카우프먼 다항식

2. 정의

카우프먼 다항식은 매듭 이론에서 다루는 중요한 다항식 위상 불변량 중 하나로, (방향이 없는) 연환 그림 $D$를 이용하여 정의된다. 이 다항식을 정의하기 위해서는 몇 가지 기본적인 규칙과 개념이 필요하다.

먼저, 가장 간단한 자명한 매듭 그림에 대한 값을 정의한다. 다음으로, 연환 그림의 교차점을 국소적으로 변형하는 규칙인 타래 관계를 사용한다. 마지막으로, 그림을 변형해도 연환의 위상적 성질이 변하지 않음을 나타내는 라이데마이스터 변형, 특히 Ⅰ종 변형에 대한 규칙을 적용한다.

이러한 규칙들을 통해 연환 그림 $D$에 대응하는 로랑 다항식 $L\_D(a,z)$를 계산할 수 있다. 하지만 $L\_D(a,z)$ 자체는 Ⅰ종 라이데마이스터 변형에 대해 불변이 아니므로, 연환의 완전한 불변량이 되지는 못한다. 이를 보완하기 위해 그림의 뒤틀림 수 $\backslash operatorname\{wr\}(D)$라는 값을 이용하여 $L\_D(a,z)$를 보정한다. 최종적으로 얻어지는 카우프먼 다항식 $F\_L(a,z)\; =\; a^\{-\backslash operatorname\{wr\}(D)\}\; L\_D(a,z)$는 연환 그림의 표현 방식에 관계없이 동일한 값을 가지는, 즉 연환 $L$ 자체의 불변량이 된다.

자세한 정의 과정과 계산 규칙은 하위 섹션에서 더 구체적으로 다룬다.

2. 1. 뒤틀림 수 (Writhe)

유향 연환 그림의 방향을 바꾸어도 양의 교차점은 그대로 양의 교차점으로 남으며, 음의 교차점도 마찬가지다. 따라서, (무향) 연환 그림에서도 양의 교차점 수와 음의 교차점 수를 정의할 수 있다.

연환 그림의 양의 교차점 수에서 음의 교차점 수를 뺀 값을 연환 그림의 '''뒤틀림'''(writhe|리드^영어)이라고 하며, 다음과 같이 표기한다.

:$\backslash operatorname\{wr\}(D)\backslash in\backslash mathbb\; Z$

2. 2. 카우프먼 다항식의 정의

• '''(A) 자명한 매듭''': 자명한 매듭 그림 $\backslash bigcirc$에 대해서는 $L\_\backslash bigcirc(a,z)=1$이다.
• '''(B) 타래 관계'''(skein relation^영어): 다음 네 가지 그림 $D\_+$, $D\_-$, $D\_0$, $D\_\backslash infty$ 사이에는 아래와 같은 관계가 성립한다.

::$L\_\{D\_+\}(a,z)-L\_\{D\_-\}(a,z)\; =\; z(L\_\{D\_0\}(a,z)\; -\; L\_\{D\_\backslash infty\}(a,z))$

• '''(C) Ⅰ종 라이데마이스터 변형''': 꼬임이 추가되거나 제거되는 Ⅰ종 라이데마이스터 변형에 대해서는 다음 관계가 성립한다.
• :

  

• :$D\_+\; \backslash leftrightarrow\; D\_0\; \backslash leftrightarrow\; D\_-$ (그림에서 양의 꼬임($D\_+$)과 음의 꼬임($D\_-$)은 평면 그림($D\_0$)과 변형 관계에 있음을 나타낸다.)
• :$a^\{\backslash pm1\; \}L\_\{D\_0\}(a,z)\; =\; L\_\{D\_\backslash pm\}(a,z)$ (즉, $L\_\{D\_+\}\; =\; a\; L\_\{D\_0\}$이고 $L\_\{D\_-\}\; =\; a^\{-1\}\; L\_\{D\_0\}$이다.)

4. 역사

루이스 카우프먼(Louis Hirsch Kauffman^eng, 1945~)이 1990년에 도입하였다.^[6]