2. 정의
파스칼 행렬의 0이 아닌 요소는 이항 계수로 표시된다.
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여기서 인덱스 ''i'', ''j''는 0부터 시작하며, !는 계승을 나타낸다.
2. 1. 하삼각 파스칼 행렬
2. 2. 상삼각 파스칼 행렬
2. 3. 대칭 파스칼 행렬
3. 성질
대칭 파스칼 행렬(''S'')은 하삼각 파스칼 행렬(''L'')과 상삼각 파스칼 행렬(''U'')의 곱으로 표현된다. 즉, ''S''''n'' = ''L''''n''''U''''n''이다. 삼각 행렬의 행렬식은 대각선 요소들의 곱으로 계산되는데, ''Ln''과 ''U''''n'' 모두 대각선 요소가 1이므로, 세 행렬 모두 행렬식이 1인 단일 모듈이다. ''L''''n''과 ''U''''n''은 대각합이 ''n''이다.
''Sn''의 대각합은 다음과 같이 주어진다.
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처음 몇 개의 항은 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... 이다.
3. 1. 행렬 곱셈 관계
대칭 파스칼 행렬(''S'')은 하삼각 파스칼 행렬(''L'')과 상삼각 파스칼 행렬(''U'')의 곱으로 표현된다. 즉, ''S''''n'' = ''L''''n''''U''''n''이다. 삼각 행렬의 행렬식은 대각선 요소들의 곱으로 계산되는데, ''Ln''과 ''U''''n'' 모두 대각선 요소가 1이므로, 세 행렬 모두 행렬식이 1인 단일 모듈이다. ''L''''n''과 ''U''''n''은 대각합이 ''n''이다.
''Sn''의 대각합은 다음과 같이 주어진다.
:
처음 몇 개의 항은 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... 이다.
3. 2. 행렬식
행렬식의 값은 1이다. 이는 L과 U가 대각선 원소가 모두 1인 삼각행렬이기 때문이다. 삼각 행렬의 행렬식은 대각선 요소들의 곱으로 간단히 계산되며, ''Ln''과 ''U''''n'' 모두에서 이 값은 1이다. 즉, 행렬 ''S''''n'', ''L''''n'', ''U''''n''은 단일 모듈 행렬이다.
3. 3. 단일 모듈 행렬
''S''''n'', ''L''''n'', ''U''''n''은 모두 단일 모듈 행렬이다. 즉, 행렬식이 1인 정수 행렬이다. ''S''''n'' = ''L''''n''''U''''n'' 관계가 성립하며, 삼각 행렬의 행렬식은 대각선 요소들의 곱으로 계산되는데, ''Ln''과 ''U''''n'' 모두 대각선 요소가 1이므로 행렬식은 1이다. ''L''''n''과 ''U''''n''은 대각합이 ''n''이다.
''Sn''의 대각합은 다음과 같다.
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처음 몇 개의 항은 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... 이다.
3. 4. 대각합
대칭 파스칼 행렬 Sn의 대각합은 tr(Sn) = Σni=1 (2(i-1))! / ((i-1)!)2 = Σn-1k=0 (2k)! / (k!)2 로 주어지며, 이는 OEIS의 A006134 수열과 같다. 처음 몇 개 항은 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... 이다.
4. 구성
파스칼 행렬은 특수한 부대각 또는 상대각 행렬의 행렬 지수를 취하여 구성할 수 있다. 아래는 7 × 7 파스칼 행렬을 예시로 사용하지만, 이 방법은 모든 ''n'' × ''n'' 파스칼 행렬에 적용된다.
먼저, 다음과 같이 하삼각 파스칼 행렬(L7)을 구성한다.
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다음으로, 상삼각 파스칼 행렬(U7)을 구성한다.
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대칭 파스칼 행렬(S7)은 다음과 같이 L7과 U7의 곱으로 나타낼 수 있다.
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일반적으로 행렬 A와 B에 대해 exp(A)exp(B) = exp(A+B)가 성립하지 않으며, AB = BA (즉, 행렬 A와 B가 교환할 때)일 때만 성립한다. 따라서 대칭 파스칼 행렬을 구성할 때, 부대각 행렬과 상대각 행렬은 교환하지 않으므로 행렬의 합과 관련된 단순화는 수행할 수 없다.
구성에 사용되는 부대각 행렬과 상대각 행렬은 멱영 행렬이라는 유용한 속성을 가진다. 즉, 충분히 큰 정수 거듭제곱으로 올리면 영 행렬로 퇴화한다. ''n'' × ''n'' 일반화된 쉬프트 행렬은 거듭제곱 ''n''으로 올리면 0이 되므로, 행렬 지수를 계산할 때 무한 급수의 처음 ''n'' + 1개의 항만 고려하여 정확한 결과를 얻을 수 있다.
4. 1. 행렬 지수를 이용한 구성
파스칼 행렬은 특수한 부대각 또는 상대각 행렬의 행렬 지수를 취하여 구성할 수 있다. 아래는 7 × 7 파스칼 행렬을 예시로 사용하지만, 이 방법은 모든 ''n'' × ''n'' 파스칼 행렬에 적용된다.
먼저, 다음과 같이 하삼각 파스칼 행렬(L7)을 구성한다.
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다음으로, 상삼각 파스칼 행렬(U7)을 구성한다.
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대칭 파스칼 행렬(S7)은 다음과 같이 L7과 U7의 곱으로 나타낼 수 있다.
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일반적으로 행렬 A와 B에 대해 exp(A)exp(B) = exp(A+B)가 성립하지 않으며, AB = BA (즉, 행렬 A와 B가 교환할 때)일 때만 성립한다. 따라서 대칭 파스칼 행렬을 구성할 때, 부대각 행렬과 상대각 행렬은 교환하지 않으므로 행렬의 합과 관련된 단순화는 수행할 수 없다.
구성에 사용되는 부대각 행렬과 상대각 행렬은 멱영 행렬이라는 유용한 속성을 가진다. 즉, 충분히 큰 정수 거듭제곱으로 올리면 영 행렬로 퇴화한다. ''n'' × ''n'' 일반화된 쉬프트 행렬은 거듭제곱 ''n''으로 올리면 0이 되므로, 행렬 지수를 계산할 때 무한 급수의 처음 ''n'' + 1개의 항만 고려하여 정확한 결과를 얻을 수 있다.
4. 2. 멱영 행렬
파스칼 행렬은 특수한 부대각 또는 상대각 행렬의 행렬 지수를 취하여 구성할 수 있다. 구성에 사용되는 부대각 행렬과 상대각 행렬은 멱영 행렬이며, 충분히 큰 정수 거듭제곱으로 올리면 영 행렬이 된다. 이러한 성질은 쉬프트 행렬 개념을 통해 이해할 수 있다. ''n'' × ''n'' 일반화된 쉬프트 행렬은 거듭제곱 ''n''으로 올리면 0이 되므로, 행렬 지수를 계산할 때 무한 급수의 처음 ''n'' + 1개의 항만 고려해도 된다.
예를 들어 7 × 7 파스칼 행렬을 구성하는 방법은 다음과 같다.
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일반적으로 행렬 ''A''와 ''B''에 대해 exp(''A'') exp(''B'') = exp(''A'' + ''B'')가 성립하는 것은 ''AB'' = ''BA''일 때, 즉 교환할 때 뿐이다. 파스칼 행렬 구성에 사용되는 부대각 행렬과 상대각 행렬은 교환하지 않으므로, 행렬의 합과 관련된 단순화는 불가능하다.
5. 변형
파스칼 행렬의 다양한 변형은 행렬-로그를 수정하고 행렬 지수 함수를 적용하여 얻을 수 있다.
첫 번째 예제는 로그 행렬 값의 제곱을 사용하여 7 × 7 "라게르" 행렬(라게르 다항식의 계수 행렬)을 구성한다.
라게르 행렬은 다른 스케일링 및/또는 부호 교환 체계와 함께 사용된다.
두 번째 예제는 로그 행렬 값의 곱 ''v''(''v'' + 1)을 사용하고 7 × 7 "Lah" 행렬(Lah 수의 계수 행렬)을 구성한다.
''v''(''v'' − 1)을 대신 사용하면 대각선이 오른쪽 아래로 이동한다.
세 번째 예제는 원래 ''PL''7 행렬의 제곱을 2로 나눈 값을 사용한다. 즉, 두 번째 부대각선에 있는 1차 이항식(binomial(''k'', 2))을 사용하고 도함수와 가우스 오차 함수의 적분과 관련하여 나타나는 행렬을 구성한다.
이 행렬을 역행렬로 바꾸면(예를 들어, 음의 행렬-로그 사용) 이 행렬은 부호가 교대로 나타나며 가우스의 오차 함수의 도함수(및 확장된 적분)의 계수를 제공한다.
다른 변형은 원래 행렬을 음수 값으로 확장하여 얻을 수 있다.
5. 1. 라게르 행렬 (Laguerre Matrix)
흥미로운 변형은 행렬-로그 PL7을 명백하게 수정하고 행렬 지수 함수를 적용하여 얻을 수 있다.
첫 번째 예제는 로그 행렬 값의 제곱을 사용하여 7 × 7 "라게르" 행렬(라게르 다항식의 계수 행렬)을 구성한다.
```wikitable
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라게르 행렬은 다른 스케일링 및/또는 부호 교환 체계와 함께 사용된다.
두 번째 예제는 로그 행렬 값의 곱 ''v''(''v'' + 1)을 사용하고 7 × 7 "Lah" 행렬(Lah 수의 계수 행렬)을 구성한다.
```wikitable
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''v''(''v'' − 1)을 대신 사용하면 대각선이 오른쪽 아래로 이동한다.
세 번째 예제는 원래 ''PL''7 행렬의 제곱을 2로 나눈 값을 사용한다. 즉, 두 번째 부대각선에 있는 1차 이항식(binomial(''k'', 2))을 사용하고 도함수와 가우스 오차 함수의 적분과 관련하여 나타나는 행렬을 구성한다.
```wikitable
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이 행렬을 역행렬로 바꾸면(예를 들어, 음의 행렬-로그 사용) 이 행렬은 부호가 교대로 나타나며 가우스의 오차 함수의 도함수(및 확장된 적분)의 계수를 제공한다.
다른 변형은 원래 행렬을 음수 값으로 확장하여 얻을 수 있다.
```wikitable
5. 2. Lah 행렬
로그 행렬 값의 곱 ''v''(''v'' + 1)을 사용하여 구성되며, Lah 수의 계수 행렬과 관련이 있다.
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''v''(''v'' - 1)을 대신 사용하면 대각선이 오른쪽 아래로 이동한다.
5. 3. 가우스 오차 함수 관련 행렬
원래 ''PL''7 행렬의 제곱을 2로 나눈 값을 사용하여 구성된 행렬은 도함수와 가우스 오차 함수의 적분과 관련이 있다. 이 행렬은 다음과 같이 표현된다.
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이 행렬의 역행렬은 부호가 교대로 나타나는 가우스 오차 함수의 도함수(및 확장된 적분)의 계수를 제공한다.
5. 4. 음수 값으로 확장
원래 행렬은 행렬-로그 *PL*7을 수정하고 행렬 지수 함수를 적용하여 음수 값으로 확장될 수 있다. 이러한 변형의 예로는 라게르 다항식의 계수 행렬인 "라게르" 행렬, Lah 수의 계수 행렬인 "Lah" 행렬, 도함수와 가우스 오차 함수의 적분과 관련하여 나타나는 행렬 등이 있다. 다른 변형은 원래 행렬을 음수 값으로 확장하여 얻을 수 있다.
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