연환수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 계산 알고리즘
- 2.2. 가우스 적분
3. 성질
4. 고차원 연환수
5. 기타 정의
- 5.1. 자이펠트 곡면을 이용한 정의
6. 응용
7. 일반화
8. 총 얽힘수
참조

1. 개요

연환수는 두 개의 유향 폐곡선으로 구성된 연환에서 한 곡선이 다른 곡선을 통과하는 부호를 가진 정수이다. 이는 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이며, 두 곡선이 서로를 통과하지 못하도록 하면서 공간상에서 연속적으로 변형될 수 있는 연결수를 결정한다. 연환수는 가우스 적분을 통해 해석적으로 계산할 수 있으며, 계산 알고리즘을 통해 연환 도표에서 쉽게 구할 수 있다. 연환수는 위상수학적 불변량이며, 두 곡선 중 하나의 방향을 반대로 하면 부호가 바뀐다. 연환수는 양자장론, 특히 U(1) 체른-사이먼스 게이지 이론에서 윌슨 루프 관측값의 기댓값을 계산하는 데 응용되며, 밀너 불변량으로 일반화될 수 있다.

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연환수
개요
정의	3차원 공간에서 두 닫힌 곡선의 얽힘을 나타내는 정수 값 불변량
성질	얽힘수는 방향이 주어진 두 개의 닫힌 곡선에 대해 정의되며, 곡선의 방향을 바꾸면 얽힘수의 부호가 바뀜
기호	Lk(K1, K2) a(K1, K2)
계산 방법
가우스 적분	얽힘수는 가우스 적분으로 계산 가능
공식	Lk(K1, K2) = (1/4π) ∮K1 ∮K2 (r1 - r2) / \|r1 - r2\|³ · (dr1 × dr2)
교차점 세기	다이어그램에서 교차점의 세기를 더하여 계산 가능
방향성	오른손 법칙 사용 양수 또는 음수 값 가짐
공식 (교차점)	Lk(K1, K2) = (양의 교차점 수 - 음의 교차점 수) / 2
예시
호프 링크	얽힘수는 ±1
화이트헤드 링크	얽힘수는 0
성질
불변량	동위 원소에 대한 불변량
대칭성	Lk(K1, K2) = Lk(K2, K1)
방향 반전	한 곡선의 방향을 반대로 하면 얽힘수의 부호가 바뀜
연결 합	Lk(K1, K2#K3) = Lk(K1, K2) + Lk(K1, K3)
응용
DNA 토폴로지	DNA 분자의 꼬임 연구
물리학	플라스마 물리학 초유체
수학	매듭 이론
관련 개념
매듭 이론	매듭과 얽힘을 연구하는 수학 분야
가우스 적분	얽힘수를 계산하는 데 사용되는 적분
알렉산더 다항식	매듭 불변량
존스 다항식	매듭 불변량

2. 정의

두 개의 성분으로 구성돼 있는 유향 연환(oriented link)을 생각하자. 이 경우, '''연환수'''는 한 폐곡선이 다른 폐곡선을 통과하는, 부호를 가진 정수이다. 그림으로 쉽게 설명할 수 있다.

이는 두 개의 성분을 가진 유향 연환의 유일한 위상수학적 불변량이다.

공간상의 두 개의 닫힌 곡선은 자기 자신을 통과하는 것은 허용되지만 서로를 통과할 수 없다면, 다음 표준 위치 중 정확히 하나로 이동될 수 있다. 이것은 연결수를 결정한다.

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각 곡선은 이 움직임 동안 자기 자신을 통과할 수 있지만, 두 곡선은 전체 과정에서 분리되어 있어야 한다. 이는 정규 호모토피로 공식화되며, 이는 각 곡선이 단순한 사상이 아닌 ''침입''일 것을 요구한다. 그러나 이 추가 조건은 연결수의 정의를 변경하지 않는다 (곡선이 항상 침입으로 요구되는지 여부는 중요하지 않다). 이는 ''h''-원리(호모토피-원리)의 한 예시로, 기하학이 위상수학으로 축소됨을 의미한다.

두 개의 유향 매듭 ''J'', ''K''로 구성된 꼬임 {''J'', ''K''}을 생각한다. 이에 대한 꼬임 수 Lk(''J'', ''K'')는 다음과 같이 정의된다.

꼬임 {''J'', ''K''}의 사영 그림의 교점 중, ''J''의 성분과 ''K''의 성분으로 이루어진 교점에 주목한다. 이러한 교점은 다음 중 하나이므로, 왼쪽 교점에 +1, 오른쪽 교점에 −1이라는 부호를 부여하고, 사영 그림 전체에서 이러한 부호의 총합을 2로 나눈 값을 꼬임 수 Lk(''J'', ''K'')로 정의한다. 두 성분으로 이루어진 꼬임에서는 서로 다른 성분으로 이루어진 교점의 개수가 짝수이므로, 꼬임 수는 정수 값을 갖는다.

60px

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또는, 꼬임 {''J'', ''K''}의 사영 그림의 교점 중, ''J''의 성분과 ''K''의 성분으로 이루어진 교점 중에서도, ''K''의 성분이 앞쪽에 있는 교점에만 주목하여, 이들에게 앞서와 마찬가지로 +1 또는 −1의 부호를 부여하고, 그 총합을 꼬임 수 Lk(''J'', ''K'')로 정의할 수도 있다. 이와 같이 정의해도 Lk(''J'', ''K'') = Lk(''K'', ''J'')가 성립한다^[5]。

2. 1. 계산 알고리즘

연환의 도표(link diagram^영어)가 주어지면, 다음과 같은 알고리즘으로 연환수를 쉽게 계산할 수 있다.

연환 도표에서 위와 같은 교차점들의 수를 각각

n_1

,

n_2

,

n_3

,

n_4

라고 하자. 그렇다면 연환수

\nu

는 다음과 같다.

:

\nu=n_1-n_4=n_2-n_3

매듭 이론의 매듭 도해에서 두 곡선의 연환수를 계산하는 알고리즘이 있다. 각 교차점에 오른손 법칙에 따라 '양' 또는 '음'의 레이블을 지정한다.^[1]

양의 교차점의 총 개수에서 음의 교차점의 총 개수를 뺀 값은 연환수의 ''두 배''와 같다.^[2] 즉,

:

\text{연환수}=\frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2}

여기서 ''n''₁, ''n''₂, ''n''₃, ''n''₄는 네 가지 유형의 각 교차점 수를 나타낸다. 두 합

n_1 + n_3\,\!

와

n_2 + n_4\,\!

는 항상 같다.^[2] 따라서 다음과 같은 대체 공식이 나온다.

:

\text{연환수} \,=\, n_1 - n_4 \,=\, n_2 - n_3.

공식

n_1-n_4

는 빨간색 곡선 아래로 파란색 곡선이 지나가는 경우만 포함하고,

n_2-n_3

는 위로 지나가는 경우만 포함한다.

2. 2. 가우스 적분

가우스 연환 적분(Gauss linking integral^영어)을 이용하여 연환수를 해석적으로 계산할 수 있다.^[6] 두 폐곡선에 임의의 매개변수를 주어

:

\mathbf u,\mathbf v\colon[0,2\pi]\to\mathbb R^3

:

\mathbf u(0)=\mathbf u(2\pi)

:

\mathbf v(0)=\mathbf v(2\pi)

으로 쓰자. 그렇다면

\mathbf u(s)

와

\mathbf v(t)

의 연환수

\nu(\mathbf u,\mathbf v)

는 다음과 같다.

:

\nu(\mathbf u,\mathbf v)=\frac1{4\pi}\oint_{\mathbf u}\oint_{\mathbf v}\frac{\mathbf u-\mathbf v}{\Vert\mathbf u-\mathbf v\Vert^3}\cdot(d\mathbf u\times d\mathbf v)

이는 가우스 사상(Gauss map)

\Gamma\colon\mathbb T^2\to\mathbb S^2

을 통해 유도할 수 있다.

:

\Gamma(s,t)=\frac{\mathbf u(s)-\mathbf v(t)}{\Vert\mathbf u(s)-\mathbf v(t)\Vert}

이는 원환면에서 구면으로 가는 연속함수이며, 그 브라우어르 차수가 연환수와 일치한다. 브라우어르 차수는 공역이 몇 번 감기는지를 세는 위상수학적 불변량인데, 이는 해석적으로 쉽게 계산할 수 있다. 즉, 함수를 정의역에 대하여 적분한 뒤, 이를 공역의 넓이로 나누면 된다. 여기서 (단위) 구면의 넓이는

4\pi

이므로 가우스 연환 적분 공식을 쉽게 유도할 수 있다.

구체적으로, 두 개의 서로 교차하지 않는 미분 가능한 곡선

\gamma_1, \gamma_2 \colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3

가 주어졌을 때, 가우스 사상

\Gamma

은 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}

이때, ''v''를 단위 구의 점이라고 하면, 링크를 ''v''에 수직인 평면에 직교 투영하면 링크 다이어그램을 얻는다. 가우스 사상 하에서 ''v''로 가는 점 (''s'', ''t'')은

\gamma_1

이

\gamma_2

위에 있는 링크 다이어그램의 교차점에 해당한다. 또한, 가우스 사상 하에서 (''s'', ''t'')의 근방은 교차점의 부호에 따라 방향을 보존하거나 반전시키면서 ''v''의 근방으로 사상된다. 따라서 ''v''에 해당하는 다이어그램의 연결 수를 계산하려면 가우스 사상이 ''v''를 커버하는 ''부호가 있는'' 횟수를 세는 것으로 충분하다. 이는 정확히 가우스 사상의 차수이다(즉, Γ의 상이 구를 커버하는 부호가 있는 횟수).

''γ''₁과 ''γ''₂의 연결 수에 대한 가우스 연결 적분은 다음과 같다.

:

\begin{align}\operatorname{link}(\gamma_1,\gamma_2)&= \frac{1}{4\pi} \oint_{\gamma_1} \oint_{\gamma_2} \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} \cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2) \\[4pt]&= \frac{1}{4\pi} \int_{S^1 \times S^1} \frac{\det\left(\dot\gamma_1(s), \dot\gamma_2(t), \gamma_1(s) - \gamma_2(t)\right)}{\left|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)\right|^3}\, ds\, dt\end{align}

이 적분은 가우스 사상의 상의 전체 부호가 있는 면적을 계산한 다음(피적분 함수는 Γ의 야코비이다) 구의 면적(4)으로 나눈다.

3. 성질

연환수는 위상수학적 불변량으로, 두 곡선을 연속적으로 변형(호모토피)해도 값이 변하지 않는다. 두 곡선 중 하나의 방향을 반대로 하면 연환수의 부호가 바뀌며, 키랄성을 가지며, 거울상을 취하면 부호가 바뀐다.

링크되지 않은 두 곡선은 연환수가 0이다. 그러나 연환수가 0인 두 곡선이 여전히 링크될 수 있는데, 예를 들어 화이트헤드 링크가 이에 해당한다.

두 곡선 중 하나의 방향을 반대로 하면 연환수가 반전되지만, 두 곡선의 방향을 모두 반대로 하면 연환수는 변경되지 않는다. 양의 연환수에 대한 규칙은 오른손 법칙을 기반으로 한다.

''x''-''y'' 평면에서 방향이 지정된 곡선의 회전수는 ''z'' 축과의 연환수와 같다(''z'' 축을 3-구의 닫힌 곡선으로 생각). 더 일반적으로, 두 곡선 중 하나가 단순하면, 보수의 첫 번째 호몰로지 군은 '''Z'''와 동형이다. 이 경우, 연환수는 다른 곡선의 호몰로지 클래스에 의해 결정된다.

물리학에서 연환수는 위상 양자수의 한 예이다.

꼬임수는 꼬임의 사영도에 관계없이 일정하다. 즉, 유향 꼬임으로서 불변량이 된다. 꼬임 중 한쪽 성분의 방향을 반전시키면 꼬임수의 부호가 반전되므로 꼬임수의 절댓값을 취하면 이는 (방향을 고려하지 않은) 꼬임의 불변량이 된다. 예를 들어 2성분 꼬임인 호프 꼬임의 꼬임수의 절댓값은 1이 되지만, 같은 2성분 꼬임인 화이트헤드 꼬임의 꼬임수의 절댓값은 0이므로, 이 두 꼬임은 동치가 아님을 알 수 있다.

분리 가능한 2성분 꼬임의 꼬임수는 0이 되지만, 그 역은 성립하지 않는다 (앞서 언급한 화이트헤드 꼬임이 반례가 된다).

4. 고차원 연환수

고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. (n₁+n₂+1)차원 다양체 M 속에 n₁차원 부분다양체 N₁⊂M과 n₂차원 부분다양체 N₂가 있다고 하자. 또한, N₁, N₂의 호몰로지류가 꼬임 부분군에 속한다고 가정하고, 양의 정수 k₁,k₂∈Z가 존재해 k₁[N₁]=0∈H_n1(M), k₂[N₂]=0∈H_n2(M)이라고 하면, 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 연환수는 가우스 사상 Γ:N₁×N₂→S^n₁+n₂의 브라우어르 차수이다.

이는 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)로도 정의 가능하다. 사슬 C₁, C₂를 정의하여 ∂C₁=k₁[N₁], ∂C₂=k₂[N₂]라고 하고, 푸앵카레 쌍대성을 사용해 [N₁]=[M]⌢α₁, [N₂]=[M]⌢α₂인 코호몰로지류 α_i∈H^n_i+1(M;Z)를 정의하면, 연환수는 ν([N₁],[N₂])=(k₁/C₁)⌢α₂=(-1)^(n₁+1)n₂(k₂/C₂)⌢α₁이다.

5. 기타 정의

5. 1. 자이펠트 곡면을 이용한 정의

한 성분의 경계를 이루는 방향을 갖는 곡면을 이용하여 연환수를 정의할 수 있다. 이러한 곡면을 자이펠트 곡면이라고 한다.^[7]

성분 ''J''에 대해, ''J''를 경계로 갖는 방향을 갖는 곡면을 ''S''라고 하자. 이때, ''J''의 방향에 맞춘 방향을 ''S''에 부여한다. 곡면 ''S''와 닫힌 곡선 ''K''의 교차를 고려하는데, ''K''가 ''S''에 접하는 점이 있는 경우에는 ''S''를 조금 이동시켜 해소한다. 이 상태에서, ''S''와 ''K''의 교차점으로 되어 있는 유한 개의 교점에서, ''K''의 접선 벡터의 방향과 그 점에서의 ''S''의 법선 벡터의 방향이 같은 쪽이면 +1, 반대쪽이면 -1로 부호를 정하고, 모든 교점에 대해 그 부호의 합을 Lk(''J'', ''K'')로 한다. 이는 곡면 ''S''의 선택에 의존하지 않는다.^[8]

이 외에도 사상도를 사용한 정의 등이 있다.

6. 응용

양자장론에서 연환수는 U(1) 체른-사이먼스 게이지 이론에서 윌슨 루프 관측값의 기댓값을 계산하는 데 사용된다.^[3] 3차원 다양체 $M$ 에 대한 게이지 포텐셜 1-형식 $A$ 에 대한 아벨 체른-사이먼스 작용은 다음과 같다.

: $S_{CS} = \frac{k}{4\pi} \int_M A \wedge dA$

$M = \mathbb{R}^3$ 에서 체른-사이먼스에 대한 파인만 경로 적분을 수행하면 다음과 같다.

: $Z[\gamma_1, \gamma_2] = \int \mathcal{D} A_\mu \exp \left( \frac{ik}{4\pi} \int d^3 x \varepsilon^{\lambda \mu \nu} A_\lambda \partial_\mu A_\nu + i \int_{\gamma_1} dx^\mu \, A_\mu + i \int_{\gamma_2} dx^\mu \, A_\mu \right)$

여기서 $\epsilon$ 은 반대칭 기호이다. 이 이론은 가우시안이므로 자외선 정규화 또는 재정규화가 필요하지 않다. 따라서 오른쪽의 위상 불변성은 경로 적분의 결과가 위상 불변량이 될 것임을 보장한다.^[3]

고전적인 운동 방정식은 다음과 같다.

: $\varepsilon^{\lambda \mu \nu} \partial_\mu A_\nu = \frac{2\pi}{k} J^\lambda$

여기서, 라그랑지안에서 $-J_\mu A^\mu$ 라는 항으로 체른-사이먼스 장을 소스에 결합했다. 3차원에서 운동 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.

: $\vec{\nabla} \times \vec{A} = \frac{2\pi}{k} \vec{J}$

양변에 회전을 취하고 로렌츠 게이지 $\partial^\mu A_\mu = 0$ 을 선택하면, 방정식은 다음과 같다.

: $\nabla^2 \vec{A} = - \frac{2\pi}{k} \vec{\nabla} \times \vec{J}$

이에 대한 해는 다음과 같다.

: $A_\lambda(\vec{x}) = \frac{1}{2k} \int d^3 \vec{y} \, \frac{\varepsilon_{\lambda \mu \nu} \partial^\mu J^\nu (\vec{y})}$

닫힌 루프에서 움직이는 두 입자를 설명하는 소스를 대입하면, 즉,

J = J_1 + J_2

,

:

J_i^\mu (x) = \int_{\gamma_i} dx_i^\mu \delta^3 (x - x_i (t))

경로 적분을 수행하면,

:

Z[\gamma_1, \gamma_2] = \exp{ \left( \frac{2\pi i}{k} \Phi[\gamma_1, \gamma_2] \right) }

여기서

:

\Phi[\gamma_1, \gamma_2] = \frac{1}{4\pi} \int_{\gamma_1} dx^\lambda \int_{\gamma_2} dy^\mu \, \frac{(x - y)^\nu}{|x - y|^3} \varepsilon_{\lambda \mu \nu},

는 가우스 연결 적분이다. 이는 경로 적분이 위상 불변량을 계산하는 위상 양자장론의 한 예시이다. 체른-사이먼스 이론은 에드워드 위튼에 의해 비 아벨 이론이 존스 다항식으로 알려진 불변량을 제공한다는 것이 밝혀졌다.^[3]

체른-사이먼스 게이지 이론은 3차원 시공간에 존재하며, 더 높은 차원의 위상 양자장론도 존재한다. 4차원 시공간에서는 이국적인 위상 양자장론의 링크 불변량에 의해 포착되는 4차원 게이지 이론의 더 복잡한 다중 루프/스트링-브레이딩 통계가 존재한다.^[4]

7. 일반화

밀너 불변량은 셋 이상의 성분을 가진 연환으로 연환수를 일반화한 것이다. 보로미안 고리는 세 개의 고리로 구성되어 있으며, 임의의 두 성분은 0의 연환수를 갖지만 전체는 얽혀 있는데, 밀너 불변량을 통해 이를 증명할 수 있다.

보로미안 고리는 세 고리로 구성되어 있지만, 임의의 두 고리는 서로 얽혀있지 않다.

닫힌 다양체가 3차원 유클리드 공간에서 얽혀 있을 수 있듯이, 차원이 각각 m과 n인 임의의 두 닫힌 다양체는 m+n+1 차원의 유클리드 공간에서 얽혀 있을 수 있다. 이러한 연환에는 관련된 가우스 사상이 있으며, 이의 차수는 연환수의 일반화이다.

임의의 프레임 매듭은 매듭 C의 점을 프레임 벡터를 따라 약간 이동하여 얻은 새 곡선과의 연환수를 계산하여 얻은 자기 연환수를 갖는다. 수직으로(칠판 프레이밍을 따라) 이동하여 얻은 자기 연환수는 '''카우프만의 자기 연환수'''로 알려져 있다.

대수적 위상수학에서 컵 곱은 연환수의 광범위한 대수적 일반화이며, 매시 곱은 밀너 불변량에 대한 대수적 유사체이다.

무방향 그래프의 링크 없는 임베딩은 모든 두 사이클이 0의 연환수를 갖도록 하는 3차원 공간으로의 임베딩이다. 링크 없는 임베딩을 갖는 그래프는 금지된 마이너 특성을 가지며, 이는 페테르센족 마이너가 없는 그래프이다.

8. 총 얽힘수

여러 개의 닫힌 곡선으로 구성된 연환의 경우, 각 곡선 쌍의 연환수를 모두 더하여 총 얽힘수를 계산할 수 있다.^[9] 즉, 성분 수 ''m''의 매듭 ''L''_''A''와 성분 수 ''n''의 매듭 ''L''_''B''에 대해, ''L''_''A''의 성분을 ''K''_''A''1, ''K''_''A''2, ... , ''K''_''Am'', ''L''_''B''의 성분을 ''K''_''B''1, ''K''_''B''2, ... , ''K''_''Bn''으로 했을 때, 이 매듭들 사이의 얽힘수는 다음과 같이 정의된다.

: $\text{Lk}(L_A , L_B) = \sum_{1 \le i \le m \atop 1 \le j \le n} \text{Lk}(K_{Ai}, K_{Bj})$

성분 수 ''n''의 유향 고리 매듭 ''L''의 성분을 ''K''₁, ''K''₂, ... , ''K''_''n''라고 할 때, Lk(''L'') = $\sum_{1 \le i < j \le n} \text{Lk}(K_{i} , K_{j})$ 로 정의되는 값을 ''L''의 '''전체 꼬임수''' (total linking number^영어) 또는 '''총 꼬임수'''라고 하며, 이 값은 유향 고리 매듭의 불변량이다. 완전 분리 가능한 고리 매듭의 총 꼬임수는 0이 된다.

참조

_[1] 문서 This is the same labeling used to compute the writhe of a knot, though in this case we only label crossings that involve both curves of the link.
_[2] 문서 This follows from the Jordan curve theorem if either curve is simple. For example, if the blue curve is simple, then n1 + n3 and n2 + n4 represent the number of times that the red curve crosses in and out of the region bounded by the blue curve.
_[3] 논문 Quantum field theory and the Jones polynomial https://projecteucli[...]
_[4] 논문 Braiding Statistics and Link Invariants of Bosonic/Fermionic Topological Quantum Matter in 2+1 and 3+1 dimensions 2017-09
_[5] 서적 Knots, Links, Braids and 3-Manifolds
_[6] 웹사이트 結び目の数学 http://mathsoc.jp/pu[...]
_[7] 문서 このような曲面は常に存在する。ザイフェルト曲面を参照。
_[8] 서적 電磁場とベクトル解析岩波書店
_[9] 서적 結び目理論入門

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