라그랑주 항등식

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1. 개요
2. 대수적 표현
- 2.1. 복소수 형태
3. 벡터 해석
4. 사원수
- 4.1. 허수 사원수
5. 증명
- 5.1. 대수적 증명
- 5.2. 복소수 증명
참조

1. 개요

라그랑주 항등식은 대수적 표현, 일반적인 형태, 복소수 형태, 벡터 해석, 사원수 등 다양한 형태로 표현되는 수학적 항등식이다. 이 항등식은 수열의 곱셈과 전개를 통해 증명할 수 있으며, 복소수와 외적, 내적을 활용하여 기하학적으로 해석될 수 있다. 특히, 3차원 및 7차원 벡터 공간에서의 외적과 내적 관계를 통해 평행사변형의 면적을 나타내는 공식으로 활용된다.

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라그랑주 항등식
정의
유형	항등식
관련 개념	제곱합
형태
수식	$\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) = \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} \left(a_i b_j - a_j b_i\right)^2$
변수	ai bi
변수 범위	실수 또는 복소수
일반화
브레치-나미아 항등식	복소수, 사원수, 벡터로 확장 가능

2. 대수적 표현

라그랑주 항등식은 주어진 두 수열의 곱의 합과 관련된 항등식으로, 직접적인 증명을 통해 확인할 수 있다.^[11]

먼저, 좌변의 첫 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(''a''s의 열과 ''b''s의 행의 곱은 ''ab''s의 제곱의 합을 생성하고, 이 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 삼각형으로 나눌 수 있다.)

다음으로, 좌변의 두 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(대칭 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 동일한 삼각형으로 나눌 수 있다.)

우변의 합계를 전개하기 위해, 먼저 합계 내의 제곱을 전개한다.

:

우변의 합계를 분배하면 다음과 같다.

:

이제 우변의 두 번째 항의 인덱스 ''i''와 ''j''를 교환하고, 세 번째 항의 ''b'' 인수를 순열하면 다음을 얻는다.

:

마지막으로, 좌변의 두 항을 방정식 (1)과 (2)에서 전개된 형태로 가져온다. 방정식 (2)의 우변 첫 번째 항은 방정식 (1)의 우변 첫 번째 항을 상쇄하여 다음을 얻는다.

:

이는 방정식 (3)과 동일하므로, 라그랑주 항등식이 성립한다.

2. 1. 복소수 형태

Lagrange's identity^영어은 곱의 노름이 노름의 곱과 같아야 한다는 노름 나눗셈 대수의 성질을 보여준다.^[12]

a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}

를 복소수라 하고, 오버바를 복소 공액이라 할 때, 복소수에 대한 라그랑주 항등식은 다음과 같이 표현된다.^[4]

:

\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i

이는 다음과 같은 곱 항등식에서 4차 항을 고려하여 유도할 수 있다.

:

\prod_{i=1}^{n} \left(1 - a_{i} \bar{a}_{i} - b_{i} \bar{b}_{i} + a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}\right) = \prod_{i=1}^{n} \left(1 - a_{i} \bar{a}_{i}\right) \prod_{i=1}^{n} \left(1 - b_{i} \bar{b}_{i}\right).

복소수 형태의 라그랑주 항등식은 코시-슈바르츠 부등식의 특수한 경우이므로,^[4] 이 증명은 코시-슈바르츠 부등식을 유도하는 또 다른 방법이기도 하다.

3. 벡터 해석

3차원에서 라그랑주 항등식은 벡터의 외적과 내적을 통해 기하학적으로 해석할 수 있다.^[7]^[8] '''a'''와 '''b'''가 이루는 각도를 θ라고 하면, 라그랑주 항등식의 좌변은 |'''a'''||'''b'''|sinθ의 제곱으로 표현되는데, 이는 두 벡터로 만들어지는 평행사변형의 면적의 제곱과 같다. 우변의 외적은 평행사변형을 ''yz'', ''zx'', ''xy'' 평면에 투영한 면적의 크기를 성분으로 갖는 벡터이다.

3. 1. 3차원 벡터

'''a'''와 '''b'''가 크기가 |'''a'''|와 |'''b'''|인 '''R'''³의 벡터라면, 라그랑주 항등식은 외적과 내적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[7]^[8]

:|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 - (\mathbf {a} \cdot \mathbf{b})^2 = |\mathbf a \times \mathbf b|^2

내적에 기초한 각도의 정의(코시-슈바르츠 부등식 참조)를 사용하면 좌변은 다음과 같다.

:\left|\mathbf{a}\right|^2 \left|\mathbf{b}\right|^2 \left( 1- \cos^2\theta\right) = \left|\mathbf{a}\right|^2 \left|\mathbf{b}\right|^2\sin^2\theta

여기서 θ는 벡터 '''a'''와 '''b'''가 이루는 각도이다. 변이 |'''a'''|와 |'''b'''|이고 각도가 θ인 평행사변형의 면적은 초등 기하학에서 다음과 같다.

:\left|\mathbf{a}\right| \left|\mathbf{b}\right| \left|\sin\theta\right|

따라서 라그랑주 항등식의 좌변은 평행사변형의 면적의 제곱이다. 우변에 나타나는 외적은 다음과 같이 정의된다.

:\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \left(a_2 b_3- a_3 b_2\right)\mathbf{i} + \left(a_3 b_1 - a_1 b_3\right)\mathbf{j} + \left(a_1 b_2 - a_2 b_1\right)\mathbf{k}

이는 평행사변형을 각각 ''yz'', ''zx'', ''xy'' 평면에 투영한 면적의 크기와 같은 성분을 가진 벡터이다.

3. 2. 7차원 벡터

라그랑주 항등식은 '''R'''⁷의 벡터 '''a'''와 '''b'''에 대해 '''R'''³의 경우와 동일한 형식을 취한다.^[9]

:|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2 -|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}|^2

그러나 7차원에서의 외적은 3차원에서의 외적의 모든 성질을 공유하지는 않는다. 예를 들어, 7차원에서 '''a''' × '''b'''의 방향은 '''c'''와 '''d'''가 '''a'''와 '''b'''에 선형 독립임에도 불구하고 '''c''' × '''d'''와 같을 수 있다. 또한 7차원 외적은 야코비 항등식과 호환되지 않는다.^[9]

3. 3. 외대수

쐐기곱을 사용하여 라그랑주 항등식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b).

이는 두 벡터의 외적의 길이를 나타내는 공식으로 볼 수 있으며, 두 벡터가 정의하는 평행사변형의 면적을 두 벡터의 내적을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\|a \wedge b\| = \sqrt{(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2} = \sqrt{\|a\|^2\|b\|^2 - (a \cdot b)^2}.

4. 사원수

사원수 ''p''는 스칼라 ''t''와 벡터 '''v'''의 합으로 정의된다.

$p = t + \mathbf v = t + x \ \mathbf i +y \ \mathbf j + z\ \mathbf k.$

두 사원수 ''p'' = ''t'' + '''v'''^영어, ''q'' = ''s'' + '''w'''^영어의 곱은 다음과 같이 정의된다.

$pq = (st - \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}) + s \ \mathbf{v} + t \ \mathbf{w} + \mathbf{v}\times\mathbf{w}.$

''q''의 사원수 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

$\overline{q} = t - \mathbf{v},$

노름 제곱은 다음과 같다.

$|q|^2 = q\overline{q} = t^2 \ + \ x ^2 + \ y^2 \ +\ z^2.$

사원수 대수에서 노름의 곱셈성은 사원수 ''p''와 ''q''에 대해 다음을 만족한다.^[10]

$\left|pq\right| = \left|p\right| \left|q\right|.$

4. 1. 허수 사원수

사원수 ''p''와 ''q''가 스칼라 부분이 0일 경우, 즉 다음이 성립할 경우 허수라고 한다.

p = \mathbf{v},\quad q = \mathbf{w}.

라그랑주 항등식은 허수 사원수의 노름의 곱셈성, 즉

|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = |\mathbf{v}|^2|\mathbf{w}|^2,

인데, 이것은 다음 정의에 의해 성립한다.

|\mathbf{v}\mathbf{w}|^2 = (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})^2 + |\mathbf{v}\times\mathbf{w}|^2.

^[10]

5. 증명

라그랑주 항등식은 대수, 벡터 해석, 복소수 등 다양한 방법으로 증명할 수 있다.^[4] 비네-코시 등식에서 ''c_i'' = ''a_i'' 및 ''d_i'' = ''b_i''로 설정하면 벡터 형식을 얻을 수 있다.

5. 1. 대수적 증명

라그랑주 항등식의 대수적 증명은 다음과 같다.^[11] 좌변의 첫 번째 항을 전개하면 다음과 같다.

:(''a''s의 열)과 (''b''s의 행)의 곱은 ''ab''s의 제곱의 (합)을 생성하고, 이 제곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 삼각형으로 나눌 수 있음을 의미한다.

라그랑주 항등식의 좌변에 있는 두 번째 항은 다음과 같이 전개할 수 있다.

:이는 대칭 제곱이 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 동일한 삼각형으로 나눌 수 있음을 의미한다.

라그랑주 항등식의 우변의 합계를 전개하려면 먼저 합계 내의 제곱을 전개한다.

::

우변에 있는 합계를 분배하면,

::

이제 우변의 두 번째 항의 인덱스 ''i''와 ''j''를 교환하고, 세 번째 항의 ''b'' 인수를 순열하면 다음을 얻는다.

::

라그랑주 항등식의 좌변으로 돌아가면, 방정식 (1)과 (2)에 의해 전개된 형태로 제공되는 두 개의 항이 있다. 방정식 (2)의 우변의 첫 번째 항은 방정식 (1)의 우변의 첫 번째 항을 상쇄하여

::

이는 방정식 (3)과 동일하므로, 라그랑주 항등식은 실제로 항등식이다.

5. 2. 복소수 증명

a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}

를 복소수라 하고, 오버바를 복소 공액을 나타낸다고 하자.

곱 항등식

\prod_{i=1}^{n} \left(1 - a_{i} \bar{a}_{i} - b_{i} \bar{b}_{i} + a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}\right) = \prod_{i=1}^{n} \left(1 - a_{i} \bar{a}_{i}\right) \prod_{i=1}^{n} \left(1 - b_{i} \bar{b}_{i}\right)

는 급수 전개에서 4차 항을 고려할 때 복소 라그랑주 항등식으로 축소된다.

이를 증명하기 위해, 곱 항등식의 좌변에 있는 곱을 4차까지의 급수로 전개한다.

\left(1 +x_{i}\right)

형태의 곱은 다음과 같이 합의 관점에서 전개될 수 있다.

\prod_{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\right) = 1+\sum_{i=1}^{n}x_{i}+\sum_{i

여기서

\mathcal{O}^{3+}(x)

는

x

에 대해 3차 이상인 항을 의미한다.

따라서,

\prod_{i=1}^{n}\left(1 - a_{i} \bar{a}_{i} - b_{i} \bar{b}_{i} + a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}\right) = 1-\sum_{i=1}^{n} \left(a_{i}\bar{a}_{i} + b_{i} \bar{b}_{i}\right) + \sum_{i=1}^{n} a_{i} \bar{a}_{i} b_{i} \bar{b}_{i}+ \sum_{i

우변의 두 인자도 급수의 관점에서 작성하면,

\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)=\left(1-\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}+\sum_{i

4차까지 이 표현의 곱은 다음과 같다.

\prod_{i=1}^{n}\left(1-a_{i}\bar{a}_{i}\right)\prod_{i=1}^{n}\left(1-b_{i}\bar{b}_{i}\right)=1-\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}\bar{a}_{i}+b_{i}\bar{b}_{i}\right)+\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}\bar{b}_{i}\right)+\sum_{i

이 두 결과를 곱 항등식에 대입하면 다음을 얻는다.

\sum_{i=1}^{n}a_{i}\bar{a}_{i}b_{i}\bar{b}_{i}+\sum_{i

두 공액 급수의 곱은 공액 항의 곱을 포함하는 급수로 표현될 수 있다. 공액 급수 곱은

\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\bar{x}_{i}\right) = \sum_{i=1}^{n} x_{i}\bar{x}_{i}+\sum_{i 이므로,

\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)-\sum_{i

좌변의 마지막 두 급수의 항은

a_{i}\bar{a}_{i}b_{j}\bar{b}_{j}+a_{j}\bar{a}_{j}b_{i}\bar{b}_{i}-a_{i}b_{i}\bar{a}_{j}\bar{b}_{j}-\bar{a}_{i}\bar{b}_{i}a_{j}b_{j} = \left(a_{i}\bar{b}_{j}-a_{j}\bar{b}_{i}\right)\left(\bar{a}_{i}b_{j}-\bar{a}_{j}b_{i}\right),

와 같이 묶인다.

따라서, 복소 라그랑주 항등식은 다음과 같다.

\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}b_{i}}\right)+\sum_{i

절댓값으로 표현하면,

\left|\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|^{2}+\sum_{i

복소수에 대한 라그랑주 항등식은 간단한 곱 항등식에서 얻어졌다. 실수에 대한 유도는 더욱 간결하다. 코시-슈바르츠 부등식은 라그랑주 항등식의 특수한 경우이므로,^[4] 이 증명은 코시-슈바르츠 부등식을 얻는 또 다른 방법이다. 급수의 고차 항은 새로운 항등식을 생성한다.

참조

_[1] 서적 CRC concise encyclopedia of mathematics https://books.google[...] CRC Press
_[2] 서적 Function theory of one complex variable American Mathematical Society
_[3] 서적 Dimension theory for ordinary differential equations https://books.google[...] Vieweg+Teubner Verlag
_[4] 서적 The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities Cambridge University Press
_[5] 서적 Function Theory of One Complex Variable American Mathematical Society
_[6] 서적 An Introduction to Complex Function Theory https://archive.org/[...] Springer-Verlag
_[7] 서적 Elementary Linear Algebra: Applications Version John Wiley and Sons
_[8] 서적 Clifford algebras and spinors https://books.google[...] Cambridge University Press
_[9] 서적 Clifford algebras and spinors https://books.google[...] Cambridge University Press
_[10] 서적 Quaternions and rotation sequences: a primer with applications to orbits Princeton University Press
_[11] 간행물 Frank Jones, Rice University https://docs.google.[...]
_[12] 논문 Alternative realization for the composition of relativistic velocities SPIE

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