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무어 공간 (대수적 위상수학)

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목차

1. 개요

무어 공간은 주어진 아벨 군 G와 양의 정수 n에 대해 특정 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다. 피터슨 공간은 주어진 아벨 군 G와 양의 정수 n에 대해 특정 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다. 무어 공간 M(G, n)은 G가 유한 생성 아벨 군일 경우 항상 만들 수 있다. n ≥ 2이고 G가 유한 생성 아벨 군일 경우 피터슨 공간 P(G, n)은 항상 존재하며, n ≥ 3인 경우 호모토피 유형은 (G, n)에 의해 유일하게 결정된다. 무어 공간은 존 콜먼 무어가 1954년에 언급했으며, 프랭클린 폴 피터슨은 1956년에 코호모토피 군을 연구하기 위해 이를 사용했다.

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무어 공간 (대수적 위상수학)

2. 정의

아벨 군 G와 양의 정수 n \ge 1에 대하여 무어 공간 M(G, n)은 다음과 같은 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

:\tilde H_k(M(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne n\end{cases}

다른 정의로는, 아벨 군 ''G''와 정수 ''n'' ≥ 1이 주어졌을 때, ''X''를 다음과 같은 CW 복합체라고 하자.

:H_n(X) \cong G

그리고

:\tilde{H}_i(X) \cong 0

''i'' ≠ ''n''에 대해, 여기서 H_n(X)는 ''X''의 ''n''번째 특이 호몰로지 군을 나타내고, \tilde{H}_i(X)는 ''i''번째 축소 호몰로지 군을 나타낸다. 그러면 ''X''는 '''무어 공간'''이라고 한다. 문헌에 따라 ''n''>1일 경우 ''X''가 단순 연결 공간이어야 한다는 조건이 추가되기도 한다.

또한, 아벨 군 G와 양의 정수 n \ge 1에 대하여 피터슨 공간 P(G, n)은 다음과 같은 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

:\tilde H^k(P(G,n))=\begin{cases}G&k=n\\0&k\ne n\end{cases}

피터슨 공간의 경우에도 문헌에 따라 단순 연결 공간이라는 조건이 추가되기도 한다.

3. 성질

(내용 없음)

3. 1. 존재성

G가 유한 생성 아벨 군일 경우 무어 공간 M(G, n)은 항상 존재한다.[1]

피터슨 공간은 모든 (G,n)에 대해서 항상 존재하지는 않는다. 하지만 만약 G가 유한 생성 아벨 군이며 n\ge2라면 피터슨 공간 P(G, n)은 항상 존재하며, 추가로 n\ge3이라면 그 호모토피 유형은 (G,n)에 의하여 유일하게 결정된다.[2]

4. 예시


  • n\geq 1인 경우, n차원 구 S^n은 정수군 \mathbb{Z}에 대한 무어 공간 M(\mathbb{Z}, n)이다. 이는 M(\mathbb{Z}, n) \cong S^n으로 표현할 수 있다.
  • 실수 사영 평면 \mathbb{RP}^2는 n=1일 때, 크기가 2인 순환군 \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}에 대한 무어 공간 M(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1)이다. 이는 M(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, 1) \cong \mathbb{RP}^2으로 표현할 수 있다.

5. 역사

무어 공간은 1954년 존 콜먼 무어가 언급하였다.[3]

1956년 프랭클린 폴 피터슨은 계수가 있는 코호모토피 군을 연구하기 위해 무어 공간을 이용했다.[4]

참조

[1] 서적 Algebraic topology http://www.math.corn[...] Cambridge University Press 2002
[2] 저널 Homotopy groups with coefficients http://www.math.roch[...] 2010-12
[3] 저널 On Homotopy Groups of Spaces with a Single Non-Vanishing Homology Group https://www.jstor.or[...] 1953-03-31
[4] 저널 Generalized Cohomotopy Groups https://www.jstor.or[...] 1956-04


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