운동 상수

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1. 개요
2. 운동 상수를 찾는 방법
3. 응용
4. 적분 가능 시스템
5. 리우빌-아르놀트 정리 (고전역학)
6. 뇌터 정리 (라그랑주 역학)
7. 고립 적분과 무한 다가 적분
8. 디랙 관측가능량 (게이지 이론)
참조

1. 개요

운동 상수는 물리학에서 궤적을 따라 일정하게 유지되는 물리량이다. 뇌터의 정리와 해밀턴-야코비 방정식 등을 사용하여 운동 상수를 찾을 수 있으며, 라그랑주 역학, 해밀턴 역학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다. 운동 상수는 운동 방정식을 풀지 않고도 운동의 속성을 파악하는 데 유용하며, 적분 가능 시스템과 비가적분 시스템을 구분하는 데 중요한 역할을 한다.

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운동 상수
개요
정의	운동량 공간에서 해밀토니안이 시간에 따라 변하지 않는 물리량
다른 이름	적분 상수, 제1적분
관련 개념	뇌터 정리, 대칭성, 해밀토니안, 푸아송 괄호
상세 정보
불변량	운동 상수(constant of motion)는 운동하는 동안 그 값이 보존되는 시스템의 속성임.
값	이는 운동의 각 시점에서 동일한 값을 가지며 따라서 시간에 따라 변하지 않음.
유도	운동 상수(불변량)는 종종 시스템의 운동 방정식을 통합하는 데 사용될 수 있음.
예시	에너지, 운동량, 각운동량
푸아송 괄호	물리량 A가 해밀토니안 H에 대해 소멸하는 푸아송 괄호를 갖는 경우, 즉 {A, H} = 0인 경우, A는 운동 상수임.
시간 독립성	명시적으로 시간에 의존하지 않는 운동 상수는 보존량임.
수학적 표현
조건	'만약 어떤 물리량 f가 운동 상수라면, 다음이 성립한다: df/dt = 0'
푸아송 괄호 표현	'∂f/∂t + {f, H} = 0 (여기서 H는 해밀토니안)'
관련 정리
뇌터 정리	뇌터 정리는 모든 미분 가능한 대칭에 대해 시스템의 운동 상수에 해당한다는 것을 나타냄.

2. 운동 상수를 찾는 방법

계의 특성에 따라 운동 상수를 찾는 다양한 방법이 존재한다.

가장 간단하지만 체계적이지 않은 방법은 직관에 의존하는 것이다. 어떤 양이 상수라고 가설을 세우고, 실험 데이터를 통해 그 양이 운동 과정에서 보존됨을 수학적으로 증명하는 방식이다.^[1]
해밀턴-야코비 방정식은 운동 상수를 식별하는 데 널리 사용되는 방법이다. 특히 해밀턴 역학에서 직교 좌표로 표현될 때 유용하다.^[1]
뇌터 정리를 통해 라그랑지언의 대칭성으로부터 보존량을 유도할 수 있다. 라그랑지언의 모든 대칭은 운동 상수에 해당하며, 이를 '보존 전하' 또는 '전류'라고도 한다.^[1]
어떤 양 $A$ 의 전체 시간 미분이 0이면, 즉 $A$ 의 푸아송 괄호가 해밀토니안과 시간 ^[1]에 대한 편미분과 같을 때 운동 상수가 된다.

\frac{\partial A}{\partial t} = -\{A, H\}.

'''푸아송의 정리'''에 따르면, 두 양 $A$ 와 $B$ 가 운동 상수이면, 그들의 푸아송 괄호 $\{A, B\}$ 도 운동 상수이다.^[1]
$N$ 차원 공간 $\mathbb{R}^N$ 에서의 상미분 방정식

:

\frac{ d x_i }{ d t } = F_i ( x_1, x_2, \cdots, x_n ) \ \ ( i = 1, 2, \cdots, N)

에 대해, 제1 적분은

\mathbb{R}^N

상의 함수

\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N )

이며, 방정식의 해 궤도

x_i ( t )

를 따라 일정 값을 갖는다.^[6]

:

\Phi ( x_1 ( t ), x_2 ( t ), \cdots, x_N ( t ) ) = \mathrm{Const.}

상미분 방정식계의 하나의 제1 적분

\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N )

이 찾아지면, 초기값(

a

)과 등치한 방정식

:

\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N ) = a

을 하나의 변수(예:

x_N

)에 대해 풀어서

x_N

을 다른 변수를 사용하여 표시할 수 있다. 이때, 원래의 방정식계는

:

\frac{ d x_i }{ d t } = F'_i ( x_1, x_2, \cdots, x_{N-1} ; a ) \ \ (i = 1, 2, \cdots, N-1)

라는

N - 1

개의 변수에 관한 상미분 방정식으로 귀착된다. 따라서

N - 1

개의 제1 적분이 찾아지면, 원래의 상미분 방정식의 일반해

x_i ( t; a_1, a_2, \cdots, a_{N-1} )

을 구성할 수 있다(구적할 수 있다).^[7]

고전계에서 에너지 이외의 운동 상수가 없는 경우는 혼돈된 계(chaotic system^영어)라고 부른다.

2. 1. 라그랑주 역학

뇌터 정리를 사용하면 계의 대칭성을 파악하여 해당 대칭성에 상응하는 운동 상수를 계산할 수 있다. 예를 들어, 계의 운동 법칙이 시간에 따라 변하지 않는다면, 그 계는 에너지를 보존한다.^[13] 시간 병진 대칭성은 에너지 보존, 공간 병진 대칭성은 운동량 보존, 공간 회전 대칭성은 각운동량 보존과 관련된다.

2. 2. 해밀턴 역학

해밀턴-야코비 방정식을 풀어 계를 분석하면 자동적으로 운동 상수를 찾을 수 있다.^[1] 해밀토니안과의 푸아송 괄호가 0이고 시간에 직접 의존하지 않는 관측가능량은 운동 상수이다.^[1] 즉, 임의의 관측가능량

A

에 대하여,

::

\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\{A,H\}

이다.

푸아송 정리에 따르면, 두 양이 운동 상수이면 그들의 푸아송 괄호 또한 운동 상수이다.^[1]

''n''개의 자유도를 가지고, 임의의 운동 상수 쌍의 푸아송 괄호가 0이 되는 ''n''개의 운동 상수를 가진 시스템은 완전 적분 가능 시스템이라고 한다. 이러한 운동 상수 모음은 서로 인볼루션 상태에 있다고 한다. 닫힌계(라그랑지언이 명시적으로 시간에 의존하지 않음)의 경우, 시스템의 에너지는 운동 상수(보존량)이다.

고전역학에서 다루는 문제들은 해밀턴 형식으로 정식화가 가능하다. 이는 계의 자유도를

n

이라고 할 때, 계의 상태를 일반화 좌표

q_i

(

i = 1, 2, \cdots, n

) 및 일반화 운동량

p_i

(

i = 1, 2, \cdots, n

)의 묶음

( p_1, p_2, \cdots, p_n, q_1, q_2, \cdots, q_n )

에 의해 (즉, 위상 공간의 점으로) 기술하는 것이며, 운동 방정식은 해밀토니안

H ( \mathbf{p}, \mathbf{q} )

를 사용한 해밀턴의 정준 방정식

:

\frac{ d p_i }{ d t } = - \frac{ \partial H }{ \partial q_i } , \ \frac{ d q_i }{ d t } = \frac{ \partial H }{ \partial p_i }

이다. 이때, 임의의 (시간

t

에 명시적으로 의존하지 않는) 물리량

\Phi ( p, q )

의 해 궤적을 따르는 시간 변화는 푸아송 괄호

\{ \cdot, \cdot \}

를 사용하여

:

\frac{ d }{ d t } \Phi ( p ( t ), q ( t ) ) = \{ \Phi, H \}

로 쓸 수 있으므로, 그것이 운동의 적분이라는 것은 해밀토니안과 푸아송 가환이라는 조건

\{ \Phi, H \} = 0

과 동등하다.^[8]

해밀턴 역학계에서는, 운동 방정식의 해를 구적하기 위해

2 n - 1

개의 제1적분을 구할 필요는 없고,

n

개의 서로 푸아송 가환인 제1적분이 주어지면 구적이 가능하다.^[9]이 사실은 조제프 리우빌에 의해 증명되었기 때문에 리우빌의 정리라고 불렸지만, 후에 블라디미르 아르놀트에 의해 기하학적인 관점에서 재정식화되어^[11] 리우빌-아르놀트 정리로 알려지게 되었다.^[12]

2. 3. 양자역학

양자역학에서도 유사한 공식이 적용된다. 즉,

::

\frac{\mathrm dA}{\mathrm dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+[A,H]/\mathrm i\hbar

이다. 따라서 해밀토니안과의 교환자가 0이고 시간에 직접 의존하지 않는 관측가능량은 운동 상수가 된다.^[1]

관측 가능한 양 ''Q''가 교환자와 해밀토니안, ''H''와 교환하고, 그 자체가 명시적으로 시간에 의존하지 않는다면 운동의 상수이다. 이는 다음과 같기 때문이다.^[1]

\frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle = -\frac{1}{i \hbar} \left\langle \psi\right| \left[ H,Q \right] \left|\psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle \,

여기서

[H,Q] = HQ - QH \,

는 교환 관계이다.^[1]

어떤 관측 가능한 양 ''Q''가 위치, 운동량 및 시간에 의존한다고 가정하고,^[1]

Q = Q(x,p,t)

또한, 슈뢰딩거 방정식을 따르는 파동 함수가 있다고 가정하면,^[1]

i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = H \psi .

''Q''의 기댓값의 시간에 대한 미분을 구하려면 곱 규칙을 사용해야 하며, 결과는 다음과 같다.^[1]

\begin{align}\frac{d}{dt} \left\langle Q \right\rangle&= \frac{d}{dt} \left\langle \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle \\[1ex]&= \left(\frac{d}{dt}\left\langle \psi \right|\right) Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| Q \left(\frac{d}{dt}\left| \psi \right\rangle\right) \\[1ex]&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle H \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| Q \left| H \psi \right\rangle \\[1ex]&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| HQ \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| QH \left| \psi \right\rangle \\[1ex]&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi\right| \left[H,Q\right] \left|\psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle\end{align}

최종적으로,

\frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle = \frac{-1}{i \hbar} \langle \psi| \left[ H,Q \right]|\psi \rangle + \langle \psi | \frac{dQ}{dt} | \psi \rangle \,

이다.

양자역학적 시스템의 임의의 상태에 대해, ''H''와 ''Q''가 교환 가능하고,

\left[ H,Q \right] = 0

''Q''가 명시적으로 시간에 의존하지 않으면,^[1]

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle = 0

이다.

그러나

\psi

가 해밀토니안의 고유 함수인 경우,^[1]

\left[H,Q\right] \neq 0

이더라도, ''Q''가 시간에 무관하다면

\frac{d}{dt}\langle Q \rangle = 0

이 성립한다.^[1]

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle= -\frac{1}{i\hbar}  \langle \psi | \left[ H,Q \right] | \psi\rangle= -\frac{1}{i\hbar} \langle \psi | \left(HQ - QH\right) | \psi \rangle

이고,

H|\psi\rangle = E |\psi \rangle \,

이므로,

\begin{align}\frac{d}{dt} \langle Q \rangle&= -\frac{1}{i\hbar}  \left( E \langle \psi | Q | \psi \rangle - E \langle \psi | Q | \psi \rangle \right) \\[1ex]&= 0\end{align}

이다. 이것이 해밀토니안의 고유 상태를 정지 상태라고 부르는 이유이다.^[1]

3. 응용

운동 상수는 운동 방정식을 풀지 않고도 운동의 속성을 파악하는 데 유용하다. 운이 좋은 경우, 운동의 궤적은 운동 상수에 해당하는 등위면의 교집합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 푸아소 구성은 토크가 없는 강체의 회전이 구(전체 각운동량 보존)와 타원체(에너지 보존)의 교집합임을 보여주며, 이는 도출하고 시각화하기 어려울 수 있는 궤적이다.^[6]

4. 적분 가능 시스템

''n''개의 자유도를 가진 시스템에서, 서로 인볼루션 상태에 있는 ''n''개의 운동 상수가 존재하면 그 시스템은 완전 적분 가능 시스템이라고 한다.^[9] 이러한 운동 상수 모음은 서로 인볼루션 상태에 있다고 한다. 닫힌계(라그랑지언이 명시적으로 시간에 의존하지 않음)의 경우, 시스템의 에너지는 운동 상수(보존량)이다.^[6]

해밀턴 역학계에서는, 운동 방정식의 해를 구적하기 위해 2''n'' - 1개의 제1적분을 구할 필요는 없고, ''n''개의 서로 푸아송 가환인 제1적분이 주어지면 구적이 가능하다.^[9] 이 사실은 조제프 리우빌에 의해 증명되었기 때문에 리우빌의 정리라고 불렸지만, 후에 블라디미르 아르놀트에 의해 기하학적인 관점에서 재정식화되어^[11] 리우빌-아르놀트 정리로 알려지게 되었다.^[12]

5. 리우빌-아르놀트 정리 (고전역학)

고전역학에서 다루는 문제들은 해밀턴 형식으로 정식화할 수 있다. 이는 계의 자유도를 $n$ 이라고 할 때, 계의 상태를 일반화 좌표 $q_i$ ( $i = 1, 2, \cdots, n$ ) 및 일반화 운동량 $p_i$ ( $i = 1, 2, \cdots, n$ )의 묶음 $( p_1, p_2, \cdots, p_n, q_1, q_2, \cdots, q_n )$ 에 의해 (즉, 위상 공간의 점으로) 기술하는 것이며, 운동 방정식은 해밀토니안 $H ( \mathbf{p}, \mathbf{q} )$ 를 사용한 해밀턴의 정준 방정식

: $\frac{ d p_i }{ d t } = - \frac{ \partial H }{ \partial q_i } , \ \ \frac{ d q_i }{ d t } = \frac{ \partial H }{ \partial p_i }$

이다. 이때, 임의의 (시간 $t$ 에 명시적으로 의존하지 않는) 물리량 $\Phi ( p, q )$ 의 해 궤적을 따르는 시간 변화는 푸아송 괄호 $\{ \cdot, \cdot \}$ 를 사용하여

: $\frac{ d }{ d t } \Phi ( p ( t ), q ( t ) ) = \{ \Phi, H \}$

로 쓸 수 있으므로, 그것이 운동의 적분이라는 것은 해밀토니안과 푸아송 가환이라는 조건 $\{ \Phi, H \} = 0$ 과 동등하다^[8]。

해밀턴 역학계에서는, 운동 방정식의 해를 구적하기 위해 $2 n - 1$ 개의 제1적분을 구할 필요는 없고, $n$ 개의 서로 푸아송 가환인 제1적분이 주어지면 구적이 가능하다^[9]。이 사실은 조제프 리우빌에 의해 증명되었기 때문에 리우빌의 정리라고 불렸지만, 후에 블라디미르 아르놀트에 의해 기하학적인 관점에서 재정식화되어^[11] 리우빌-아르놀트 정리로 알려지게 되었다^[12]。

6. 뇌터 정리 (라그랑주 역학)

라그랑주 역학에서 뇌터의 정리를 쓰면, 계의 대칭을 찾고 이에 해당하는 운동 상수를 계산할 수 있다. 예를 들어, 계의 운동 법칙이 시간에 따라 바뀌지 않으면 계는 에너지를 보존한다.^[13] 라그랑주 형식의 물리계에서 뇌터의 정리는 계의 하나의 연속적인 대칭성에 수반하여 하나의 제1 적분이 존재한다고 주장한다. 예를 들어 시간 병진 대칭성에 수반하여 해밀토니안(에너지)이, 공간 병진 대칭성에 수반하여 운동량이, 공간 회전 대칭성에 수반하여 각운동량이 제1 적분이 된다.

7. 고립 적분과 무한 다가 적분

어떤 종류의 제1 적분 $\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N )$ 은 그 "등고선" $\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N ) = a$ 가 고려하는 영역을 조밀하게 채울 수 있다.^[14] 이 경우, 그 적분 값이 지정되어도 운동 가능한 영역의 차원을 낮출 수 없기 때문에, 이러한 적분은 리우빌 정리에서의 가적분성 조건에서 제외된다.^[15]^[16] 이러한 상황에서는 상태 공간 내의 임의의 점 근방을 임의의 등고선 $\Phi ( x_1, x_2, \cdots, x_N ) = a'$ 가 통과하기 때문에, 이 의미에서 이 종류의 제1 적분은 무한 다가 적분이라고 불린다.^[17] 반면, 그렇지 않은 유한 다가 적분 (전형적으로 일가 적분)은 고립 적분 (isolating integral)이라고 불리며, 구적에 사용할 수 있다.^[15]

8. 디랙 관측가능량 (게이지 이론)

게이지 이론에서 물리적 정보를 추출하기 위해, 게이지 불변 관측값을 구성하거나 게이지를 고정한다. 정준 언어에서 이는 일반적으로, 제약 조건 표면에서 게이지를 생성하는 일류 제약 조건과 푸아송 가환하는 함수를 구성하거나, 각 게이지 궤도 내에서 점을 골라 게이지의 흐름을 고정하는 것을 의미한다. 따라서 이러한 게이지 불변 관측값은 게이지 생성기의 '운동 상수'이며, 디랙 관측값이라고 불린다.

참조

_[1] 서적 Mechanics Pergamon Press 1960
_[2] 서적 Binney, J. and Tremaine, S.: Galactic Dynamics. http://press.princet[...] Princeton University Press 2011-05-05
_[3] 웹사이트 仕事とエネルギー https://www.sci.u-hy[...] 2020-09-02
_[4] 서적 重点解説ハミルトン力学系 : 可積分系とKAM理論を中心にサイエンス社
_[5] 문서 大貫&吉田, p. 32.
_[6] 문서 大貫&吉田, pp. 91-92.
_[7] 문서 大貫&吉田, pp. 92-93.
_[8] 문서 大貫&吉田, pp. 58-59.
_[9] 문서 大貫&吉田, pp. 100-1102.
_[10] 논문 Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique http://sites.mathdoc[...] 1853
_[11] 논문 Small Denominators and Problems of Stability of Motion in Classical and Celestial Mechanics
_[12] 문서 大貫&吉田, pp. 100-107.
_[13] 문서 大貫&吉田, pp. 30-42, 78-85.
_[14] 문서 大貫&吉田, p. 151.
_[15] 문서 大貫&吉田, pp.151-152.
_[16] 문서 Binney & Tremaine, pp. 159-160.
_[17] 문서 大貫&吉田, p. 152.

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