밀만의 정리

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1. 개요
2. 밀만의 정리 (전압)
3. 전전류의 정리 (밀만의 정리의 쌍대)
참조

1. 개요

밀만의 정리는 전압 발전기와 저항으로 구성된 회로의 양단 전압을 계산하는 방법이다. 각 전압 발전기 전압을 해당 저항으로 나눈 값의 합을, 각 저항의 역수 합으로 나누어 계산한다. 이 정리는 회로를 슈퍼노드로 간주하여 증명할 수 있으며, 노턴의 정리를 사용하여 전류원으로 변환하여 유도할 수도 있다. 이상적인 전압원이 있는 경우에는 사용할 수 없다. 밀만의 정리의 쌍대 원리로는 병렬 임피던스를 가진 전류원의 단락 전류를 구하는 전전류의 정리가 있다.

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밀만의 정리
개요
이름	밀만의 정리
분야	회로 이론
유형	정리
고안자	제이콥 밀먼
설명
내용	여러 개의 전압원 또는 전류원이 공통된 두 개의 노드에 연결되어 있을 때, 이 회로를 등가의 전압원 또는 전류원으로 단순화할 수 있게 해주는 회로 정리이다.
응용	회로 분석, 특히 복잡한 회로를 간소화하는 데 유용하다.
관련 항목
관련 정리	테브난의 정리, 노턴의 정리, 중첩의 원리
기타
참고 문헌	Millman, Jacob. "A Useful Network Theorem." Proceedings of the IRE 28.9 (1940): 413-417.

2. 밀만의 정리 (전압)

$e_k$ 를 발전기 전압, $R_k$ 를 전압 발전기 $e_k$ 가 있는 가지의 저항이라고 할 때, 회로 양단 전압은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[2]

: $v=\frac{\sum{\frac{e_k}{R_k}}} {\sum{\frac{1}{R_k}}}.$

이는 각 가지의 단락 회로 전류 합계를 각 가지의 컨덕턴스 합계로 나눈 값이다.

2. 1. 증명

e_k

를 발전기 전압이라고 하고,

R_k

를 전압 발전기

e_k

가 있는 가지의 저항이라고 할 때, 밀만은 회로의 양단 전압이 다음과 같다고 말한다.^[2]

:

v=\frac{\sum{\frac{e_k}{R_k}}} {\sum{\frac{1}{R_k}}}.

이는 가지의 단락 회로 전류 합계를 각 가지의 컨덕턴스 합계로 나눈 값이다.

이 정리는 회로를 단일 슈퍼노드로 간주하여 증명할 수 있다.^[3] 옴과 키르히호프에 따르면, 회로 양단의 전압은 슈퍼노드로 들어가는 총 전류를 슈퍼노드의 총 등가 컨덕턴스로 나눈 값과 같다. 총 전류는 각 가지의 전류 합계이다. 슈퍼노드의 총 등가 전기 컨덕턴스는 모든 가지가 병렬로 연결되어 있기 때문에 각 가지의 컨덕턴스 합계이다.^[4]

2. 2. 전류원

밀만의 정리를 유도하는 방법 중 하나는 모든 분기를 전류원으로 변환하는 것이다(노턴의 정리를 사용하여 수행할 수 있다). 이미 전류원인 분기는 변환하지 않는다. 위의 식에서 이는 식의 분자에 있는

e_k/R_k

항을 전류 발생기의 전류로 대체하는 것과 같은데, 여기서 k번째 분기는 전류 발생기가 있는 분기이다. 전류원의 병렬 컨덕턴스는 전압원의 직렬 컨덕턴스와 마찬가지로 분모에 추가된다. 이상적인 전류원은 컨덕턴스가 0(무한대 저항)이므로 분모에 아무것도 추가하지 않는다.^[5]

2. 3. 이상 전압원

회로의 한 분기가 이상적인 전압원이라면 밀만의 정리를 사용할 수 없지만, 이 경우 해는 자명하다. 출력 전압은 이상적인 전압원의 전압으로 고정된다. 이러한 전압원은 저항이 0(컨덕턴스 무한대)이므로 밀만의 정리는 이상적인 전압원에 적용되지 않는다. 따라서 분자와 분모 모두 무한대가 되어 결과가 부정확해진다.^[6]

3. 전전류의 정리 (밀만의 정리의 쌍대)

밀만의 쌍대 원리에 해당하는 것으로 '''전전류의 정리'''가 있다. 이는 병렬 임피던스를 가진 복수의 전류원이 직렬로 연결된 전기 회로의 단락 전류를 구하는 정리이다.

각 전류원의 전류를 ''I_i'', 전원을 제외한 전원부의 각 임피던스를 ''Z_i''라고 하면, 전기 회로의 단락 전류 ''I''₀는 각 전류원 전류를 각 임피던스로 가중 평균한 값이 된다.

: $I_0 = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N {Z_i I_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^N {Z_i}}$

참조

_[1] 논문 A Useful Network Theorem 1940
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적
_[5] 서적
_[6] 서적
_[7] 논문 A Useful Network Theorem 1940

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