리오단 행렬

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1. 개요
2. Formal definition
- 2.1. Example
3. Properties
- 3.1. A-sequence
- 3.2. Z-sequence
참조

1. 개요

리오단 행렬은 형식적 멱급수 쌍을 통해 정의되는 무한 하삼각 행렬이다. 이 행렬은 멱급수 쌍 $(d(t), h(t))$ 에 의해 결정되며, 파스칼 행렬이 대표적인 예시이다. 리오단 행렬의 곱셈은 결합 법칙을 만족하며, 역원을 갖기 때문에 리오단 행렬의 집합은 군을 이룬다. 리오단 행렬은 A-시퀀스와 Z-시퀀스라는 두 가지 중요한 수열로 특성화된다.

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리오단 행렬

2. Formal definition

형식적 멱급수 $a(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots = \sum_{j\geq 0} a_j x^j \in \mathbb{C}x$ 는 $a_0 = \cdots = a_{r-1} = 0 \neq a_r$ 이면 차수 $r$ 을 갖는다고 한다. 여기서 $\mathbb{C}x$ 는 복소수 계수를 갖는 형식적 멱급수의 환이다. 차수 $r$ 의 형식적 멱급수 집합을 $\mathcal{F}_r$ 로 표기한다.

멱급수 $a(x)$ 는 $1/a(x)$ 가 멱급수일 경우에만 곱셈 역원을 가지며, 이는 차수가 0인 경우( $\mathcal{F}_0$ 에 속하는 경우)에만 해당한다. 또한, $\bar{a}(a(x)) = x$ 를 만족하는 멱급수 $\bar{a}$ 가 존재할 경우에만 합성 역원을 가지며, 이는 차수가 1인 경우( $\mathcal{F}_1$ 에 속하는 경우)에만 해당한다.^[1]

리오단 행렬은 일반적으로 멱급수 쌍 $(d(t), h(t)) \in \mathcal{F}_0 \times \mathcal{F}_1$ 를 통해 정의된다. "행렬"이라는 이름은 $(d(t), h(t))$ 에 $d_{n,k} := [t^n] d(t)h(t)^k, \quad n,k \in \mathbb{N}$ 로 정의된 복소수 행렬을 연관시키는 것에서 유래한다. 여기서 " $[t^n] \cdots$ "는 " $\cdots$ 에서 $t^n$ 의 계수"를 의미한다.

행렬의 열 $k$ 는 멱급수 $d(t)h(t)^k$ 의 계수 시퀀스로 구성되며, 열 0은 멱급수 $d(t)$ 에 의해 결정된다. $d(t)$ 는 차수가 0이므로 곱셈 역원을 가지며, 행렬의 열 1에서 $h(t)$ 를 $h(t) = d(t)^{-1} d(t)h(t)$ 로 복구할 수 있다. $h(t)$ 는 차수가 1이므로, $h(t)^k$ 는 차수가 $k$ 이고, $d(t)h(t)^k$ 도 마찬가지이다.

행렬 $d_{n,k}$ 는 하삼각 행렬이며, 주대각선에 기하 급수 $(d_{k,k})_{k\geq 0} = (d_0 h_1^k)_{k\geq 0}$ 를 나타낸다. 또한, 멱급수 쌍 $(d(t), h(t)) \in \mathcal{F}_0 \times \mathcal{F}_1$ 을 삼각형 행렬로 보내는 맵은 단사이다.^[1]

2. 1. Example

다음은 리오단 행렬의 예시이다.

두 멱급수로 주어지는

:

\left(\frac{1}{1-x}, \frac{x}{1-x}\right)=\left(\sum_{j\geq 0} x^j, \sum_{j\geq 0} x^{j+1}\right)\in \mathcal F_0\times \mathcal F_1

이 쌍이 이항 계수의 무한 삼각 배열

d_{n,k}=\binom{n}{k}

을 생성한다는 것은 어렵지 않게 증명할 수 있다. 이 배열은 파스칼 행렬이라고도 한다.

:

P=\left(\begin{array}{ccccccc}1 & & & & & &  \\1 &1 & & & & &  \\1 &2 &1 & & & &  \cdots \\1 &3 &3 &1 & & &  \\1 &4 &6 &4 &1 & & \\& & \vdots & & & &  \ddots\end{array}\right)

'''증명:'''

q(x)=\sum_{j\geq 0} q_j x^j

이 관련 계수 수열

(q_0,q_1,q_2, . . . )

를 갖는 멱급수이면, 멱급수의 코시 곱에 의해,

:

q(x)\frac{x}{1-x}=\sum_{j\geq 0} (0+q_0+q_1+ \cdots+q_{j-1})x^j

이다. 따라서 후자의 급수는 계수 수열

(0,q_0,q_0+q_1,q_0+q_1+q_2,. . . .)

를 가지며,

:

[t^n] q(x)\frac{x}{1-x}= q_0+\cdots+q_{n-1}

이다.

임의의

k\in \mathbb{Z}_{\geq 0}

을 고정한다.

q_n=\binom{n}{k}

이므로

(q_n)_{n\geq 0}

이 파스칼 배열의 열

k

를 나타낸다면,

:

\sum_{j= 0}^{n-1} q_j=  \sum_{j= 0}^{n-1} \binom{j}{k}=\binom{n}{k+1}

이다.

이 인수를 통해

k

에 대한 귀납법으로

\frac{1}{1-x}\left(\frac{x}{1-x}\right)^k

가 파스칼 배열의 열

k

를 계수 수열로 갖는다는 것을 알 수 있다.

3. Properties

리오단 행렬은 멱급수 쌍 $(d(t),h(t))\in \mathcal{F}_0 \times \mathcal{F}_1$ 로 정의된다. 여기서 $\mathcal{F}_r$ 은 차수가 $r$ 인 형식적 멱급수 집합을 의미한다. $d(t)$ 는 차수가 0이므로 곱셈 역원을 가지며, $h(t)$ 는 차수가 1이므로 합성 역원을 갖는다.

리오단 행렬의 곱셈은 $(a(x),b(x))$ 와 $(c(x),d(x))$ 가 리오단 행렬일 때, $(a(x) c(b(x)), d(b(x)) )$ 로 주어진다.^[1] 이는 형식적 멱급수의 곱셈 및 합성 연산과 관련된다.
정리: $(a(x),b(x))$ 와 $(c(x),d(x))$ 가 리오단 행렬이면, 이들의 곱은 $(a(x) c(b(x)), d(b(x)) )$ 로 표현되는 리오단 행렬이다.
증명: $a(x)$ 와 $c(x)$ 의 차수가 0이므로 $a(x) c(b(x))$ 의 차수는 0이다. 또한 $b(x), d(x) \in \mathcal{F}_1$ 이므로 $d(b(x)) \in \mathcal{F}_1$ 이다. 따라서 $(a(x) c(b(x)), d(b(x)))$ 는 리오단 행렬이다.

리오단 행렬 $(a(x),b(x))$ 의 $j$ 번째 열은 멱급수 $a(x)b(x)^j$ 의 계수 시퀀스이다. $(r_0,r_1,r_2, . . . )^T$ 를 멱급수 $r(x)$ 로 표시하면, $(a(x),b(x))*r(x) = a(x) r(b(x))$ 가 성립한다.

$(c(x),d(x))$ 가 또 다른 리오단 행렬일 때, 곱 $(a(x),b(x))(c(x),d(x))$ 의 $j$ 번째 열은 $a(x) c(b(x)) d(b(x))^j$ 에 해당한다.

리오단 행렬의 집합은 곱셈 연산에 대해 그룹을 형성하며, 이를 리오단 그룹이라고 한다.^[1]
정리: 리오단 행렬은 곱셈 연산 ' $*$ '에 대해 그룹을 형성한다.
증명: 곱셈 ' $*$ '의 결합성은 행렬 곱셈의 결합성에서 유도된다. $(1,x)$ 는 항등원이며, $(c(\bar d(x))^{-1}, \bar d(x))$ 는 $(c(x),d(x))$ 의 역원이다.

모든 가역 무한 하삼각 배열이 리오단 배열인 것은 아니다.

3. 1. A-sequence

무한 하삼각 배열

D=(d_{n,k})_{n,k\geq 0}

가 리오단 배열이 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같이 표현되는

A

-시퀀스

A=(a_0\neq 0,a_1, . . . )

가 존재하는 것이다.
증명

\Rightarrow:

D

를

(d(t),h(t))

에서 비롯된 리오단 배열이라고 가정하면,

d(t)\in \mathcal F_0

이므로

d_{0,0}\neq 0

이다.

h(t)

의 차수가 1이므로

(d(t)h(t)/t, h(t))

는 리오단 배열이며, 그룹 속성에 의해

(d(t),h(t))*(A(t),B(t))=(d(t)h(t)/t, h(t))

인 리오단 배열

(A(t),B(t))

가 존재한다. 좌변을 계산하면

(d(t)A(h(t)),B(h(t))

이 되고 비교하면

B(h(t))= h(t)

가 된다.

B(t)=t

는 이 방정식의 해이고,

B

는 합성 가역적이므로 고유하다. 따라서 방정식을

(d(t),h(t))*(A(t), t)=(d(t)h(t)/t, h(t))

로 다시 쓸 수 있다.

이제 행렬 곱셈 법칙에서 이 후자 방정식의 좌변의

n,k

항목은 다음과 같다.

반면에 위 방정식의 우변의

n,k

항목은

이므로 식이 성립한다.

*_1

에서

d_{n+1,n+1}=a_0 d_{n,n}

for all

n\geq 0

을 얻으며 대각선 요소가 0이 아님을 알고 있으므로

a_0\neq 0

을 갖는다.

방정식

*_1

을 사용하면

(d_{n,0})_{n\geq 0}

항목을 알고 모든 항목을 계산할 수 있다.

\Leftarrow :

어떤 시퀀스

(a_j)_{j\geq 0}

에 대한 방정식

*_1

을 삼각 배열에 대해 알고 있다고 가정한다. 해당 시퀀스의 생성 함수를

A(t)

라고 하고 방정식

tA(h(t))=h(t)

에서

h(t)

를 정의한다.

h

의 계수에 대한 결과 방정식을 풀 수 있는지 확인하면,

a_0\neq 0

이므로

h(t)

의 차수가 1임을 알 수 있다. 시퀀스

(d_{0,0},d_{1,0},d_{2,0},. . . )

의 생성 함수를

d(t)

라고 하면, 쌍

(d(t), h(t))

에 대해

(d(t),h(t))*(A(t),t)= (d(t)A(h(t)), h(t))= (d(t)h(t)/t, h(t))

을 찾는다. 이것은 증명의 첫 번째 부분에서 찾은 방정식과 동일하며, 그 추론을 통해

*_1

과 같은 방정식을 찾게 된다.

d(t)

(또는 해당 계수의 시퀀스)는 다른 항목을 결정하므로, 처음의 배열이 추론을 통해 만들어진 배열과 동일하다는 것을 알 수 있다. 따라서

*_1

의 배열은 리오단 배열이다.

3. 2. Z-sequence

Z-sequence^영어는 리오단 행렬을 정의하는 또 다른 방법으로 사용될 수 있다. 리오단 행렬에는 고유한 Z-sequence^영어가 존재하며, 이를 통해 리오단 행렬의 조건을 설명할 수 있다.

(d_{n,k})_{n,k\geq 0}

는 대각선 수열

(d_{n,n})_{n\geq 0}

에 0이 포함되지 않는 무한 하삼각 배열이라고 할 때, 다음과 같은 고유한 수열

Z=(z_0,z_1,z_2, . . .)

가 존재한다.

:

d_{n+1,0} =z_0 d_{n,0} + z_1 d_{n,1} + z_2 d_{n,2} + \cdots = \sum\limits_{j\geq 0} z_j d_{n,j}, \quad n=0,1,2,3, . . .

이 방정식은 배열의 삼각성에 따라

d_{n+1,0}= \sum_{j= 0}^n z_j d_{n,j}.

와 같다.

n=0,

인 경우 이 방정식은

d_{1,0}=z_0 d_{0,0}

이고

d_{0,0}\neq 0,

이므로

z_0

을 고유하게 계산할 수 있다. 일반적으로

z_0,z_1, . . ., z_{n-1}

가 알려진 경우,

d_{n+1,0}-\sum_{j=0}^{n-1} z_j d_{n,j} =z_n d_{n,n}

은

z_n

을 고유하게 계산할 수 있게 한다.^[5]

참조

_[1] 논문 The Riordan group 1991-11
_[2] 웹사이트 6th International Conference on Riordan Arrays and Related Topics http://www.tsimf.cn/[...]
_[3] 서적 The Umbral Calculus Academic Press 1984
_[4] 논문 Pascal triangles, Catalan numbers, and renewal arrays 1978
_[5] 논문 Sequence characterization of Riordan Arrays 2009

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