대입 (수학)

1. 개요

대입은 논리학에서 이미 알고 있는 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정이다. 대입 공리는 임의의 n항 술어 P와 항 t₁, ..., tₙ, u₁, ..., uₙ에 대해 t₁=u₁부터 tₙ=uₙ까지 성립하면 P(t₁, ..., tₙ)과 P(u₁, ..., tₙ)이 동치이며, 임의의 n항 연산 f와 항 t₁, ..., tₙ, u₁, ..., uₙ에 대해 t₁=u₁부터 tₙ=uₙ까지 성립하면 f(t₁, ..., tₙ) = f(u₁, ..., tₙ)임을 나타낸다. 예를 들어, a=1을 함수 2(-)에 대입하면 2a=2임을 알 수 있다.

2. 정의

논리학의 대입 공리(代入公理)는 다음과 같다.

* 임의의 $n$항 술어 $P$ 및 임의의 항 $t\_1,\backslash dots,t\_n,u\_1,\backslash dots,u\_n$에 대하여, 만약 $t\_1=u\_1$부터 $t\_n=u\_n$까지가 성립한다면, $P(t\_1,\backslash dots,t\_n)$과 $P(u\_1,\backslash dots,u\_n)$은 서로 동치이다.
* 임의의 $n$항 연산 $f$ 및 임의의 항 $t\_1,\backslash dots,t\_n,u\_1,\backslash dots,u\_n$에 대하여, 만약 $t\_1=u\_1$부터 $t\_n=u\_n$까지가 성립한다면, $f(t\_1,\backslash dots,t\_n)=f(u\_1,\backslash dots,t\_n)$이다.

이러한 공리에 기반하여, 이미 알고 있는 몇 가지 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정을 대입이라고 한다.

2.1. 대입 공리의 형식

2.2. 대입의 의미

논리학의 대입 공리(代入公理)는 다음과 같다.

* 임의의 $n$항 술어 $P$ 및 임의의 항 $t\_1,\backslash dots,t\_n,u\_1,\backslash dots,u\_n$에 대하여, 만약 $t\_1=u\_1$부터 $t\_n=u\_n$까지가 성립한다면, $P(t\_1,\backslash dots,t\_n)$과 $P(u\_1,\backslash dots,u\_n)$은 서로 동치이다.
* 임의의 $n$항 연산 $f$ 및 임의의 항 $t\_1,\backslash dots,t\_n,u\_1,\backslash dots,u\_n$에 대하여, 만약 $t\_1=u\_1$부터 $t\_n=u\_n$까지가 성립한다면, $f(t\_1,\backslash dots,t\_n)=f(u\_1,\backslash dots,t\_n)$이다. 특히, 임의의 $n$항 연산은 특별한 $n+1$항 술어라고 여길 수 있으므로, 다음이 성립한다.

이러한 공리에 기반하여, 이미 알고 있는 몇 가지 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정을 대입이라고 한다.

3. 예시

예를 들어, $a=1$을 함수 $2(-)$에 대입하면, $2a=2$임을 알 수 있다.

또한, $a=b$이며 $c=d$임을 알 때, 첫째 등식을 함수 $(-)+c$에 대입하면 $a+c=b+c$임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수 $b+(-)$에 대입하면 $b+c=b+d$임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜 $a+c=b+d$를 얻을 수 있다.

3.1. 수학적 예시

예를 들어, $a=1$을 함수 $2(-)$에 대입하면, $2a=2$임을 알 수 있다.

또한, $a=b$이며 $c=d$임을 알 때, 첫째 등식을 함수 $(-)+c$에 대입하면 $a+c=b+c$임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수 $b+(-)$에 대입하면 $b+c=b+d$임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜 $a+c=b+d$를 얻을 수 있다.

3.2. 일상생활에서의 예시

예를 들어, $a=1$을 함수 $2(-)$에 대입시키면, $2a=2$임을 알 수 있다.

또한, $a=b$이며 $c=d$임을 알 때, 첫째 등식을 함수 $(-)+c$에 대입시키면 $a+c=b+c$임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수 $b+(-)$에 대입시키면 $b+c=b+d$임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜 $a+c=b+d$를 얻을 수 있다.