적분가능계

3. 리우빌 적분가능성

해밀턴 역학에서, 위상 공간 차원의 절반만큼 독립적인 운동 상수가 존재하면 그 계를 '''리우빌 적분가능'''하다고 한다. 리우빌 적분가능계는 작용각 좌표를 이용하여 기술할 수 있다.

좀 더 구체적으로, $(M,\backslash omega,H)$가 해밀턴 계이고 $M$이 유한 차원이라고 하자. 만약 이 계가 ($H$ 자체를 포함한) $(\backslash dim\; M)/2$개의 선형독립 운동 상수 $F\_i$를 가진다면, 이 계를 리우빌 적분가능이라고 한다. 만약 이 계가 $(\backslash dim\; M)/2$개를 초과하는 선형독립 운동 상수를 가진다면 '''초적분가능'''이라고 하며, $(\backslash dim\; M)-1$개의 선형독립 운동 상수를 가지면 '''최대 초적분가능'''이라고 한다. 정적이지 않은 계는 $\backslash dim\; M$개 이상의 선형독립 운동 상수를 가질 수 없는데, 이는 초기 조건이 $\backslash dim\; M$개 있고, 초기 시간은 운동 상수에 의하여 결정되지 않기 때문이다.

3. 1. 작용각 좌표

4. 프로베니우스 적분가능성

미분방정식계가 정의된 공간 위에 최대 적분 다양체에 의해 엽층을 가질 때, 프로베니우스의 의미에서 '''적분 가능'''하다고 한다. 프로베니우스 정리에 따르면, 계가 완전히 적분 가능함과, 계가 외미분 형식 아래 닫혀있음은 동치이다.

5. 해밀턴-야코비 접근법

정준 변환 이론에서 해밀턴-야코비 방법은 해밀턴 방정식의 해를 찾는 데 사용된다. 이는 관련된 해밀턴-야코비 방정식의 완전해를 구함으로써 가능하다.^[17] 고전적인 용어로는, 완전히 무시할 수 있는 변수로 구성된 정준 좌표 집합으로 변환하는 것으로 설명된다.

6. 솔리톤과 역산란 방법

1960년대 후반, 얕은 물에서 일어나는 1차원 비소산 유체역학을 설명하는 KdV 방정식에서 강한 안정성을 가지는 국소화된 해인 솔리톤이 발견되었다.^[18] 이는 무한 차원 적분가능 해밀턴계로 간주되면서 고전적 적분가능계에 대한 관심을 다시 불러일으켰다. 이러한 방정식들을 "적분"하기 위한 매우 유용한 접근법으로 역산란 변환^[19] 및 보다 일반적인 역 스펙트럼 방법(종종 리만-힐베르트 문제^[20]로 축소 가능)이 연구되었다. 이 방법은 푸리에 해석과 같은 국소 선형 방법을 연관된 적분 방정식의 해를 통해 비국소 선형화로 일반화한다.

이 방법의 핵심 아이디어는 상 공간의 위치에 의해 결정되고 시스템의 역학계에 따라 진화하는 선형 연산자를 도입하여, 해당 연산자의 "스펙트럼"(적절하게 일반화된 의미에서)이 진화에 따라 불변하도록 하는 것이다. KdV 방정식과 같이 무한히 많은 자유도를 갖는 시스템의 경우, 적절하게 정의된 경계 조건에서 스펙트럼 변환은 보존량이 이중 무한 정준 좌표 집합의 절반을 형성하고 흐름이 이러한 좌표에서 선형화되는 '''완전히 무시할 수 있는 좌표'''로의 변환으로 해석될 수 있다.

7. 히로타 쌍선형 방정식과 τ-함수

히로타 료고^[2]가 개척한 계산적 접근 방식은 적분가능계의 현대 이론에서 등장한 또 다른 관점이다. 이 접근 방식은 원래의 비선형 동역학계를 보조 변수에 대한 상수 계수 방정식의 쌍선형 시스템으로 대체하는 것을 포함하며, 이는 나중에 τ-함수로 알려지게 되었다. 이것들은 현재 ''히로타 방정식''이라고 불린다. 원래는 역산란 접근 방식이나 해밀턴 구조와 명확한 관계 없이 단순히 계산 장치로 나타났지만, 그럼에도 불구하고 솔리톤과 같은 중요한 종류의 해를 도출할 수 있는 매우 직접적인 방법을 제공했다.

이후, 이것은 처음에는 Kadomtsev–Petviashvili 계층과 같은 적분가능 편미분 방정식 계층의 경우에 대해, 사토 미키오^[3]와 그의 제자들^[4][5]에 의해 해석되었다. 하지만 이후 훨씬 더 일반적인 종류의 적분가능 계층에 대해, 전형적으로 교환 가능한 역학이 (유한 또는 무한) 아벨 군 작용에 의해 결정되는 일종의 ''보편적 위상 공간'' 접근 방식으로 해석되었다. (유한 또는 무한) 그래스만 다양체상의 그래스만 다양체. τ-함수는 군 궤도의 원소에서 그래스만 다양체 내의 어떤 ''원점''으로의 투영 연산자의 행렬식으로 간주되었고, ''히로타 방정식''은 적절하게 정의된 (무한) 외대수 공간의 사영화에 있는 그래스만 다양체의 플뤼커 관계를 표현하는 것으로 간주되었으며, 이는 페르미온 폭 공간으로 간주된다.

8. 적분가능계의 예

미분 방정식이나 유한 차분 방정식 시스템 형태의 진화 방정식을 설명하는 데 적용될 수 있는 적분가능계의 예시는 다음과 같다.

;고전 역학 시스템

• 칼로제로-모저-서덜랜드 모델^[9]
• 중심력 운동 (고전 중심력 문제의 정확한 해)
• 타원체 위의 측지선 운동
• 조화 진동자
• 유체 내 적분 가능한 클레브시 및 스테클로프 시스템
• 라그랑주, 오일러, 코발레프스카야 팽이
• 노이만 진동자
• 2 중심 뉴턴 중력 운동

• AKNS 시스템
• 벤자민-오노 방정식
• 부시네스크 방정식 (수면파)
• 카마사-홀름 방정식
• 고전 하이젠베르크 강자성체 모델 (스핀 체인)
• 데가스페리스-프로체시 방정식
• Dym 방정식
• 가르니에 적분 가능 시스템
• 카우프-쿠퍼슈미트 방정식
• 코르테베흐-드 브리스 방정식
• 란다우-리프시츠 방정식 (연속 스핀 필드)
• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 비선형 시그마 모델
• 사인-고든 방정식
• 티링 모델
• 세 파동 방정식

• 데이비-스튜어트슨 방정식
• 이시모리 방정식
• 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식
• 노비코프-베셀로프 방정식

• 벨린스키-자하로프 변환은 아인슈타인 방정식에 대한 락스 쌍을 생성한다. 일반 해는 중력 솔리톤이라고 하며, 이 중 슈바르츠쉴트 계량, Kerr 계량 및 일부 중력파 해가 있다.

• 8-정점 모델
• 가우딘 모델
• 1차원 및 2차원의 이징 모델
• 리브의 얼음형 모델
• 양자 하이젠베르크 모델

8. 1. 고전역학에서의 적분가능계

8. 1. 1. 조화 진동자

8. 1. 2. 다체 문제

8. 1. 3. 강체

8. 2. 적분가능 2·3차원 장론

8. 3. 격자 모형

• XXX 모형 (하이젠베르크 모형)^[51][52]
• XXZ 모형 (하이젠베르크-이징 모형)
• XYZ 모형
• 임계 이징 모형
• 3개 상태 포츠 모형

• 아블로비츠-라디크 격자
• 토다 격자
• 볼테라 격자

9. 양자 적분가능계

양자 역학에서, 위상 공간의 함수는 자기 수반 연산자로, 푸아송 가환 함수는 가환 연산자로 대체된다.^[6] 보존 법칙의 개념은 국소성 원리에 맞춰져야 한다. 모든 해밀토니안은 에너지 고유 상태로의 사영에 의해 무한한 수의 보존량을 갖지만, 이는 특별한 역학적 구조를 의미하지는 않는다.

양자 적분 가능성을 설명하기 위해 자유 입자 설정을 고려할 수 있다. 이 경우 모든 역학은 1체 환원 가능하다. 양자 시스템은 역학이 2체 환원 가능할 경우 적분 가능하다고 한다. 양-버스터 방정식은 이러한 환원 가능성의 결과이며, 무한한 수의 보존량을 제공하는 추적 항등식으로 이어진다.^[21] 이러한 아이디어는 대수적 베테 가설을 사용하여 명시적인 해를 얻을 수 있는 양자 역 산란 방법에 통합된다.^[22] 양자 적분 가능 모델의 예로는 리브-린저 모델, 허바드 모델, 하이젠베르크 모델 등이 있다.^[7]

10. 정확히 풀리는 모델

물리학에서, 특히 무한 차원 설정에서 완전 적분 가능 시스템은 종종 정확히 풀리는 모델이라고 불린다. 이는 해밀턴 의미에서의 적분 가능성과 더 일반적인 역학계 의미 사이의 구분을 모호하게 한다.^[6]

통계역학에도 정확히 풀리는 모델이 있는데, 이는 고전적인 것보다 양자 적분 가능 시스템과 더 밀접하게 관련되어 있다. 베테 안자츠 접근 방식은 현대적 의미에서 양-바스터 방정식을 기반으로 하고 양자 역산란 방법은 역 스펙트럼 방법의 양자 유사체를 제공한다. 이는 통계 역학에서 풀리는 모델 연구에서도 마찬가지로 중요하다.^[21][22][23]

11. 관련 분야

• 수리물리학
• 솔리톤
• 페르베 초월 함수
• 통계역학
• 적분 가능 알고리즘
• 역학계
• 해석역학
• 팡르베 방정식
• 히로타 방법
• 사토 이론

12. 주요 연구자

• 마크 아브로위츠
• 로드니 배스터
• 퍼시 데이프트
• 레오니트 디키
• 블라디미르 드린펠트
• 보리스 두브로빈
• 루드비히 파데예프
• 헤르만 플라슈카
• 이스라엘 겔판트
• 알렉산더 이츠
• 짐보 미치오
• 이고르 M. 크리체버
• 마틴 크루스칼
• 피터 락스 (락스 쌍으로 알려짐)
• 블라디미르 마트베예프
• 헨리 맥킨
• 로버트 미우라
• 미와 테츠지
• 앨런 뉴웰
• 니콜라이 레셰티킨
• 알렉세이 샤바트
• 예브게니 스클랴닌
• 사토 미키오
• 엘리엇 H. 리브
• 그레이엄 시걸
• 조지 윌슨
• 블라디미르 E. 자하로프
• 양전닝
• 토다 모리카즈
• 히로타 료고
• 사츠마 쥰키치

13. 정의에 관한 주의점

동역학계의 맥락에서, '''적분가능성'''은 불변하는 정칙 엽층의 존재를 의미한다. 즉, 흐름에 대해 불변하는 가장 작은 차원의 매끄러운 다양체를 잎으로 갖는 엽층을 말한다. 불변 엽층의 잎의 차원에 따라 적분가능성의 정도가 달라진다. 해밀턴 역학에서 리우빌의 의미에서의 '''완전 적분가능성'''은 이 맥락에서 가장 자주 언급된다.

적분가능성 개념은 격자(lattice)와 같은 이산 시스템에도 적용 가능하다. 이 정의는 미분 방정식 또는 유한 차분 방정식의 시스템인 진화 방정식을 설명하는 데 적용될 수 있다.

적분가능한 동역학계와 적분 불가능한 동역학계의 구분은 규칙적인 운동 대 혼돈 운동의 질적 의미를 가지며, 시스템이 정확한 형태로 명시적으로 적분될 수 있는지 여부의 문제가 아니라 고유한 속성이다.

지금까지 적분가능계에 관해 설명했지만, '''적분가능계 (특히 이산 적분가능계)에 엄밀한 정의는 없다'''^[33]。'''적분가능계를 엄밀하게 정의하는 것이 목표이다'''。그 때문에, '''사람에 따라 정의가 다르기도 하고'''^[34], 한마디로 "적분가능계의 전문가"라고 해도 '''사람에 따라 학문적 배경이 다르다'''。이것을 바탕으로, 교토 대학 수리해석연구소에서 개최되는 적분가능계의 연구 집회에서는 적분가능계를 키워드로 '''「상미분 방정식론, 확률론, 조합론, 실해석학, 응용 수리, 대수 기하학, 미분 기하학, 수론 등 폭넓은 분야의 연구자의 정보 교환」'''을 목적으로 하고 있다^[35][36]。

참조

_[1] 서적 Integrable Systems: Twistors, Loop Groups, and Riemann Surfaces https://books.google[...] Oxford University Press 2013
_[2] 논문 Reduction of soliton equations in bilinear form
_[3] 논문 Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds https://repository.k[...]
_[4] 논문 Operator approach to the Kadomtsev-Petviashvili equation III
_[5] 논문 Solitons and infinite-dimensional Lie algebras https://www.jstage.j[...]
_[6] 논문 Introduction to 'Quantum Integrability in Out of Equilibrium Systems' https://ora.ox.ac.uk[...] IOP Publishing 2016-06-27
_[7] 서적 Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions Cambridge University Press
_[8] 논문 Solvable multistate model of Landau-Zener transitions in cavity QED
_[9] 논문 Calogero-Moser system
_[10] 서적 Symmetries and Integrability of Difference Equations https://books.google[...] Cambridge University Press 1999
_[11] 문서 Discrete systems and integrability Cambridge university press 2016
_[12] 서적 Discrete integrable systems -QRT Maps and Elliptic Surfaces- Springer Monographs in Mathematics 2010
_[13] 서적 Discrete Integrable Systems Springer 2004
_[14] 웹사이트 Evolution equation
_[15] 문서 Dynamics of evolutionary equations Springer Science & Business Media 2013
_[16] 서적 発展方程式 岩波書店 1975
_[17] 서적 常微分方程式と解析力学 共立出版 1998
_[18] 논문 Method for solving the Korteweg-de Vries equation 1967
_[19] 서적 Solitons and the inverse scattering transform Society for industrial and applied mathematics 1981
_[20] 논문 The Riemann–Hilbert Problem and Integrable Systems http://www.ams.org/n[...]
_[21] 서적 量子群とヤン・バクスター方程式 シュプリンガー・フェアラーク東京
_[22] 서적 ベーテ仮説と組合せ論 朝倉書店 2011
_[23] 서적 Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions Cambridge University Press
_[24] 서적 コマの幾何学一可積分系講義 共立出版 2000
_[25] 서적 復刊可積分系の世界―戸田格子とその仲間― 共立出版
_[26] 서적 Korteweg-de Vries and Nonlinear Schrödinger Equations: Qualitative Theory Springer 2001
_[27] 서적 The Nonlinear Schrödinger Equation -Self-Focusing and Wave Collapse- Springer 1999
_[28] 서적 The Nonlinear Schrödinger Equation -Singular Solutions and Optical Collapse- Springer 2015
_[29] 문서 Ablowitz–Kaup–Newell–Segur
_[30] 논문 The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems 1974
_[31] 서적 KP Solitons and the Grassmannians: combinatorics and geometry of two-dimensional wave patterns Springer 2017
_[32] 논문 New integrable (3+1)-dimensional systems and contact geometry 2018
_[33] 웹사이트 可積分系の紹介 http://gandalf.math.[...]
_[34] 웹사이트 What is an integrable system https://mathoverflow[...]
_[35] 웹사이트 可積分系数理の深化と展開 https://sites.google[...]
_[36] 웹사이트 可積分系理論から見える数理構造とその応用 https://sites.google[...]
_[37] 문서
_[38] 서적 Symmetries and integrability of difference equations Cambridge University Press 1999
_[39] 서적 Symmetries and Integrability of Difference Equations Cambridge University Press 2011
_[40] 문서 Symmetries and Integrability of Difference Equations, Lecture Notes of the Abecederian School of SIDE 12, Montreal 2016
_[41] 서적 Introduction to Classical Integrable Systems Cambridge University Press 2007-02
_[42] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics Springer
_[43] 저널 Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU₃ 1965-03
_[44] 저널 Lectures on Calogero–Moser systems
_[45] 저널 Calogero–Moser system 2008
_[46] 저널 A lecture on the Calogero–Sutherland models
_[47] 저널 Kovalevskaya top — an elementary approach
_[48] 저널 Theory and applications of the sine-Gordon equation
_[49] 서적 양자 사인-고든 모형 이화여자대학교출판부 2006
_[50] 저널 Recent developments in affine Toda field theory
_[51] 저널 A spin chain primer
_[52] 서적 Quantum Spaces: Poincaré Seminar 2007 Birkhäuser 2007