집합

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1. 개요

집합은 수학에서 사용되는 기본적인 개념으로, 명확하게 정의된 대상들의 모임이다. 집합은 원소 나열법, 조건 제시법, 오일러 다이어그램(벤 다이어그램)의 세 가지 방법으로 표현할 수 있다.

집합 연산에는 합집합, 교집합, 곱집합(데카르트 곱), 차집합, 여집합, 대칭차가 있으며, 이들은 다양한 항등식을 만족한다. 집합 간의 관계는 부분 집합 관계와 크기 비교(기수 비교)로 나타낼 수 있으며, 부분 집합은 집합의 모든 원소를 포함하는 집합을 의미하고, 크기 비교는 원소의 개수를 기준으로 한다. 특별한 집합으로는 공집합, 수의 집합(자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등), 집합족 등이 있다.

집합론은 19세기 말에 시작되어 칸토어에 의해 발전되었으며, 러셀의 역설과 같은 문제점을 해결하기 위해 공리적 집합론이 등장했다. 공리적 집합론은 집합의 개념을 기본 개념으로 간주하며, 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)과 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC) 등이 있다.

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집합론 - 퍼지 집합
퍼지 집합은 각 원소가 0과 1 사이의 소속도를 가지며, 소속 함수를 통해 정의되고, 여집합, 합집합, 교집합 등의 연산을 수행하며, 퍼지 논리, 퍼지 수, 엔트로피 등의 개념과 L-퍼지 집합, 직관적 퍼지 집합 등으로 확장된다.
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집합
개요
정의	수학에서, 집합이란 특정한 조건에 의해 그 대상이 분명히 구별되는 모임이다. 집합은 수학적 대상을 담는 그릇과 같다.
구성 요소	집합을 구성하는 개체를 원소라고 부른다.
특징	집합론은 수학의 여러 분야에서 기초적인 역할을 한다. 칸토어의 집합론은 러셀의 역설과 같은 역설을 포함하고 있었으나, 이후 공리적 집합론을 통해 이러한 문제점이 해결되었다.
집합의 표현
원소나열법	집합의 원소를 모두 나열하여 중괄호 안에 표기하는 방법이다. 예시: A = {1, 2, 3}
조건제시법	집합의 원소들이 만족하는 조건을 제시하여 집합을 정의하는 방법이다. 예시: B = {x \| x는 짝수}
집합의 종류
공집합	원소를 하나도 갖지 않는 집합이다. 기호: ∅
유한집합	원소의 개수가 유한한 집합이다.
무한집합	원소의 개수가 무한한 집합이다.
집합 연산
합집합	두 집합에 대해, 각 집합의 모든 원소를 포함하는 집합이다. 기호: A ∪ B
교집합	두 집합에 대해, 두 집합 모두에 속하는 원소들의 집합이다. 기호: A ∩ B
차집합	두 집합에 대해, 한 집합에는 속하지만 다른 집합에는 속하지 않는 원소들의 집합이다. 기호: A - B 또는 A B
여집합	전체집합에 대해, 특정 집합에 속하지 않는 원소들의 집합이다. 기호: Aᶜ 또는 A'
집합론의 역사
창시자	게오르크 칸토어
발전	칸토어에 의해 무한집합의 크기에 대한 연구가 이루어졌다. 에른스트 체르멜로, 아브라함 프렝켈 등에 의해 공리적 집합론이 정립되었다.
기타
관련 개념	관계 함수 명제 논리 술어 논리
주의사항	집합의 원소는 중복될 수 없다. 집합의 원소는 순서가 없다.

2. 표현

집합을 표현하는 방법에는 크게 세 가지가 있다.

원소 나열법: 집합에 속하는 모든 원소를 '{}' 안에 나열하는 방법이다. 예를 들어, 조커를 제외한 트럼프 카드의 수트 전체 집합은 {♠, ♦, ♣, ♥}와 같이 나타낼 수 있다. 원소의 수가 많거나 무한 집합일 경우 '...'를 사용하여 생략할 수 있다.
조건 제시법: 집합의 원소들이 만족해야 하는 조건을 제시하는 방법이다. '{''x'' | ''x''가 만족하는 조건}'과 같은 형태로 사용된다. 예를 들어, 10 미만의 양의 홀수 전체의 집합은 {''x'' | ''x''는 10 미만의 양의 홀수}와 같이 나타낼 수 있다.
벤 다이어그램: 집합을 원으로 표현하는 방법이다. 원의 안쪽은 집합에 속하는 원소, 바깥쪽은 속하지 않는 원소를 나타낸다. 여러 개의 원이 겹쳐지는 경우, 겹치는 부분은 교집합을 나타내고, 포함되는 원은 부분 집합을 나타낸다.

수학에서 집합은 보통 이탤릭체 대문자(''A'', ''B'', ''C'' 등)로, 원소는 소문자(''a'', ''b'', ''c'' 등)로 표기한다.^[5] 원소가 집합 자체인 경우 '모임' 또는 '족'이라고도 한다.

트럼프 카드 기호는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

트럼프의 기호
	A	2	3	4	5	6	7	8	9	10	J	Q	K
♠	(♠,A)	(♠,2)	(♠,3)	(♠,4)	(♠,5)	(♠,6)	(♠,7)	(♠,8)	(♠,9)	(♠,10)	(♠,J)	(♠,Q)	(♠,K)
♦	(♦,A)	(♦,2)	(♦,3)	(♦,4)	(♦,5)	(♦,6)	(♦,7)	(♦,8)	(♦,9)	(♦,10)	(♦,J)	(♦,Q)	(♦,K)
♣	(♣,A)	(♣,2)	(♣,3)	(♣,4)	(♣,5)	(♣,6)	(♣,7)	(♣,8)	(♣,9)	(♣,10)	(♣,J)	(♣,Q)	(♣,K)
♥	(♥,A)	(♥,2)	(♥,3)	(♥,4)	(♥,5)	(♥,6)	(♥,7)	(♥,8)	(♥,9)	(♥,10)	(♥,J)	(♥,Q)	(♥,K)

2. 1. 원소 나열법

'''원소 나열법'''은 집합의 모든 원소를 중괄호 {} 안에 쉼표(,)로 구분하여 나열하는 방법이다.^[7]^[8]^[9]^[10] 예를 들어 다음과 같다.

{1, 2, 3}
{흰색, 검은색}

원소가 많거나 무한 집합의 경우, 줄임표(...)를 사용하여 표현할 수 있다.^[14]^[15] 예를 들어 다음과 같다.

{1, 2, 3, ..., 100}은 1부터 100까지의 모든 자연수의 집합이다.
{2, 4, 6, 8, ...}은 모든 양의 짝수의 집합이다.

원소의 패턴이 명확하다면, 무한 집합은 목록 표기법으로 표시될 수 있으며, 목록의 끝이나 양쪽에 줄임표를 사용하여 목록이 영원히 계속됨을 나타낸다. 예를 들어, 음이 아닌 정수 집합과 모든 정수 집합은 다음과 같다.

{0, 1, 2, 3, 4, ...}
{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

집합의 원소들 사이에 눈에 띄는 규칙이 없을 경우, 원소 나열법으로 표현하기 힘들다. 또한, 모든 실수의 집합을 비롯한 비가산 집합은 이러한 표현이 불가능하다.

2. 2. 조건 제시법

조건 제시법은 집합의 원소들이 만족해야 하는 조건을 제시하여 집합을 표현하는 방법이다. 일반적으로 '{''x'' | ''x''가 만족하는 조건}' 형태로 사용된다.^[5]

예를 들어:

''n''이 1부터 5사이의 자연수인 집합은 '{''n'' | ''n''은 자연수, 1 ≤ ''n'' ≤ 5}' 로 표현한다.
''n''이 정수인 모든 짝수의 집합은 '{2''n'' | ''n''은 정수}'로 표현한다.

집합-구성 표기법은 원소에 대한 조건을 통해 결정되는 더 큰 집합에서 선택된 집합을 명시한다.^[16]^[17]^[18] 예를 들어, 집합 F는 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

F = \{n \mid n \text{은 정수이고, } 0 \leq n \leq 19\}.

이 표기법에서, 수직선 "|"은 "그러한"을 의미하며, "F는 n이 0에서 19까지의 범위에 있는 정수인 모든 수 n의 집합이다"로 해석될 수 있다. 일부 저자는 수직선 대신 콜론 ":"을 사용한다.^[19]

일반적으로, 조건 P(''x'')가 있을 때, 그것을 만족하는 대상'''만'''을 '''모두''' 모은 집합을,

:

\{x \mid P(x)\}

로 표기한다.

2. 3. 오일러 다이어그램(벤 다이어그램)

'''오일러 다이어그램'''은 집합을 나타내는 원을 그려 집합을 표현하는 방법이다. 어떤 원의 안쪽은 그 원이 나타내는 집합에 속하는 부분, 바깥쪽은 그 집합에 속하지 않는 부분을 의미한다. 두 원이 겹치는 부분은 두 집합에 공통으로 속하는 부분을 나타낸다. 어떤 원이 다른 원의 안쪽에 놓인다면, 첫째 집합이 둘째 집합의 부분 집합이라는 의미이다. 원이 서로 겹치는 두 집합은 공통 원소가 있는 집합을 의미하며, 원이 서로 겹치지 않는 두 집합은 공통 원소가 없는 서로소 집합을 의미한다.

네 집합의 오일러 다이어그램. 네 집합 모두에 속하는 부분이 없으므로, 벤 다이어그램이 아니다.

''A''는 ''B''의 부분 집합이다.
''B''는 ''A''의 상위 집합이다.

'''벤 다이어그램'''은 더 강한 조건을 만족시키는 오일러 다이어그램이다. 즉,

n

개의 원으로 이루어진 벤 다이어그램은 총

2^n

개의 영역으로 나뉘어야 한다. 예를 들어, 세 집합으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 8개의 영역으로 나뉘며, 이들은 각각 다음과 같다.

세 집합 모두에 속하는 영역
첫째 집합에만 속하지 않는 영역
둘째 집합에만 속하지 않는 영역
셋째 집합에만 속하지 않는 영역
첫째 집합에만 속하는 영역
둘째 집합에만 속하는 영역
셋째 집합에만 속하는 영역
세 집합 모두에 속하지 않는 영역

수학 교육에서, 벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 동의어로 쓰이기도 한다.

오일러 다이어그램은 집합들의 모임을 그래픽으로 표현한 것으로, 각 집합은 고리 안에 요소들을 포함하는 평면 영역으로 묘사된다. 만약 A가 B의 부분 집합이라면, A를 나타내는 영역은 B를 나타내는 영역 안에 완전히 포함된다. 두 집합이 공통된 요소를 갖지 않는다면, 영역들은 겹치지 않는다.

반면에, 벤 다이어그램은 n개의 루프가 평면을

2^n

개의 구역으로 나누는 n개 집합의 그래픽 표현이며, 이 구역들은 n개의 집합 중 일부(전부 또는 아무것도 선택하지 않을 수도 있음)를 선택하는 각 방법에 대해, 선택된 모든 집합에 속하고 다른 집합에는 속하지 않는 요소들을 위한 구역이 존재한다. 예를 들어, 집합이 A, B, C라면, A와 C 안에 있고 B 밖에 있는 요소들을 위한 구역이 있어야 한다(그러한 요소가 존재하지 않더라도).

3. 연산

둘 또는 더 많은 집합들로부터 새로운 집합을 만드는 여러 연산들이 있다.
포함-배제 원리는 두 유한 집합의 합집합의 원소의 개수를 두 집합과 그들의 교집합의 크기를 사용하여 세는 기법이다. 이는 다음과 같이 기호로 표현할 수 있다.

: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$

이 원리의 보다 일반적인 형태는 유한 집합들의 임의의 유한 합집합의 크기를 제공한다.

: $\begin{align}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup\ldots\cup A_{n}\right|=& \left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n}\right|\right) \\&{} - \left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots\left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right) \\&{} + \ldots \\&{} + \left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap\ldots\cap A_{n}\right|\right).\end{align}$

여러 개의 집합을 다룰 때, 원래 집합들로부터 새로운 집합을 만들어 관계를 조사하는 것은 유용한 방법이다. 이러한 연산들은 집합족에 관한 대수적 구조를 제공하며, 추상대수학의 개념을 적용할 수 있게 한다.

기본적인 집합 연산은 다음과 같다:

'''합집합''': 두 집합을 "붙여서" 하나로 묶어 새로운 집합을 만든다. 가법적인 집합족의 기본 연산이다.
'''교집합''': 두 집합의 공통된 부분을 찾아 새로운 집합을 만든다. 곱셈적인 집합족의 기본 연산이다.
'''차집합''': 두 집합 중 한 집합에 속하는 원소 중 다른 집합에도 포함되는 원소를 제거하여 새로운 집합을 만든다.
'''여집합''': 전체집합이 주어졌을 때, 한 집합을 전체 집합에서 뺀 나머지 집합이다.
'''대칭차집합''': 두 집합의 합집합에서 교집합을 뺀 집합이다.

지시 함수는 이러한 집합 연산을 0과 1로 이루어진 대수적인 연산으로 대체하는 방법을 제공한다.

:

A \harr \mathbf{1}_A(x):=\begin{cases}1&(x\in A)\\0&(x\notin A)\end{cases}.

집합 연산의 결과를 원래 집합 내에서 구하는 대신, 집합들을 바탕으로 새로운 집합을 만드는 연산도 있다.

'''멱집합''': 주어진 집합의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합이다.
'''데카르트 곱''': 두 집합의 원소들의 순서쌍을 원소로 하는 집합이다.
'''직합''': 두 집합의 교집합이 없는 합집합이다.
'''사상 공간''': 한 집합에서 다른 집합으로의 사상을 원소로 하는 집합이다.
'''몫집합''': 집합에 동치 관계를 부여했을 때, 각 동치류를 원소로 하는 집합이다.

3. 1. 합집합

일련의 집합들

A_i

(

i\in I

)이 주어졌다고 하자. 여기서

I

는 집합이며, 각

i\in I

는

A_i

를 식별하는 데 쓰이는 첨수이다.

집합들

A_i

(

i\in I

)의 '''합집합'''은 이들 가운데 적어도 하나에 속하는 원소의 집합이다. 합집합을 나타내는 기호는

\bigcup_{i\in I}A_i

이다.

:

\bigcup_{i\in I}A_i=\{x|\exists i\in I\colon x\in A_i\}

특히, 두 집합

A

와

B

의 합집합을 나타내는 기호는

A\cup B

이다.^[53]

:

A\cup B=\{x|x\in A\text{ or }x\in B\}

예를 들어, 모든 오각형의 집합과 모든 정다각형의 집합의 합집합은 정오각형이 아닌 오각형, 오각형이 아닌 정다각형, 그리고 정오각형으로 이루어진 집합이다. 또 다른 예로, 두 집합

:

A=\{1,2,7,15,23\}

:

B=\{2,15,16,27\}

의 합집합은

:

A\cup B=\{1,2,7,15,16,23,27\}

이다.

3. 2. 교집합

일련의 집합들

A_i

(

i\in I

)가 주어졌을 때, 이들 모두에 속하는 원소의 집합을 '''교집합'''이라고 한다. 교집합을 나타내는 기호는

\bigcap_{i\in I}A_i

이다.

:

\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I\colon x\in A_i\}

특히, 두 집합

A

와

B

의 교집합을 나타내는 기호는

A\cap B

이다.^[53]

:

A\cap B=\{x|x\in A\text{ and }x\in B\}

예를 들어, 모든 오각형의 집합과 모든 정다각형의 집합의 교집합은 모든 정오각형의 집합이다. 또한, 다음 두 집합

:

A=\{1,2,7,15,23\}

:

B=\{2,15,16,27\}

의 교집합은

:

A\cap B=\{2,15\}

이다.

3. 3. 곱집합(데카르트 곱)

두 집합 A와 B의 곱집합은 A의 원소 a와 B의 원소 b의 순서쌍 (a, b)들의 집합이다. 곱집합을 나타내는 기호는

A\times B

이다.^[53]

:

A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}

예를 들어, 두 집합

:

A=\{1,2,3\}

:

B=\{4,5,6\}

의 곱집합은

:

A\times B=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}

이다. 또한, 실수의 집합

\mathbb R

과 자기 자신의 곱집합은 2차원 유클리드 공간

:

\mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^2=\{(a,b)|a,b\in\mathbb R\}

이다. 이 집합과

\mathbb R

의 곱집합은 3차원 유클리드 공간

:

\mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^3=\{(a,b,c)|a,b,c\in\mathbb R\}

이다.

3. 4. 차집합

집합

A

와 집합

B

의 '''차집합'''은

A

에 속하지만

B

에는 속하지 않는 원소의 집합이다. 차집합을 나타내는 기호는

A\setminus B

나

A-B

이다.

:

A\setminus B=\{x|x\in A\text{ and }x\not\in B\}

예를 들어, 두 집합

:

A=\{1,2,7,15,23\}

:

B=\{2,15,16,27\}

의 차집합은

:

A\setminus B=\{1,7,23\}

이다.

만약

A

가

B

의 모든 원소를 포함한다면 (즉,

B

가

A

의 부분 집합이라면),

A

와

B

의 차집합을

B

의 '''여집합'''이라고 한다. 여집합을 나타내는 기호는

B^\operatorname C

나

\bar B

이다.

차집합은 한쪽 집합에 속하는 원소 중에서 다른 집합에도 동시에 포함되는 원소를 제거하여 새로운 집합을 만드는 연산이다. 이는 한쪽 집합과 다른 쪽 집합의 여집합과의 교집합으로 표현할 수 있다.

:

A\smallsetminus B := \{x\mid x\in A \land x\notin B\}.

3. 5. 여집합

전체 집합 ''U''가 주어졌을 때, ''U''에 대한 집합 ''A''의 여집합은 ''U''에는 속하지만 ''A''에는 속하지 않는 모든 원소들의 집합이다. 여집합은

A^\text{c}

또는

A'

로 표시할 수 있다. 집합-빌더 표기법으로,

A^{\text{c}} = \{a \in U : a \notin A \}

이다. 여집합은 상대 여집합과 구별하기 위해 "절대 여집합"이라고도 부를 수 있다. 예를 들어, 전체 집합을 정수의 집합으로 간주하면 짝수 정수의 집합의 여집합은 홀수 정수의 집합이다.

3. 6. 대칭차

두 집합의 합집합에 속하는 원소에서, 그 교집합에 속하는 원소를 제거하여 새로운 집합을 생각할 수 있다. 이것은 합집합에서 교집합을 뺀 차집합이며, 맺음과 마찬가지로 가법적인 연산이다.^[1]

:

A\,\triangle\,B := (A\smallsetminus B)\cup(B\smallsetminus A).

^[1]

3. 7. 집합 연산의 항등식

집합 연산에는 다음과 같은 항등식이 성립한다.^[50]

(드 모르간의 법칙) $X\setminus\bigcup_{i\in I}A_i=\bigcap_{i\in I}{}(X\setminus A_i)$
(드 모르간의 법칙) $X\setminus\bigcap_{i\in I}A_i=\bigcup_{i\in I}{}(X\setminus A_i)$

4. 관계

두 집합은 포함 관계와 크기 비교라는 두 가지 측면에서 비교할 수 있다.

포함 관계: 집합 A의 모든 원소가 집합 B에도 속할 때, A는 B의 부분 집합이라고 하며, "A는 B에 포함된다" 또는 "B는 A를 포함한다"라고 표현한다. A ⊆ B 또는 B ⊇ A로 표기한다.
귀속 관계: 어떤 대상 ''a''가 집합 ''A''를 구성하는 것 중 하나일 때, "''a''는 집합 ''A''에 속한다", "''a''는 집합 ''A''의 원소이다", "집합 ''A''는 ''a''를 원소로 가진다" 등으로 말하며, ''a'' ∈ ''A'' 또는 ''A'' ∋ ''a''로 나타낸다.

주의: 귀속 관계와 포함 관계는 서로 다른 개념이므로 혼동해서는 안 된다. 예를 들어, ''X'' ⊆ ''Y'' ⊆ ''Z''라면 반드시 ''X'' ⊆ ''Z''이지만, ''X'' ∈ ''Y'' ∈ ''Z''라고 해서 반드시 ''X'' ∈ ''Z''가 되는 것은 아니다.

크기 비교: 유한 집합의 경우, 원소의 개수를 세어 크기를 비교한다. 무한 집합의 경우에는 일대일 대응(전단사 함수)의 존재 여부를 통해 크기를 비교한다. 두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 두 집합의 크기는 같다.

4. 1. 부분 집합

집합 A의 모든 원소가 B에도 속하면, A는 B의 부분 집합이라고 하며, A ⊆ B 또는 B ⊇ A로 표기한다.^[25]^[26] A ⊆ B는 'A는 B에 포함된다'라고 읽으며, B ⊇ A는 'B는 A를 포함한다'라고 읽는다. ⊆로 설정된 집합 간의 관계를 포함 관계라고 한다.

예를 들어 모든 삼각형의 집합을 A, 모든 다각형의 집합을 B라고 하면, 모든 삼각형은 다각형이므로 A는 B의 부분 집합이다.

두 집합이 서로를 포함하면, 즉 A ⊆ B이고 B ⊆ A이면, A = B이다.^[17]

만약 A가 B의 부분 집합이지만, A와 B가 같지 않다면, A는 B의 진부분 집합이라고 하며, A ⊊ B로 표기한다. B ⊋ A는 'B가 A의 진상위 집합'임을 의미하며, B는 A를 포함하고 A와 같지 않다는 뜻이다.

⊂와 ⊃ 기호는 부분 집합(진부분 집합일 필요는 없음)을 의미하거나,^[20] 진부분 집합을 의미하는 경우^[25] 등 저자에 따라 다르게 사용된다.

공집합은 모든 집합의 부분 집합이며,^[8] 모든 집합은 자기 자신의 부분 집합이다.^[3]

집합 S의 멱집합은 S의 모든 부분 집합의 집합이다.^[17] 공집합과 S 자신은 S의 부분 집합이므로, 멱집합 S의 원소이다. 집합 S의 멱집합은 P(S) 또는 2^S로 표기한다.^[17]^[6]

예를 들어, {1, 2, 3}의 멱집합은 {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}이다.

만약 S가 n개의 원소를 가진다면, P(S)는 2ⁿ개의 원소를 가진다.^[20] 예를 들어 {1, 2, 3}은 3개의 원소를 가지고, 멱집합은 위에서 보듯이 2³ = 8개의 원소를 가진다.

만약 S가 무한 집합(가산 집합이든 비가산 집합이든)이라면, P(S)는 비가산 집합이다.

4. 2. 크기 비교 (기수)

두 집합의 크기(원소의 개수)를 비교하는 것을 기수 비교라고 한다. 유한 집합의 경우, 원소의 개수를 세어 크기를 비교한다. 예를 들어, 집합 A가 1부터 20까지의 자연수의 집합이고, 집합 B가 21부터 30까지의 자연수의 집합이라면, A의 원소 개수는 20, B의 원소 개수는 10이므로, A의 크기가 B의 크기보다 크다.

무한 집합의 경우, 일대일 대응(전단사 함수)의 존재 여부를 통해 크기를 비교한다. 만약 두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하면 두 집합의 크기가 같다고 한다. 예를 들어, 음이 아닌 정수의 집합과 짝수의 집합은 일대일 대응이 존재하므로 크기가 같다.

음이 아닌 짝수의 집합은 음이 아닌 정수의 집합의 진부분 집합이지만, 이 두 집합 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 따라서 이 두 집합의 크기는 같다.

만약 한 집합이 다른 집합의 진부분 집합과 크기가 같지만, 전체 집합과는 크기가 같지 않다면, 전자의 집합이 후자의 집합보다 크기가 작다고 한다.

집합의 크기는 기수로 나타낼 수 있으며, 집합

A

의 크기는

|A|

또는

\#A

로 표기한다. 집합

S

의 기수는

|S|

로 표기하며, 이는 집합

S

의 원소의 개수를 의미한다.^[28] 예를 들어,

B = \{

파랑, 흰색, 빨강

\}

이면,

|B| = 3

이다.

자연수의 집합

\mathbb{N}

은 무한 집합이며,^[17] 무한 집합은 ''무한 기수''를 가진다. 실수의 집합은 자연수의 집합보다 더 큰 기수를 갖는다.^[32]

\mathbb{N}

의 기수보다 작거나 같은 기수를 가진 집합을 가산 집합이라고 하며, 이는 유한 집합 또는 가산 무한 집합(

\mathbb{N}

과 같은 기수를 가진 집합)이다.

\mathbb{N}

의 기수보다 큰 기수를 가진 집합은 비가산 집합이라고 한다.

직선의 기수는 선분, 평면, 유한 차원 유클리드 공간의 기수와 같다.^[33]

5. 특별한 집합

수학에서는 특별한 의미를 갖는 집합들이 있다. 가장 대표적인 예는 공집합으로, 아무런 원소도 가지지 않는 집합을 의미하며, ∅ 기호로 표시한다.^[47] 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.^[50]

일상에서는 원소가 하나뿐인 집합을 집합으로 여기지 않는 경향이 있지만, 수학에서는 이 역시 집합으로 취급한다.

5. 1. 수의 집합

자연수 집합 (

\mathbb N

), 정수 집합 (

\mathbb Z

), 유리수 집합 (

\mathbb Q

), 실수 집합 (

\mathbb R

), 복소수 집합 (

\mathbb C

) 등은 수학에서 자주 사용되는 특별한 집합들이다.

$\mathbb N$ 은 모든 자연수의 집합이다. 문맥에 따라 0부터 시작할 수도 있고, 1부터 시작할 수도 있다.^[27]
$\mathbb Z$ 는 모든 정수의 집합이다.^[27]
$\mathbb Q$ 는 모든 유리수의 집합이다.^[27]
$\mathbb R$ 는 모든 실수의 집합이다.^[27]
$\mathbb C$ 는 모든 복소수의 집합이다.^[27]
$\mathbb H$ 는 모든 사원수의 집합이다.
$\mathbb O$ 는 모든 팔원수의 집합이다.
$\mathbb S$ 는 모든 십육원수의 집합이다.

위의 각 수 집합은 무한 집합이다.^[17] 무한 집합은 무한히 많은 원소를 가진 집합이다.

자연수 $\mathbb{N}$ 은 정수 $\mathbb{Z}$ 에 포함되고, 정수는 유리수 $\mathbb{Q}$ 에 포함되며, 유리수는 실수 $\mathbb{R}$ 에 포함되고, 실수는 복소수 $\mathbb{C}$ 에 포함된다.

5. 2. 집합족

집합을 원소로 갖는 집합을 집합족이라고 한다. 예를 들어, 집합 = {-1, -2, -3} 와 = {1, 2, 3} 가 있을 때,

:

는 집합족이다.^[17]

어떤 집합의 멱집합은 그 집합의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합족이다. 예를 들어, }의 멱집합은 }}}이다. 공집합과 원래 집합 자신도 멱집합의 원소가 된다.^[17] 집합 의 멱집합은 보통 또는 로 표기한다.^[6]

만약 가 개의 원소를 가진다면, 는 개의 원소를 가진다. 예를 들어, }는 세 개의 원소를 가지며, 멱집합은 개의 원소를 가진다.

만약 가 무한 집합(가산 집합이든 비가산 집합이든)이라면, 는 비가산 집합이다. 게다가, 멱집합은 항상 원래 집합보다 엄격하게 "크며", 의 원소와 의 원소를 짝 지으려는 시도는 의 몇몇 원소를 짝 지어지지 않은 상태로 남겨둘 것이다. 즉, 에서 로의 전단사 함수는 존재하지 않는다.^[36]

6. 집합론의 역사와 발전

베르나르트 볼차노는 그의 저서 ''무한의 역설''에서 집합을 뜻하는 독일어 단어 'Menge'를 만들었다.^[39]^[40]^[41] 게오르크 칸토어는 그의 저서 ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre''의 서두에서 집합을 다음과 같이 정의했다.^[42]^[43]

버트런드 러셀은 집합과 클래스를 구별했다. (집합은 클래스이지만, 모든 집합의 클래스와 같은 일부 클래스는 집합이 아니다. 러셀의 역설 참조)^[44]

집합을 구성하는 방법에 대한 제한이 없을 경우 발생하는 역설은 다음과 같다.

러셀의 역설: "자신을 ''포함하지 않는'' 모든 집합"의 집합은 존재할 수 없다.
칸토어의 역설: "모든 집합의 집합"은 존재할 수 없다.

직관적 집합론은 집합을 구별되는 원소들의 모든 ''잘 정의된'' 모임으로 정의했지만, "잘 정의된"이라는 용어의 모호성 때문에 문제가 발생했다.

참조

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