무어 공간 (대수적 위상수학)

1. 개요

무어 공간은 주어진 아벨 군 G와 양의 정수 n에 대해 특정 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다. 피터슨 공간은 주어진 아벨 군 G와 양의 정수 n에 대해 특정 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다. 무어 공간 M(G, n)은 G가 유한 생성 아벨 군일 경우 항상 만들 수 있다. n ≥ 2이고 G가 유한 생성 아벨 군일 경우 피터슨 공간 P(G, n)은 항상 존재하며, n ≥ 3인 경우 호모토피 유형은 (G, n)에 의해 유일하게 결정된다. 무어 공간은 존 콜먼 무어가 1954년에 언급했으며, 프랭클린 폴 피터슨은 1956년에 코호모토피 군을 연구하기 위해 이를 사용했다.

2. 정의

아벨 군 $G$와 양의 정수 $n\; \backslash ge\; 1$에 대하여 무어 공간 $M(G,\; n)$은 다음과 같은 축소 호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

:

다른 정의로는, 아벨 군 G와 정수 n ≥ 1이 주어졌을 때, X를 다음과 같은 CW 복합체라고 하자.

:$H\_n(X)\; \backslash cong\; G$

그리고

:$\backslash tilde\{H\}\_i(X)\; \backslash cong\; 0$

i ≠ n에 대해, 여기서 $H\_n(X)$는 X의 n번째 특이 호몰로지 군을 나타내고, $\backslash tilde\{H\}\_i(X)$는 i번째 축소 호몰로지 군을 나타낸다. 그러면 X는 무어 공간이라고 한다. 문헌에 따라 n>1일 경우 X가 단순 연결 공간이어야 한다는 조건이 추가되기도 한다.

또한, 아벨 군 $G$와 양의 정수 $n\; \backslash ge\; 1$에 대하여 피터슨 공간 $P(G,\; n)$은 다음과 같은 축소 코호몰로지 군을 갖는 위상 공간이다.

:

피터슨 공간의 경우에도 문헌에 따라 단순 연결 공간이라는 조건이 추가되기도 한다.

3. 성질

(내용 없음)

3.1. 존재성

$G$가 유한 생성 아벨 군일 경우 무어 공간 $M(G,\; n)$은 항상 존재한다.

피터슨 공간은 모든 $(G,n)$에 대해서 항상 존재하지는 않는다. 하지만 만약 $G$가 유한 생성 아벨 군이며 $n\backslash ge2$라면 피터슨 공간 $P(G,\; n)$은 항상 존재하며, 추가로 $n\backslash ge3$이라면 그 호모토피 유형은 $(G,n)$에 의하여 유일하게 결정된다.

4. 예시

* $n\backslash geq\; 1$인 경우, n차원 구 $S^n$은 정수군 $\backslash mathbb\{Z\}$에 대한 무어 공간 $M(\backslash mathbb\{Z\},\; n)$이다. 이는 $M(\backslash mathbb\{Z\},\; n)\; \backslash cong\; S^n$으로 표현할 수 있다.
* 실수 사영 평면 $\backslash mathbb\{RP\}^2$는 $n=1$일 때, 크기가 2인 순환군 $\backslash mathbb\{Z\}/2\backslash mathbb\{Z\}$에 대한 무어 공간 $M(\backslash mathbb\{Z\}/2\backslash mathbb\{Z\},\; 1)$이다. 이는 $M(\backslash mathbb\{Z\}/2\backslash mathbb\{Z\},\; 1)\; \backslash cong\; \backslash mathbb\{RP\}^2$으로 표현할 수 있다.

5. 역사

무어 공간은 1954년 존 콜먼 무어가 언급하였다.
1956년 프랭클린 폴 피터슨은 계수가 있는 코호모토피 군을 연구하기 위해 무어 공간을 이용했다.