연환수

3. 성질

연환수는 위상수학적 불변량으로, 두 곡선을 연속적으로 변형(호모토피)해도 값이 변하지 않는다. 두 곡선 중 하나의 방향을 반대로 하면 연환수의 부호가 바뀌며, 키랄성을 가지며, 거울상을 취하면 부호가 바뀐다.

링크되지 않은 두 곡선은 연환수가 0이다. 그러나 연환수가 0인 두 곡선이 여전히 링크될 수 있는데, 예를 들어 화이트헤드 링크가 이에 해당한다.

양의 연환수에 대한 규칙은 오른손 법칙을 기반으로 한다.

x-y 평면에서 방향이 지정된 곡선의 회전수는 z 축과의 연환수와 같다(z 축을 3-구의 닫힌 곡선으로 생각). 더 일반적으로, 두 곡선 중 하나가 단순하면, 보수의 첫 번째 호몰로지 군은 Z와 동형이다. 이 경우, 연환수는 다른 곡선의 호몰로지 클래스에 의해 결정된다.

물리학에서 연환수는 위상 양자수의 한 예이다.

꼬임수는 꼬임의 사영도에 관계없이 일정하다. 즉, 유향 꼬임으로서 불변량이 된다. 꼬임 중 한쪽 성분의 방향을 반전시키면 꼬임수의 부호가 반전되므로 꼬임수의 절댓값을 취하면 이는 (방향을 고려하지 않은) 꼬임의 불변량이 된다. 예를 들어 2성분 꼬임인 호프 꼬임의 꼬임수의 절댓값은 1이 되지만, 같은 2성분 꼬임인 화이트헤드 꼬임의 꼬임수의 절댓값은 0이므로, 이 두 꼬임은 동치가 아님을 알 수 있다.

분리 가능한 2성분 꼬임의 꼬임수는 0이 되지만, 그 역은 성립하지 않는다 (앞서 언급한 화이트헤드 꼬임이 반례가 된다).

4. 고차원 연환수

고차원에서도 연환수를 정의할 수 있다. (n₁+n₂+1)차원 다양체 M 속에 n₁차원 부분다양체 N₁⊂M과 n₂차원 부분다양체 N₂가 있다고 하자. 또한, N₁, N₂의 호몰로지류가 꼬임 부분군에 속한다고 가정하고, 양의 정수 k₁,k₂∈Z가 존재해 k₁[N₁]=0∈H_n1(M), k₂[N₂]=0∈H_n2(M)이라고 하면, 이들 사이의 연환수를 정의할 수 있다. 이 경우, 연환수는 가우스 사상 Γ:N₁×N₂→S^n₁+n₂의 브라우어르 차수이다.

이는 두 호몰로지류의 교차수(intersection number)로도 정의 가능하다. 사슬 C₁, C₂를 정의하여 ∂C₁=k₁[N₁], ∂C₂=k₂[N₂]라고 하고, 푸앵카레 쌍대성을 사용해 [N₁]=[M]⌢α₁, [N₂]=[M]⌢α₂인 코호몰로지류 α_i∈H^n_i+1(M;Z)를 정의하면, 연환수는 ν([N₁],[N₂])=(k₁/C₁)⌢α₂=(-1)^(n₁+1)n₂(k₂/C₂)⌢α₁이다.

5. 기타 정의

5.1. 자이펠트 곡면을 이용한 정의

한 성분의 경계를 이루는 방향을 갖는 곡면을 이용하여 연환수를 정의할 수 있다. 이러한 곡면을 자이펠트 곡면이라고 한다.

성분 J에 대해, J를 경계로 갖는 방향을 갖는 곡면을 S라고 하자. 이때, J의 방향에 맞춘 방향을 S에 부여한다. 곡면 S와 닫힌 곡선 K의 교차를 고려하는데, K가 S에 접하는 점이 있는 경우에는 S를 조금 이동시켜 해소한다. 이 상태에서, S와 K의 교차점으로 되어 있는 유한 개의 교점에서, K의 접선 벡터의 방향과 그 점에서의 S의 법선 벡터의 방향이 같은 쪽이면 +1, 반대쪽이면 -1로 부호를 정하고, 모든 교점에 대해 그 부호의 합을 Lk(J, K)로 한다. 이는 곡면 S의 선택에 의존하지 않는다.

이 외에도 사상도를 사용한 정의 등이 있다.

6. 응용

양자장론에서 연환수는 U(1) 체른-사이먼스 게이지 이론에서 윌슨 루프 관측값의 기댓값을 계산하는 데 사용된다. 3차원 다양체 $M$에 대한 게이지 포텐셜 1-형식 $A$에 대한 아벨 체른-사이먼스 작용은 다음과 같다.

:$S\_\{CS\}\; =\; \backslash frac\{k\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\_M\; A\; \backslash wedge\; dA$

$M\; =\; \backslash mathbb\{R\}^3$에서 체른-사이먼스에 대한 파인만 경로 적분을 수행하면 다음과 같다.

:$Z[\backslash gamma\_1,\; \backslash gamma\_2]\; =\; \backslash int\; \backslash mathcal\{D\}\; A\_\backslash mu\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{ik\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\; d^3\; x\; \backslash varepsilon^\{\backslash lambda\; \backslash mu\; \backslash nu\}\; A\_\backslash lambda\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; +\; i\; \backslash int\_\{\backslash gamma\_1\}\; dx^\backslash mu\; \backslash ,\; A\_\backslash mu\; +\; i\; \backslash int\_\{\backslash gamma\_2\}\; dx^\backslash mu\; \backslash ,\; A\_\backslash mu\; \backslash right)$

여기서 $\backslash epsilon$은 반대칭 기호이다. 이 이론은 가우시안이므로 자외선 정규화 또는 재정규화가 필요하지 않다. 따라서 오른쪽의 위상 불변성은 경로 적분의 결과가 위상 불변량이 될 것임을 보장한다.

고전적인 운동 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash varepsilon^\{\backslash lambda\; \backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash partial\_\backslash mu\; A\_\backslash nu\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{k\}\; J^\backslash lambda$

여기서, 라그랑지안에서 $-J\_\backslash mu\; A^\backslash mu$라는 항으로 체른-사이먼스 장을 소스에 결합했다. 3차원에서 운동 방정식을 다시 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash times\; \backslash vec\{A\}\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{k\}\; \backslash vec\{J\}$

양변에 회전을 취하고 로렌츠 게이지 $\backslash partial^\backslash mu\; A\_\backslash mu\; =\; 0$을 선택하면, 방정식은 다음과 같다.

:$\backslash nabla^2\; \backslash vec\{A\}\; =\; -\; \backslash frac\{2\backslash pi\}\{k\}\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash times\; \backslash vec\{J\}$

이에 대한 해는 다음과 같다.

:$A\_\backslash lambda(\backslash vec\{x\})\; =\; \backslash frac\{1\}\{2k\}\; \backslash int\; d^3\; \backslash vec\{y\}\; \backslash ,\; \backslash frac\{\backslash varepsilon\_\{\backslash lambda\; \backslash mu\; \backslash nu\}\; \backslash partial^\backslash mu\; J^\backslash nu\; (\backslash vec\{y\})\}$