문맥 자유 문법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성 요소
- 2.2. 표기법
3. 역사
- 3.1. 촘스키의 형식 문법 연구
- 3.2. 프로그래밍 언어에의 응용
4. 관련 파서
- 4.1. LL 파서
- 4.2. LR 파서
5. 정규 문법과의 관계
6. 확장
- 6.1. 인수 추가
- 6.2. 좌변 확장
7. 결정 가능성과 불가능성
- 7.1. 결정 가능 문제
- 7.2. 결정 불가능 문제
8. 한계
참조

1. 개요

문맥 자유 문법은 4-튜플로 정의되며, 프로그래밍 언어와 자연어의 구조를 설명하는 데 사용되는 형식 문법의 한 종류이다. 비단말 기호, 단말 기호, 생성 규칙, 시작 기호로 구성되며, 촘스키의 형식 문법 연구를 통해 발전했다. 문맥 자유 문법은 정규 문법보다 표현력이 높지만, 모든 문맥 자유 문법이 정규 문법인 것은 아니다. 문맥 자유 문법은 파싱 문제와 같은 결정 가능한 문제와, 언어의 보편성 문제, 등가성 문제 등과 같은 결정 불가능한 문제를 가지고 있다. 다양한 확장 방법이 연구되었지만, 자연어의 교차 종속성과 같은 일부 현상을 표현하는 데 한계가 있다.

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문맥 자유 문법

2. 정의

문맥 자유 문법은 노엄 촘스키가 형식 언어를 분류하면서 연구되었으며, 촘스키 위계에서 확인할 수 있다.^[20] 이는 언어학에서 전통적으로 자연어 문법을 형식적으로 기술해온 방법(파니니 등)을 따르며, 중첩을 자연스럽게 파악하고 형식적인 기법을 사용할 수 있다는 장점이 있다. 반면, 일치나 참조와 같은 자연어 문법의 중요한 기능은 제대로 나타낼 수 없다는 단점도 있다.^[20]

문맥 자유 문법은 프로그래밍 언어 ALGOL의 구문 사양을 바쿠스-나우르 표기법 형태로 나타내는 데 채택되었고, 이후 컴퓨터 과학 전반에 응용되고 있다. 흔히 "문맥 자유 문법은 대부분의 프로그래밍 언어 문법을 기술할 수 있을 만큼 강력하며, 많은 프로그래밍 언어가 문맥 자유 문법으로 구문 사양을 정의한다"는 말이 있지만, 이는 오해이다. 실제로는 yacc로 정의되어도 순수 구문으로는 정의할 수 없는 부분을 의미 규칙으로 보충하는 것이 일반적이다.

문맥 자유 문법은 효율적인 구문 분석 알고리즘을 적용할 수 있을 만큼 단순하다. 예를 들어, 특정 문자열이 문법에 속하는지 판단하는 얼리 알고리즘이 있으며, 초기 구문 분석 기법인 LR 파서나 LL 파서는 문맥 자유 문법의 일부를 다룬다. 모든 형식 언어가 문맥 자유인 것은 아니다. 예를 들어, $\{ a^n b^n c^n : n \ge 0 \}$ 는 문맥 자유가 아니며, 파싱 표현 문법(PEG)으로 생성할 수 있다. PEG는 문맥 자유 문법과 다루는 범위가 다르며, 프로그래밍 언어에 적합한 새로운 정규화 중 하나이다.

2. 1. 구성 요소

문맥 자유 문법

G

는

G = (V, \Sigma, R, S)

의 순서쌍으로 정의되며, 각 구성 요소는 다음과 같다.

$V$ : 비말단 기호의 유한 집합이다. 비말단 기호는 문법 규칙에서 왼쪽에 위치하며, 다른 기호들의 집합으로 치환될 수 있다.
$\Sigma$ : 말단 기호의 유한 집합으로, $V$ 와는 서로소이다. 말단 기호는 문법에서 더 이상 다른 기호로 치환될 수 없는 최종적인 기호이다.
$R$ : 생성 규칙의 유한 집합이다. $V$ 에서 $(V \cup \Sigma)^*$ 로 연결되며, 비말단 기호를 단말 기호와 비말단 기호의 문자열로 치환한다.
$S$ : $V$ 의 원소로, 시작 기호를 가리킨다. 시작 기호는 문법에서 문장을 생성하기 시작하는 특별한 비말단 기호이다.

R

에서의 생성 규칙은

(\alpha, \beta)\in R

쌍으로 표현된다.

\alpha \in V

는 비말단 기호이고,

\beta \in (V\cup\Sigma)^{*}

는 변수 및/또는 단말 기호의 문자열이다. 보통 화살표 연산자를 사용하여

\alpha\rightarrow\beta

로 표현한다.

\beta

가 빈 문자열인 경우 ε로 표시하며,

\alpha\rightarrow\varepsilon

형식은 ε-생성 규칙이라고 한다.^[4]

동일한 좌변에 대한 모든 우변은 | (수직 막대)를 사용하여 한 줄에 나열할 수 있다. 예를 들어,

\alpha\rightarrow \beta_1

및

\alpha\rightarrow\beta_2

는

\alpha\rightarrow\beta_1\mid\beta_2

로 쓸 수 있다.

2. 2. 표기법

일반적으로 생성 규칙은 화살표를 사용하여 표기하며, 동일한 비단말 기호에 대한 여러 생성 규칙은 '|' (수직 막대) 기호를 사용하여 묶어서 표현한다. 생성 규칙은 다음과 같이 나타낸다.

:

\alpha\rightarrow\beta

.

여기서

\alpha

는 좌변으로 비단말 기호이고,

\beta

는 우변으로 변수 및/또는 단말 기호의 문자열이다. β^영어가 빈 문자열이어도 되며, 이 경우 ε로 표시한다.

\alpha\rightarrow\varepsilon

형식은 ε-생성 규칙이라고 한다.^[1]

예를 들어, 규칙

\alpha\rightarrow \beta_1

및

\alpha\rightarrow\beta_2

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\alpha\rightarrow\beta_1\mid\beta_2

.

이 경우

\beta_1

과

\beta_2

는 각각 첫 번째와 두 번째 대안이라고 한다.

3. 역사

고대 인도의 학자 파니니의 연구에서 문맥 자유 문법의 초기 형태를 발견할 수 있다.

3. 1. 촘스키의 형식 문법 연구

1950년대 놈 촘스키는 자연어의 구조를 설명하기 위해 문맥 자유 문법을 고안하고, 촘스키 위계를 제시하였다.^[2] 촘스키는 구조 구문 문법이 구성 관계를 따르는 반면, 의존 문법의 의존 관계와는 반대되는 특징을 가진다고 보았다. 촘스키의 생성 문법 프레임워크에서, 자연어 구문은 문맥 자유 규칙과 변환 규칙을 결합하여 설명되었다.^[3]

촘스키는 초기에는 변형 문법을 통해 문맥 자유 문법의 한계를 극복하려 했다.^[2] 그는 변형 문법이 튜링 완전성을 가질 정도로 강력하기 때문에, 변형 적용에 제한을 두어야 한다고 생각했다. 생성 문법의 대부분은 구 구조 문법과 변환 규칙의 기술 메커니즘을 개선하여 자연어가 표현할 수 있는 것을 정확하게 나타내는 것을 목표로 한다.

촘스키는 자연어가 문맥 자유적이지 않다고 주장했지만,^[16] 이후 그의 주장은 반박되었다.^[17] 제럴드 가즈다와 제프리 풀럼은 스위스 독일어의 교차 직렬 의존성,^[16] 밤바라어의 중복^[18]과 같은 일부 예외를 제외하면 자연어의 대부분은 문맥 자유 문법으로 기술 가능하다고 주장했다.^[17]

3. 2. 프로그래밍 언어에의 응용

알골 프로젝트(1957–1960)에 의해 블록 구조가 컴퓨터 프로그래밍 언어에 도입되었으며, 결과적으로 문맥 자유 문법^[4]은 알골 구문을 설명하는 데 사용되었다. 이는 컴퓨터 언어의 표준 기능이 되었고, 컴퓨터 언어의 구체적인 설명에 사용되는 문법 표기법은 알골 언어 설계 위원회의 두 구성원의 이름을 따서 바쿠스-나우르 표기법으로 알려지게 되었다. 문맥 자유 문법이 포착하는 "블록 구조" 측면은 문법의 기본이므로, 특히 컴퓨터 과학에서 구문과 문법이라는 용어는 종종 문맥 자유 문법 규칙과 동일시된다. 문법이 포착하지 못하는 형식적 제약은 언어의 "의미론"의 일부로 간주된다.

문맥 자유 문법은 노엄 촘스키에 의해 언어학에서 제창되자마자, 이론 전산학 분야뿐만 아니라 프로그래밍 언어 ALGOL의 사양 책정에서 구문의 사양을 나타내는 바쿠스-나우어 표기법이라는 형태로 채택되었고, 그 후 컴퓨터 과학 전반에 응용되고 있다.

"문맥 자유 문법은 대부분의 프로그래밍 언어의 문법을 기술할 수 있을 정도로 강력하며, 실제로 많은 프로그래밍 언어는 문맥 자유 문법으로 구문 사양을 정의하고 있다."라는 말이 종종 있지만, 이는 오해이다. 실제로는 yacc로 정의되어 있더라도 순수한 구문으로는 정의할 수 없는 부분을 여러 의미 규칙으로 보충하는 것이 일반적이다.

문맥 자유 문법은 효율적인 구문 분석알고리즘을 적용할 수 있을 정도로 단순하다. 즉, 어떤 문자열이 특정 문법에 의한 언어에 속하는지 여부를 판단할 수 있다(예를 들어 얼리 파서). 초기의 구문 분석 기법인 LR 파서나 LL 파서는 문맥 자유 문법의 서브셋을 다루는 것이었다.

4. 관련 파서

문맥 자유 문법을 기반으로 동작하는 파서(Parser)는 주어진 문자열이 해당 문법에 맞게 생성되었는지 판별하고, 구문 구조를 분석하는 도구이다. 파싱 문제는 주어진 단어가 문맥 자유 문법에 의해 정의된 언어에 속하는지 확인하는 문제로, 다음과 같은 범용 파싱 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있다.

CYK 알고리즘 (촘스키 정규형 문법)
얼리 파서
GLR 파서
LL 파서 (LL(''k'') 문법의 적절한 하위 클래스에만 해당)

촘스키 정규형 문법에 대한 문맥 자유 파싱은 레슬리 G. 밸리언트에 의해 부울 행렬 곱셈으로 축소될 수 있음이 밝혀졌으며, 따라서 ''O''(''n''^2.3728639)의 복잡성 상한을 상속받는다.^[6]^[7] 반대로, 릴리안 리는 ''O''(''n''^3−ε) 부울 행렬 곱셈을 ''O''(''n''^3−3ε) CFG 파싱으로 축소할 수 있음을 보여주어 후자에 대한 일종의 하한을 설정했다.^[8]

문맥 자유 문법에는 몇 가지 중요한 하위 클래스가 있다.

괄호 문법은 터미널 기호가 규칙에서 항상 일치하는 왼쪽 및 오른쪽 괄호 쌍으로 나뉘는 속성을 가지고 있다.
선형 문법은 오른쪽에 하나 이상의 비터미널이 있는 규칙이 없다.
정규 문법은 선형 문법의 하위 클래스이며 정규 언어 (즉, 유한 오토마타 및 정규 표현식에 해당)를 설명한다.

일반화된 LR 파싱은 LR 파싱을 확장하여 임의의 문맥 자유 문법을 지원한다. LL 문법 및 LR 문법에서 본질적으로 LL 파싱 및 LR 파싱을 각각 수행하며, 비결정적 문법에서는 예상할 수 있는 만큼 효율적이다. GLR 파싱은 1980년대에 개발되었지만 많은 새로운 언어 정의와 파서 생성기가 현재까지 LL, LALR 또는 LR 파싱을 기반으로 한다.

4. 1. LL 파서

LL 문법은 문맥 자유 문법의 일부분으로, LL 파서를 이용해 효율적인 방법으로 구문 분석(構文的分析, (syntactic) '''parsing''')을 할 수 있는 문법을 가리킨다. 여기에서 LL은 문장을 왼쪽부터(Left-to-right) 읽어들이며, 좌측유도(左側誘導, Leftmost derivation) 방식으로 동작한다는 것을 가리킨다.^[6]^[7]^[8]

4. 2. LR 파서

LR 문법은 문장을 오른쪽부터 읽고, 우측 유도(右側誘導, Rightmost derivation) 방식으로 동작하는 파서 문법이다.^[6]^[7] LR 파싱은 LL 파싱보다 더 광범위한 문법을 지원한다.

LR(''k'') 문법(결정적 문맥 자유 문법)은 결정적 푸시다운 오토마타 (PDA)를 통해 파싱(문자열 인식)을 허용하지만, 결정적 문맥 자유 언어만 표현할 수 있다. 단순 LR과 Look-Ahead LR 문법은 파싱을 더 단순화할 수 있는 하위 클래스이다. SLR 및 LALR은 LR과 동일한 PDA를 사용하여 인식되지만, 대부분의 경우 더 간단한 테이블을 사용한다.

5. 정규 문법과의 관계

모든 정규 문법은 문맥 자유 문법이지만, 모든 문맥 자유 문법이 정규 문법은 아니다.^[5]

다음은 정규 문법이면서 문맥 자유 문법인 예시이다.

S → a
S → aS
S → bS

여기서 터미널은 와 이고, 유일한 비터미널은 이다. 설명되는 언어는 a와 b로 구성되고 a로 끝나는 모든 빈 문자열이 아닌 문자열이다. 이 문법은 정규 문법이다. 규칙은 오른쪽에 두 개 이상의 비터미널을 갖지 않으며, 이러한 비터미널은 오른쪽에 있다. 모든 정규 문법은 비결정적 유한 오토마타에 직접적으로 대응하므로, 이것이 정규 언어임을 알 수 있다.

위 문법은 세로 막대를 사용하여 다음과 같이 더 간결하게 표현할 수 있다.

S → a | aS | bS

\{ a^n b^n : n \ge 0 \}

는 정규 언어가 아닌 문맥 자유 언어의 예시이다. 이 언어는 다음 문법으로 생성된다.

S → aSb
S → ε

여기서 |는 "선택"을 의미하며, ε는 빈 문자열을 의미한다. "선택"은 문맥 자유 문법 표현에 반드시 필요한 것은 아니다. 다음 두 규칙으로도 위와 동일한 언어를 정의할 수 있다.

S → aSb
S → ε

\{ a^n b^m c^{m+n} : n \ge 0, m \ge 0 \}

는 정규 언어가 아니고 문맥 자유 언어이다. 다음 생성 규칙으로 생성된다.

S → aSc | B
B → bBc | ε

6. 확장

문맥 자유 문법의 표현력을 높이기 위해 다양한 확장 방법이 연구되었다.

'''확장된 문맥 자유 문법'''(또는 '''정규 우측 부분 문법''')은 생성 규칙의 우변이 문법의 단말 기호와 비단말 기호에 대한 정규 표현식이 되도록 허용하는 문법이다. 확장된 문맥 자유 문법은 정확히 문맥 자유 언어를 설명한다.^[15]

6. 1. 인수 추가

비단말 기호에 인수를 추가하여 규칙 내에서 해당 값을 전달하는 방법은 일치 및 참조와 같은 자연어 특징과 식별자의 올바른 사용 및 정의와 같은 프로그래밍 언어의 유추를 자연스러운 방식으로 표현할 수 있도록 한다. 예를 들어, 영어 문장에서 주어와 동사가 수에서 일치해야 함을 쉽게 표현할 수 있다.^[15]

컴퓨터 과학에서 이러한 접근 방식의 예로는 접사 문법, 속성 문법, 색인 문법, 반 위엔가르덴의 2단계 문법 등이 있다. 언어학에도 유사한 확장이 있다.^[15]

6. 2. 좌변 확장

생성 규칙의 좌변에 여러 개의 기호를 허용하여 문맥 의존 문법을 표현할 수 있다.^[15]

7. 결정 가능성과 불가능성

문맥 자유 문법은 그 능력의 제한으로 인해 일부 연산은 결정 가능하지만, 동시에 결정 불가능한 문제도 존재한다.

문맥 자유 문법보다 더 넓은 범위의 문법에서는 결정 불가능한 문제들이 문맥 자유 문법에서는 결정 가능한 경우가 있다. 예를 들어, 비어 있음 문제(문법이 터미널 문자열을 생성하는지 여부)는 문맥 의존 문법에서는 결정 불가능하지만, 문맥 자유 문법에서는 결정 가능하다.

그러나 많은 문제는 문맥 자유 문법에서도 결정 불가능하다. 가장 이해하기 쉬운 결정 불가능한 문제 중 하나는 CFG가 언어의 모든 문자열을 받아들이는지 여부에 대한 문제이다. 이 문제는 환원을 통해 튜링 기계의 정지 문제와 같다는 것이 증명된다.

7. 1. 결정 가능 문제

주어진 문맥 자유 문법에 대해, 해당 언어가 공집합인지, 유한한 언어인지 판별하는 알고리즘이 존재한다.^[2]

문법의 더 넓은 부류에서는 결정 불가능한 문제들이 문맥 자유 문법에서는 결정 가능한 경우가 있다. 예를 들어, 비어 있음 문제(문법이 터미널 문자열을 생성하는지 여부)는 문맥 의존 문법에서는 결정 불가능하지만, 문맥 자유 문법에서는 결정 가능하다.

파싱 문제: 주어진 문자열이 특정 문맥 자유 문법에 의해 생성될 수 있는지 판별하는 문제(파싱 문제)는 다음 알고리즘들을 통해 해결할 수 있다.
CYK 알고리즘 (촘스키 정규형 문법)
얼리 파서
GLR 파서
LL 파서 (LL(''k'') 문법의 적절한 하위 클래스에만 해당)

레슬리 G. 밸리언트는 촘스키 정규형 문법에 대한 문맥 자유 파싱을 부울 행렬 곱셈으로 축소하여 ''O''(''n''^2.3728639)의 복잡도를 갖는것을 보였다.^[6]^[7] 반대로, 릴리안 리는 ''O''(''n''^3−ε) 부울 행렬 곱셈을 ''O''(''n''^3−3ε) CFG 파싱으로 축소할 수 있음을 보여주었다.^[8]

7. 2. 결정 불가능 문제

결정 불가능한 문제는 문맥 자유 문법에서도 여전히 많이 존재한다. 그 중 가장 중요한 문제는 다음과 같다:

주어진 문맥 자유 문법(CFG)이 해당 규칙에 사용된 터미널 기호의 알파벳에 대한 모든 문자열의 언어를 생성하는지 여부 (보편성 문제)^[13]
두 개의 문맥 자유 문법(CFG)이 주어졌을 때, 두 문법이 동일한 언어를 생성하는지 여부^[13]
두 개의 문맥 자유 문법(CFG)이 주어졌을 때, 첫 번째 문법이 두 번째 문법이 생성할 수 있는 모든 문자열을 생성할 수 있는지 여부^[13]
주어진 문맥 자유 문법(CFG)이 모호성을 가지고 있는지 여부^[14]
두 개의 문맥 자유 문법(CFG)이 주어졌을 때, 두 문법 모두에서 파생될 수 있는 문자열이 존재하는지 여부

특히, 주어진 CFG가 모든 문자열을 생성하는지 판별하는 문제는 튜링 기계의 정지 문제와 동등하며, 환원을 통해 증명할 수 있다.^[13] 이는 "계산 이력" 개념을 사용하여 특정 입력에 대한 특정 튜링 기계에 대해 허용되지 않는 계산 이력이 아닌 모든 문자열을 생성하는 CFG를 구성하는 방식으로 이루어진다.

두 CFG가 같은 언어를 기술하는지 여부도 결정 불가능하다. 이는 CFG가 모든 문자열의 언어를 정의하는 자명한 CFG와 동등한지조차 결정하는 것이 불가능하기 때문이다.^[13]

또한, 그라이바흐 정리를 통해 다음 두 문제 역시 결정 불가능함을 증명할 수 있다.^[13]

주어진 문맥 의존 문법이 문맥 자유 언어를 기술하는가?
주어진 문맥 자유 문법이 정규 언어를 기술하는가?

8. 한계

문맥 자유 문법은 자연어의 일부 현상을 제대로 표현하지 못하는 한계가 있다. 노엄 촘스키는 변형 규칙을 추가하여 이러한 한계를 극복하고자 했으나,^[2] 이는 지나치게 강력하여(튜링 완전) 변형 적용에 제한을 둘 필요가 있었다.

제럴드 가즈다와 제프리 풀럼은 자연어의 몇 가지 문맥 자유적이지 않은 구문에도 불구하고, 자연 언어의 대다수의 형태는 실제로 문맥 자유적이라고 주장했다.^[17] 문맥 자유적이지 않은 구문의 예로는 스위스 독일어의 교차 직렬 의존성^[16] 및 밤바라어의 중복^[18] 등이 있다.

참조

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_[6] 간행물 General context-free recognition in less than cubic time http://repository.cm[...] 1974-01
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