도다 격자

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 플라슈카 변수와 럭스 쌍
5. 적분 가능성
6. 솔리톤 해
7. 역산란 변환
참조

1. 개요

도다 격자는 1967년 도다 모리카즈가 도입한 1차원 입자 사슬로, 인접한 입자 간의 상호작용을 통해 정의된다. 플라슈카 변수와 럭스 쌍을 사용하여 운동 방정식을 간략하게 표현하고, 적분 가능성을 설명할 수 있으며, 럭스 방정식과 힐베르트 공간 위의 선형작용소를 통해 완전 적분 가능 시스템임을 보인다. 도다 격자는 솔리톤 해를 가지며, 야코비 연산자에 대한 역산란 변환을 통해 해를 구할 수 있다.

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도다 격자

2. 역사

도다 모리카즈(戸田盛和|도다 모리카즈^일본어)가 1967년 도입하였다.^[1]

3. 정의

도다 격자는 1차원 입자들의 사슬로 구성된 모델이다.^[1] 각 입자의 위치를 $q_i$ 라고 할 때, 서로 이웃하는 두 입자 사이의 상호작용을 나타내는 운동 방정식은 다음과 같다.^[1]

: $\ddot q_i=\exp(q_{i-1}-q_i)-\exp(q_i-q_{i+1})$

도다 격자는 플라슈카 변수(Flaschka variable^영어)를 사용하여 간단히 풀 수 있다.^[1] 플라슈카 변수는 다음과 같이 정의된다.

: $a_i=\frac12\exp((q_i-q_{i+1})/2)$

: $b_i=-\dot q_i/2$

이 변수들을 사용하면 운동 방정식은 아래와 같이 표현된다.^[1]

: $\dot a_i=a_i(b_{i+1}-b_i)$

: $\dot b_i=2(a_i^2-a_{i-1}^2)$

이 운동 방정식은 럭스 쌍 $(L,P)$ 을 통해 나타낼 수 있다. 이들은 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb Z)$ 위의 선형작용소이다.^[1]

: $(Lf)_i=a_if_{i+1}+a_{i-1}f_{i-1}+b_if_i$

: $(Pf)_i=a_if_{i+1}-a_{i-1}f_{i-1}$

이 럭스 쌍은 럭스 방정식

: $\dot L=[P,L]$

을 만족시킨다. 따라서 도다 격자는 적분가능계에 해당한다.^[1] 도다 격자의 운동 상수들은 작용소 $L$ 의 고윳값들이다.^[1]

4. 플라슈카 변수와 럭스 쌍

도다 격자는 '''플라슈카 변수'''(Flaschka variable^영어)를 도입하여 더 간단하게 표현할 수 있다.^[1] 플라슈카 변수는 다음과 같이 정의된다.

: $a_i=\frac12\exp((q_i-q_{i+1})/2)$

: $b_i=-\dot q_i/2$

이 변수들을 사용하면, 도다 격자의 운동 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\dot a_i=a_i(b_{i+1}-b_i)$

: $\dot b_i=2(a_i^2-a_{i-1}^2)$

이 시스템의 적분 가능성은 럭스 쌍(Lax pair) $(L, P)$ 을 통해 설명할 수 있다. 럭스 쌍 $(L, P)$ 는 힐베르트 공간 $L^2(\mathbb Z)$ 위의 선형작용소로 정의된다.

: $(Lf)_i=a_if_{i+1}+a_{i-1}f_{i-1}+b_if_i$

: $(Pf)_i=a_if_{i+1}-a_{i-1}f_{i-1}$

이 두 작용소 $L$ 과 $P$ 는 럭스 방정식(Lax equation)을 만족시킨다.

: $\frac{d}{dt} L = [P,L] = PL - LP$

여기서 $[P,L]$ 은 $P$ 와 $L$ 의 교환자이다. 럭스 방정식이 성립한다는 것은 시스템이 적분가능계임을 의미한다. 즉, 도다 격자는 적분가능계이다.

럭스 방정식은 작용소 $L$ 의 고윳값들이 시간에 따라 변하지 않는다는 중요한 성질을 내포한다. 이 불변하는 고윳값들이 바로 도다 격자의 운동 상수들이며, 이는 시스템의 해를 구하는 데 중요한 역할을 한다. 이러한 운동 상수들의 존재는 도다 격자가 완전 적분 가능계임을 보여준다.

5. 적분 가능성

도다 격자는 완전 적분 가능계의 전형적인 예시이다.^[1] 이 시스템의 적분 가능성은 플라스카 변수(Flaschka variable^영어)를 도입하여 확인할 수 있다. 입자의 위치 $q_i$ 와 운동량 $p_i = \dot q_i$ 에 대해 플라스카 변수 $a_i, b_i$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $a_i = a(n,t) = \frac{1}{2} {\rm e}^{-(q(n+1,t) - q(n,t))/2} = \frac12\exp((q_i-q_{i+1})/2)$

: $b_i = b(n,t) = -\frac{1}{2} p(n,t) = -\dot q_i/2$

이 변수들을 사용하면 도다 격자의 운동 방정식은 아래와 같이 더 간단한 형태로 표현된다.

: $\dot a_i = \dot{a}(n,t) = a(n,t) \Big(b(n+1,t)-b(n,t)\Big) = a_i(b_{i+1}-b_i)$

: $\dot b_i = \dot{b}(n,t) = 2 \Big(a(n,t)^2-a(n-1,t)^2\Big) = 2(a_i^2-a_{i-1}^2)$

도다 격자의 완전 적분 가능성은 럭스 쌍(Lax pair)이라고 불리는 한 쌍의 연산자 $(L, P)$ 의 존재를 통해 명확히 드러난다. 이 연산자들은 제곱 합이 가능한 수열 공간 $\ell^2(\mathbb{Z})$ (소스에서는 $L^2(\mathbb Z)$ 로도 표기) 상에서 작용하는 선형작용소로 정의된다.

: $(Lf)_i = L(t) f(n) = a(n,t) f(n+1) + a(n-1,t) f(n-1) + b(n,t) f(n) = a_if_{i+1}+a_{i-1}f_{i-1}+b_if_i$

: $(Pf)_i = P(t) f(n) = a(n,t) f(n+1) - a(n-1,t) f(n-1) = a_if_{i+1}-a_{i-1}f_{i-1}$

여기서 $f = (..., f_{-1}, f_0, f_1, ...)$ 는 힐베르트 공간 $\ell^2(\mathbb{Z})$ 에 속하는 수열이다.

중요한 점은 이 두 연산자 $L(t)$ 와 $P(t)$ 가 시간에 따라 변하면서도 소위 럭스 방정식(Lax equation)을 만족한다는 것이다.

: $\frac{d}{dt} L(t) = [P(t), L(t)] = P(t)L(t) - L(t)P(t)$

여기서 $\frac{d}{dt} L(t)$ 는 연산자 $L$ 의 시간에 대한 미분을 나타내고, $[P, L]$ 은 두 연산자의 교환자 (리 괄호)이다. 럭스 방정식이 성립하면, 연산자 $L(t)$ 의 스펙트럼, 즉 고윳값들의 집합이 시간에 따라 변하지 않는다는 중요한 성질이 보장된다.

결과적으로, 연산자 $L(t)$ 의 고윳값들은 도다 격자 시스템의 운동 상수(conserved quantities 또는 integrals of motion)가 된다. 즉, 시스템이 어떻게 시간에 따라 변화하든 이 값들은 일정하게 유지된다. 이러한 독립적인 운동 상수들이 존재하기 때문에, 도다 격자는 완전 적분 가능계로 분류된다.^[1]

더 나아가, 도다 격자는 야코비 연산자인 $L$ 과 관련된 역산란 변환이라는 수학적 기법을 사용하여 해를 구할 수 있다. 이 방법론에 따르면, 충분히 빠르게 소멸하는 초기 조건에서 시작된 해는 시간이 충분히 흐른 뒤에는 여러 개의 안정적인 파동 형태인 솔리톤(soliton)들과 점차 퍼져나가며 사라지는 분산파(dispersive wave) 부분의 합으로 구성된다는 것을 알 수 있다.

6. 솔리톤 해

솔리톤 해는 형태와 크기가 변하지 않고 시간에 따라 퍼져나가며, 입자처럼 서로 상호 작용하는 고립파이다. 방정식의 일반적인 N-솔리톤 해는 다음과 같다.

: $\begin{align}q_N(n,t)=q_+ + \log \frac{\det(\mathbb{I}+C_N(n,t))}{\det(\mathbb{I}+C_N(n+1,t))} ,\end{align}$

여기서

: $C_N(n,t)=\Bigg(\frac{\sqrt{\gamma_i(n,t)\gamma_j(n,t)}}{1-e^{\kappa_i+\kappa_j}}\Bigg)_{1$

이며,

: $\gamma_j(n,t)=\gamma_j\,e^{-2\kappa_jn-2\sigma_j\sinh(\kappa_j)t}$

이다.

여기서

$\kappa_j,\gamma_j >0$

이고

$\sigma_j \in \{\pm 1 \}$

이다.

7. 역산란 변환

도다 격자는 완전 적분 가능계의 한 예로, 이는 시스템에 대한 락스 쌍을 찾음으로써 확인할 수 있다. 락스 쌍을 구성하는 연산자 중 하나인 $L(t)$ 는 야코비 연산자의 형태를 가지며, 이 연산자의 고유값은 시간에 따라 변하지 않는다는 중요한 성질을 가진다. 이 불변하는 고유값들은 시스템의 독립적인 운동의 적분(운동 상수)을 구성하며, 이는 도다 격자가 완전 적분 가능함을 보여준다.

특히, 도다 격자는 야코비 연산자 $L$ 에 대한 역산란 변환 방법을 통해 풀 수 있다. 이 방법의 핵심적인 결과는 다음과 같다: 만약 초기 조건이 충분히 빠르게 0으로 수렴한다면, 시간이 충분히 지난 후( $t$ 가 큰 경우) 시스템의 해는 점근적으로 여러 개의 안정적인 파동 형태인 솔리톤들의 합과 시간이 지남에 따라 흩어져 사라지는 분산적인 부분으로 분리된다.

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