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테브난의 정리

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목차

1. 개요

테브난의 정리는 복잡한 회로를 전압원과 직렬 저항으로 구성된 간단한 등가 회로로 대체할 수 있다는 전기 회로 분석의 기본 정리이다. 1853년 헤르만 폰 헬름홀츠가 먼저 증명했지만, 1883년 레옹 샤를 테브난에 의해 널리 알려져 테브난의 정리로 불린다. 이 정리는 회로의 출력 전압과 등가 저항을 계산하여 등가 회로를 구성하며, 노튼 등가 회로로 변환될 수 있다. 테브난의 정리는 선형 부하 범위 내에서 유효하며, 3상 회로에도 적용 가능하다.

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테브난의 정리
개요
분야회로 이론
명칭테브난의 정리
로마자 표기Tebeunan-ui jeongni
내용
설명선형 회로망은 전압원 (VA-B)과 직렬 연결된 저항 (RA-B)으로 등가화될 수 있다.
전압Vth는 A-B 단자에서 개방 회로 전압이다. (Vth = VAB)
저항Rth는 A-B 단자에서 모든 독립 전원을 단락 회로로 대체했을 때 측정되는 입력 또는 등가 저항이다.
역사
고안자레옹 샤를 테브난
발표 연도1883년
관련 인물헤르만 폰 헬름홀츠

2. 테브난 정리의 증명

테브난의 정리에는 다양한 증명이 제시되었는데, 가장 단순하고 이해하기 쉬운 증명은 테브난의 원래 논문에 제시된 것이다.[12] 이 증명은 중첩의 원리를 기반으로 하며, 테브난의 증명이 정확하고 적용 범위가 일반적이라는 데 대한 합의가 존재한다.[9]

증명 과정은 다음과 같다.

1. 임피던스, (상수-) 전압원, (상수-) 전류원을 포함하는 능동 회로망을 가정한다. 회로망은 한 쌍의 단자를 통해 접근 가능하며, 단자 사이에서 측정된 전압은 이다.

Fig. 2. 테브낭의 정리 증명에 사용된 그림


2. 회로망 내부의 전압원을 단락시키고, 전류원을 개방 회로로 대체한다. 이때 단자 사이의 임피던스를 라고 한다.

3. 임피던스 를 갖는 선형 회로망을 상자의 단자에 연결하고, 를 통과하는 전류 를 구한다.

4. 와 같지만 반대 방향인 기전력 를 갖는 전원을 와 직렬로 연결한다. 는 를 상쇄하여 를 통해 전류가 흐르지 않는다.

5. 이 와 크기는 같지만 방향이 반대인 기전력 을 갖는 전원을 와 직렬로 삽입한다. 이때 만 단독으로 작용했을 때 발생하는 전류 은 다음과 같다.

:I_1 = \frac{E_1}{Z_e+Z_\theta} = \frac{V_\theta}{Z_e+Z_\theta}

6. 와 을 제거하면 원래 회로(그림 2a)로 돌아가며, 구하고자 하는 전류 는 과 같다.

:I = \frac{V_\theta}{Z_e+Z_\theta}

7. 그림 2d는 테브낭 등가 회로를 보여준다.

헤르만 폰 헬름홀츠는 1853년에 테브난 정리와 유사한 정리를 발표했는데,[8] 그의 접근 방식은 물리학에 더 가깝고 일반적이었다. 헬름홀츠는 구스타프 키르히호프의 결과를 3차원 전류 및 전압 소스 분포의 경우로 일반화하려고 시도했다.

2. 1. 헬름홀츠의 증명

헬름홀츠는 중첩의 원리를 사용하여 "물리적" 시스템 A의 내부 전압 및 전류와 A 표면의 두 지점에 부착된 "선형" 시스템 B를 통해 흐르는 전류 사이의 관계에 대한 세 가지 정리를 증명했다.[2] 이 결과로부터 헬름홀츠는 최종적으로 테브난의 정리와 본질적으로 동일한 정리를 도출했다.[1]

헬름홀츠는 옴의 법칙과 중첩 원리를 사용하여 다음과 같은 세 가지 정리를 증명했다.

1. 내부에 기전력이 임의로 분포된 모든 도체 A에 대해, 적용된 모든 도체 B에서 A의 내부 힘과 동일한 전류를 생성할 표면에 특정 기전력 분포를 지정할 수 있다.

2. 외부 회로가 연결될 때 도체 A 내부의 전압 및 전류 성분은 연결된 회로가 없는 경우와 표면에서 발생하는 전압 및 전류 성분의 합과 같다.

3. 도체 A의 표면에 기전력을 분포시키는 서로 다른 방법은 내부 힘과 동일한 유도 전류를 제공해야 하며, 표면의 모든 지점에서 동일한 일정한 값을 갖는 차이로만 다를 수 있다.

이러한 정리를 바탕으로, 헬름홀츠는 다음과 같은 결론을 도출했다.

> 표면의 두 특정 지점에 일정한 기전력이 있는 물리적 도체가 임의의 선형 도체에 연결되면, 그 자리에 특정 기전력과 특정 저항을 가진 선형 도체를 항상 대체할 수 있으며, 이는 적용된 모든 선형 도체에서 물리적 도체와 정확히 동일한 전류를 유발할 것이다. ... 대체할 선형 도체의 저항은 선형 도체의 두 입력 지점에서 전류가 통과할 때 신체의 저항과 같다.

헬름홀츠는 일반적인 "물리적 시스템"에 대해 도출된 그의 결과가 구스타프 키르히호프가 고려한 것과 같은 "선형"(기하학적 의미에서) 회로에도 적용된다고 언급하면서, 이 정리가 30년 후에 발표된 테브난의 정리와 본질적으로 동일하다고 밝혔다.

3. 테브난 등가 계산

테브난 등가를 계산하려면 테브난 등가 전압(Vth)과 테브난 등가 저항(Rth)이라는 두 가지 변수를 구해야 한다. 이를 위해 일반적으로 2차 연립 방정식을 사용한다.

어떤 블랙 박스라도 전압원, 전류원, 저항만으로 구성된 테브냉 등가 회로로 변환할 수 있다


일반적으로 다음 단계를 거쳐서 구하지만, 회로의 단자에 어떠한 조건이든 적용할 수 있다.

1. 개회로(부하 저항이 없는, 즉 저항이 무한대인 상태)에서 출력 전압 ''V''AB를 계산하면, 이 값이 ''V''Th이다.

2. 단락 회로(부하 저항이 0) 상태에서 출력 전류 ''I''AB를 계산하면, ''R''Th는 ''V''Th를 ''I''AB로 나눈 값이다.

  • 즉, 등가 회로는 ''V''Th 전압의 전압원에 ''R''Th 저항이 직렬로 연결된 형태이다.


두 번째 단계는 아래와 같이 계산할 수 있다.

:2a. 전압원은 단락 회로로, 전류원은 개회로로 바꾼다.

:2b. 부하 회로를 가상의 저항값으로 바꾸고 회로 쪽으로 "바라본" 전체 저항 ''R''을 측정한다. 이것이 ''R''Th이다.

회로망의 출력 단자 A–B 간의 개방 전압을 ''V''th, 단자 A–B에서 본 회로망의 내부 저항을 ''R''th, A–B에 연결하는 부하의 저항 값을 ''RL'', 부하에 흐르는 전류를 ''IL'', 부하를 연결했을 때 단자 A–B 간의 전압을 ''VL''이라고 하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:\begin{align}

I_L &= \frac{1}{R_{\text{th}} + R_L} V_{\text{th}} \\

V_L &= \frac{R_L}{R_{\text{th}} + R_L} V_{\text{th}}

\end{align}

회로망의 내부 저항을 구할 때는 전압원은 단락, 전류원은 개방하여 고려하면 된다. 단, 전압 및 전류원에 내부 저항이 존재하는 경우에는 당연히 고려해야 한다.

3. 1. 테브난 등가 전압 (Vth) 계산

테브난 등가 전압(''V''th)은 원본 회로의 출력 단자를 개방 회로(부하 저항이 무한대)로 만들었을 때 측정되는 전압이다. 전압 분배 법칙을 사용하면 계산이 용이한데, 한 단자를 V_{out}로, 다른 단자를 접지점으로 지정하여 계산한다.[2]

3. 2. 테브난 등가 저항 (Rth) 계산

테브난 등가 저항(Rth)은 원본 회로의 출력 단자 A와 B 지점에서 회로를 "되돌아보아" 측정되는 저항이다. 이 저항을 계산하려면 먼저 모든 전압원과 전류원을 내부 저항으로 대체해야 한다. 이상적인 전압원은 단락 회로(저항이 0)로, 이상적인 전류원은 개방 회로(저항이 무한대)로 대체한다.

이렇게 대체한 후, 직병렬 회로 공식을 사용하여 단자 A와 B 사이의 저항값을 계산할 수 있다. 이 방법은 회로 내에 독립 전원만 있을 때 유효하다.

회로에 종속 전원이 있다면 다른 방법을 사용해야 한다. 예를 들어 단자 A와 B에 시험 전원을 연결하고, 이 시험 전원에 흐르는 전류나 전압을 계산하여 등가 저항을 구할 수 있다.

전압원 및 전류원 대체는 전원 값(전압 또는 전류)을 0으로 설정하는 것으로 기억하면 쉽다. 0V 전압원은 단락 회로처럼 두 단자 사이에 0V의 전위차를 만들고, 0A 전류원은 개방 회로처럼 전류를 통과시키지 않는다.

3. 3. 예시

등가 회로를 계산하기 위해서는 저항과 전압, 두 가지 변수가 필요하다. 따라서 2차 연립 방정식이 필요하다. 2차 연립 방정식은 일반적으로 다음 단계를 거쳐서 구하지만, 어떤 조건에서라도 회로의 단자에 위치해야 한다.

# 개회로(로드 저항이 존재하지 않음 - 즉 저항이 무한대) 상태일 때, 출력 전압 ''V''AB를 계산하면, ''V''Th이다.

# 단락 회로(로드 저항이 0)를 유지할 때, 출력 전류 ''I''AB를 계산하면, ''R''Th은 ''V''Th를 ''I''AB로 나눈 값이다.

  • 등가 회로는 ''V''Th 전압의 전압원에 직렬로 연결된 저항 ''R''Th이다.


두 번째 방정식은 아래와 같이 계산할 수 있다.

:2a. 전압원은 단락 회로로, 전류원은 개회로로 치환한다.

:2b. 로드 회로를 가상의 저항값으로 치환하고 회로 쪽으로 "바라본" 전체 저항 ''R''을 측정한다. 이것이 ''R''Th이다.

테브난 등가 전압은 원본 회로의 출력 단자에 걸리는 전압이다. 테브난 등가 전압을 계산할 때, 전압 분배 법칙은 한 단자가 ''V''out이고 다른 단자가 0V(그라운드)라고 가정하면 매우 유용하다.

테브난 등가 저항은 회로 쪽으로 "바라봐서" A와 B 지점을 교차하여 측정되는 저항이다. 첫 번째로 모든 전압원과 전류원을 내부 저항으로 치환하는 것이 중요하다. 이상적인 전압원일 경우, 전압원의 저항은 0임을 의미한다. 또한 이상적인 전류원일 경우, 전류원의 저항은 무한대임을 의미한다. 저항값은 직병렬 회로 공식을 적용하여 단자에 걸리는 값을 계산할 수 있다.

단계 0: 원본 회로


단계 1: 등가 출력 전압을 계산하기


단계 2: 등가 저항을 계산하기


단계 3: 등가 회로


예를 들어, 등가 전압을 계산하면 다음과 같다.

:

V_\mathrm{AB}

= {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1}



::

= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15 \mathrm{V}



::

= {1 \over 2} \cdot 15 \mathrm{V} = 7.5 \mathrm{V}



(''R''1은 고려되지 않는데, 위 계산은 A와 B 사이가 개방 회로 조건으로 풀이되었기 때문이다. 따라서 개방 회로에 전류가 흐르지 않으며, 이는 ''R''1 역시 전류가 흐르지 않음을 뜻한다. 따라서 이 부분에는 전압 강하가 일어나지 않는다.)

등가 저항을 계산하면 다음과 같다.

:

R_\mathrm{AB} = R_1 + \left ( \left ( R_2 + R_3 \right ) \| R_4 \right )



::

= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left ( \left ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right )



::

= 1\,\mathrm{k}\Omega + \left({1 \over ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega )} + {1 \over (2\,\mathrm{k}\Omega ) }\right)^{-1} = 2\,\mathrm{k}\Omega


4. 노튼 등가로 변환

노튼 등가 회로는 테브난 등가 회로와 다음과 같은 관계를 가진다.

테브난 등가 회로노튼 등가 회로변환 공식
전압원(VTh)과 저항(RTh)의 직렬 연결전류원(INo)과 저항(RNo)의 병렬 연결



노튼-테브난 변환


회로망의 내부 저항을 구할 때는 전압원은 단락하고, 전류원은 개방하여 고려하면 된다. 단, 전압 및 전류원에 내부 저항이 존재하는 경우에는 이를 고려해야 한다.

5. 실제적인 제한

대부분의 회로는 어느 정도 부하 범위에서만 선형적으로 작동하므로, 테브난 등가는 이 선형 범위 내에서만 유효하고 벗어난 범위에서는 유효하지 않다.[1] 테브난 등가는 회로에 연결된 부하의 관점에서만 원래 회로의 등가 전류-전압(I-V) 특성을 가진다.[2]

전력은 전압이나 전류에 따라 선형적이지 않기 때문에, 테브난 등가 회로의 전력 소모는 실제 시스템의 전력 소모와 반드시 동일하지는 않다.[3] 그러나 두 출력 단자 사이의 외부 저항기에 의해 소모되는 전력은 내부 회로가 어떻게 구현되었는지에 관계없이 동일하다.[6]

6. 3상 회로에서의 테브난 정리

1933년 A. T. 스타는 ''Institute of Electrical Engineers Journal''에 실린 논문 ''능동 회로망에 대한 새로운 정리''에서 테브난의 정리를 일반화했다.[13] 이는 임피던스가 상응하는 세 개의 전압원으로 대체될 수 있는 임의의 3단자 능동 선형 회로망은 와이 결선 또는 델타 결선으로 연결될 수 있다는 것이다.

7. 명칭

1883년 레옹 샤를 테브낭이 발표하여 "테브난의 정리"라고 불렸지만, 1950년 한스 페르디난트 마이어가 그보다 앞선 1853년에 헤르만 폰 헬름홀츠가 먼저 발표했음을 지적하여[14] '''헬름홀츠-테브난의 정리'''(Helmholtz–Thevenin's theorem)라고도 불린다.[1] 헬름홀츠의 업적을 존중하여 "헬름홀츠 등가 회로"라고도 한다.

일본에서는 '''등가 전압원 표시'''(등가전압원표시)라고 하며, 오토리 히데타로가 1919년(1922년, 1923년)에 교류 전원의 경우에도 성립한다는 것을 발표하여 '''오토리-테브난의 정리'''(호-테브낭의 정리)라고도 한다.[16][17][18]

참조

[1] 서적 A Short History of Circuits and Systems River Publishers 2016
[2] 논문 Ueber die Anwendbarkeit der Formeln für die Intensitäten der galvanischen Ströme in einem Systeme linearer Leiter auf Systeme, die zum Theil aus nicht linearen Leitern bestehen. https://gallica.bnf.[...] 1848
[3] 간행물 Analysis of Electric Circuits https://books.google[...] McGraw-Hill 1959
[4] 논문 Thevenin's theorem https://ieeexplore.i[...] 2013-02-01
[5] 간행물 Introduction to Electric Circuits John Wiley & Sons 2010
[6] 간행물 Standard Handbook for Electrical Engineers McGraw-Hill 1949
[7] 간행물 Electric Energy Systems Theory: An Introduction https://books.google[...] Tata McGraw-Hill 2007
[8] 논문 Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche http://gallica.bnf.f[...] 1853
[9] 논문 Origins of the equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent http://www.ece.rice.[...] 2003
[10] 논문 Origins of the equivalent circuit concept: the current-source equivalent http://www.ece.rice.[...] 2003
[11] 논문 Extension de la loi d'Ohm aux circuits électromoteurs complexes https://books.google[...] 1883
[12] 논문 Sur un nouveau théorème d'électricité dynamique https://books.google[...] 1883
[13] 논문 A new theorem for active networks https://digital-libr[...] 1933
[14] 논문 Leon Charles Thévenin AIEE 1950-02
[15] 논문 基礎電気回路I 線形定常編(1) コロナ社
[16] 논문 交流ポテンシオメーターの研究並に補償交流ポテンシオメーター交流カーレントメーター 1926-2
[17] 논문 二三の一般的共振關係とテヴナンの定理の吟味 電氣通信学會 1933-10
[18] 웹사이트 鳳秀太郎と「鳳–テブナンの定理」の実用的応用 https://www.iee.jp/f[...] 2022-07-23


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