 수'''라고도 불리며, 다른 값을 갖는다. 벌크 유체, 즉 다공성 매질이 아닌 환경에서는, 스토크스 방정식으로부터 크기가

l

인 액체 영역의 낙하 속도

u \sim \Delta\rho l^2 g/\eta

를 얻을 수 있다. 다공성 매질에서는 다르시의 법칙으로부터

u \sim \Delta\rho k g/\eta

로 대체되며,

k

는 다공성 매질의 투과율이다. 그러면 레일리 수 또는 레일리-다시 수는 다음과 같다.

\mathrm{Ra}=\frac{\rho\beta\Delta T klg}{\eta\alpha}

이것은 또한 응고 합금의 머쉬 영역에서 A-분리체에도 적용된다.^[8]

3. 4. 지구물리학

지구물리학에서 레일리 수는 지구 연약권과 같은 유체 내에서 대류의 존재와 강도를 나타내는 중요한 값이다. 연약권은 지질학적 시간 척도에서 유체처럼 거동하는 고체이다. 내부 가열만으로 인한 지구 연약권에 대한 레일리 수 ''Ra''_H는 다음과 같이 주어진다.^[11]

:

\mathrm{Ra}_H = \frac{g\rho^{2}_{0}\beta HD^5}{\eta \alpha k}

여기서,

''H''는 단위 질량당 방사성 열 생산율
''η''는 동점성 계수
''k''는 열전도율
''D''는 연약권의 깊이이다.

핵으로부터의 연약권 하부 가열에 대한 레일리 수 ''Ra''_T는 다음과 같이 정의할 수 있다.^[11]

:

\mathrm{Ra}_T = \frac{\rho_{0}^2 g\beta\Delta T_\text{sa}D^3 C_P}{\eta k}

여기서,

Δ''T''_sa는 기준 연약권 온도와 핵-맨틀 경계 사이의 초단열 온도 차이이다(초단열 온도 차이는 실제 온도 차이에서 엔트로피 구배가 0이지만 상태 방정식에 나타나는 다른 변수와 동일한 프로파일을 갖는 유체의 온도 차이를 뺀 값이다.)
''C_P''는 정압 비열이다.

지구 연약권의 높은 레일리 수 값은 지구 내부의 대류가 활발하고 시간 변화하며, 대류가 깊은 내부에서 표면으로 전달되는 거의 모든 열을 담당한다는 것을 나타낸다.

참조

_[1] 서적 Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability https://archive.org/[...] Oxford University Press 1961
_[2] 간행물 On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side https://zenodo.org/r[...] 1916
_[3] 서적 Fundamentals of thermal-fluid sciences
_[4] 서적 Heat and Mass Transfer McGraw-Hill 2002
_[5] 간행물 Heat transfer and large scale dynamics in turbulent Rayleigh-Bénard convection 2009-04-22
_[6] 간행물 Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale https://authors.libr[...] 2005-10-06
_[7] 문서 Convective Heat Transfer ISTE, Ltd 2009
_[8] 간행물 Rayleigh number criterion for formation of A-Segregates in steel castings and ingots 2013
_[9] 간행물 Application of criterion for A-segregation in steel ingots 2014
_[10] 간행물 High Rayleigh number convection in a three-dimensional porous medium 2014
_[11] 간행물 A sensitivity study of three-dimensional spherical mantle convection at 10⁸ Rayleigh number: Effects of depth-dependent viscosity, heating mode, and endothermic phase change

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