매듭 불변량
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1. 개요
매듭 불변량은 매듭을 분류하는 데 사용되는 수학적 불변량이다. 연환수는 두 고리의 얽힘 정도를 나타내는 불변량이며, 유한형 불변량은 매듭의 특이점을 분석하여 얻어진다. 막대수는 매듭을 직선 막대들로 표현할 때 필요한 최소 막대 개수를 의미한다.
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| 매듭 불변량 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 설명 | 매듭 이론에서, 매듭 불변량(영어: knot invariant)은 동등한 매듭에 대해 동일한 값을 갖는 매듭의 함수다. 예를 들어, 매듭 군은 매듭 불변량이다. |
| 예시 | 매듭 다이어그램에서 정의된 조합적 양으로, 두 매듭 다이어그램이 일부 매듭 불변량에 대해 다르면 다른 매듭을 나타내야 한다. 그러나 일반적으로 위상 불변량의 경우와 마찬가지로 두 매듭 다이어그램이 단일 매듭 불변량에 대해 동일한 값을 공유하더라도 매듭이 동일하다고 결론 내릴 수는 없다. |
| 화학 | 매듭 이론은 현대 화학에서 중요한 역할을 한다. |
| 추가 정보 | |
| 성질 | 임의의 매듭 에 대한 매듭 불변량은 함수 로 생각할 수 있다. 만약 와 }}}}가 동등한 매듭이면, φ()}}이다. |
| 활용 | 매듭 불변량은 주어진 매듭 를 구별하는 데 사용될 수 있다. |
| 관련 개념 | 변이(영어: Mutation)는 매듭의 불변성에 영향을 미치지 않을 수 있다. |
| 참고 | 어떤 매듭은 en과 같은 대수적 불변량에 의해 고유하게 결정된다. |
| 기호 | 매듭 의 불변량은 보통 와 같이 표기된다. 여기서 는 매듭 의 어떤 성질이다. |
| 관련 연구 | Waldhausen 정리(영어: Waldhausen theorem)는 충분히 큰 비가약 3차원 다양체에 대한 중요한 결과이다. |
| 관련 항목 | 밧줄 길이(영어: ropelength) |
2. 매듭 불변량
매듭 불변량은 주어진 매듭을 연속적으로 변형해도 변하지 않는 값으로, 두 매듭이 본질적으로 같은 매듭인지 판별하는 데 사용되는 중요한 도구이다. 매듭 불변량에는 연환수, 유한 유형 불변량(바실리예프 불변량 또는 바실리예프-구사로프 불변량), 막대수 등이 있다.
2. 1. 연환수
연환수(Linking number)는 두 개의 고리가 서로 어떻게 얽혀 있는지를 나타내는 불변량이다.2. 2. 유한형 불변량
유한형 불변량(Finite type invariant)은 바실리예프 불변량(Vassiliev invariant) 또는 바실리예프-구사로프 불변량(Vassiliev-Goussarov invariant)이라고도 불리며, 매듭의 특이점(singularities)을 분석하여 얻어지는 불변량이다.2. 3. 막대수
막대수는 매듭을 직선 막대들로 구성된 형태로 나타낼 때 필요한 최소 막대 개수이다.참조
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2018
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Springer Netherlands
2012
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Knots and Primes: An Introduction to Arithmetic Topology
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2011
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서적
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2018
[7]
간행물
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웹사이트
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https://carmamaths.o[...]
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[10]
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https://www.jstor.or[...]
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