론스키 행렬식

3. 성질

함수들이 주어진 구간에서 선형 종속이면 론스키 행렬식은 그 구간에서 항상 0이 된다.^[6] 역으로, 론스키 행렬식이 어떤 구간에서 항상 0이 아니면, 그 함수들은 그 구간에서 선형 독립이다.^[7] 론스키 행렬식이 0이 아니면 선형 독립이라는 것은 다음을 통해 알 수 있다. 함수들이 구간 I에서 일차종속이면, 모두 0이 아닌 계수 $k\_1,\; ...,\; k\_n$에 대해 다음 식이 성립한다.

:$k\_1f\_1(x)\; +\; ...\; +\; k\_nf\_n(x)\; =\; 0$

이를 n-1번 미분한 모든 식을 이용해 함수식을 행렬로 만들고 계수로 묶으면 다음과 같다.

:$$

0 =

\begin{pmatrix}

f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\

f_1'(x) & f_2'(x) & \cdots & f_n' (x)\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

k_1 \\

k_2 \\

\vdots \\

k_n

\end{pmatrix},\qquad x\in I.



이때 $k\_1,\; ...,\; k\_n$은 조건에 의해 자명하지 않은 해를 가지므로 I에서 이 행렬의 행렬식은 0이 된다.

하지만 론스키 행렬식이 0이라고 해서 반드시 함수들이 선형 종속인 것은 아니다. 페아노는 함수 $x^2$와 $|x|x$는 연속적인 도함수를 가지며, 론스키 행렬식이 모든 곳에서 0이지만, 0의 어떤 근방에서도 선형 종속이 아니라는 점을 지적했다.^[3] 즉, 론스키 행렬식이 0이라는 것만으로는 선형 종속성을 보장할 수 없고, 추가적인 조건이 필요하다.

막심 보셰는 함수가 해석 함수인 경우, 구간에서 론스키 행렬식이 0이면 선형 종속임을 보였다.^[2] 보셰는 론스키 행렬식이 0이 되는 것이 선형 종속성을 의미하는 다른 여러 조건도 제시했다. 예를 들어, n개의 함수의 론스키 행렬식이 항등적으로 0이고, 이 함수들 중 n-1개의 함수의 n개 론스키 행렬식이 어떤 점에서도 모두 0이 되지 않으면, 함수들은 선형 종속이다. Wolsson은 론스키 행렬식이 0이 되는 것과 함께 선형 종속성을 의미하는 더 일반적인 조건을 제시했다.

양의 표수 p를 갖는 체에서 론스키 행렬식은 선형 독립적인 다항식에 대해서도 0이 될 수 있다. 예를 들어, $x^p$와 1의 론스키 행렬식은 항등적으로 0이다.

3. 1. 선형 미분 방정식과의 관계

4. 일반화된 론스키 행렬식

generalized Wronskian|일반화된 론스키 행렬식^영어은 각 성분이 $D_i(f_j)$ (여기서 $0 \le i < n$)로 주어지는 $n \times n$ 행렬의 행렬식이다. 단, 각 $D_i$는 $i$차의 상수 계수 선형 편미분 연산자이다. 주어진 함수족이 선형 종속이면 일반화된 론스키 행렬식은 모두 0이 되지만, 일변수의 경우와 마찬가지로 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 즉, 모든 일반화된 론스키 행렬식이 0이라고 해서 그 함수들이 선형 종속인 것은 아니다. 하지만, 많은 특수한 경우에는 역이 성립한다. 예를 들어, 고려하는 함수족의 각 함수가 다항식이고, 그 모든 일반화된 론스키 행렬식이 0이면, 그 함수족은 선형 종속이다. 로스는 일반화된 론스키 행렬식에 관한 이 결과를 로스의 정리의 증명에 사용했다. 역이 성립하는 보다 일반적인 조건은 Wolsson (1989b)를 참조하라.

5. 역사

폴란드의 수학자 유제프 마리아 호에네브론스키(Józef Maria Hoene-Wroński^pl)가 1812년에 도입하였다.^[8] '론스키 행렬식'이라는 용어는 스코틀랜드의 수학자 토머스 뮤어(Thomas Muir^영어)가 1882년에 최초로 사용하였다.^[9]

참조

_[1] 서적 Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory Springer
_[2] 간행물 Peano on Wronskians: A Translation https://www.maa.org/[...] Mathematical Association of America 2011-04
_[3] 간행물 Peano on Wronskians: A Translation https://www.maa.org/[...] Mathematical Association of America 2011-04
_[4] 문서 正方行列
_[5] 문서 函数族 {{mvar|f_i}}
_[6] 문서 行列式
_[7] 서적 알기쉬운 선형대수 범한서적 2006
_[8] 서적 Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange 1812
_[9] 서적 A treatise on the theorie of determinants http://www.archive.o[...] Macmillan 1882