반감기

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1. 개요
2. 반감기의 정의 및 확률적 특성
3. 반감기 관련 수식
- 3.1. 반응 차수에 따른 반감기
- 3.2. 두 개 이상의 과정에 의한 붕괴
4. 반감기의 활용
5. 생물학적 반감기와 실효 반감기
6. 붕괴 계열과 방사성 평형
7. 여러 물질의 반감기 예시
참조

1. 개요

반감기는 어떤 양이 원래 값의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 의미하며, 주로 방사성 붕괴와 같이 불연속적인 실체의 붕괴를 설명하는 데 사용된다. 반감기는 원자핵의 붕괴 확률을 나타내는 지표로, 붕괴 상수와 밀접한 관련이 있다. 반감기는 방사성 동위원소의 안정성을 나타내며, 반감기가 길수록 안정적이다. 반감기는 방사성 붕괴, 화학 반응, RC 회로 등 다양한 분야에서 활용되며, 방사성 탄소 연대 측정과 같은 연대 측정에도 사용된다. 생물학적 반감기는 생체 내 물질의 농도가 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 의미하며, 물리적 반감기와 함께 실효 반감기를 결정하는 요소로 작용한다.

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반감기
개요
정의	어떤 양이 원래 값의 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간.
활용 분야	방사성 붕괴 약물 대사 기타 지수 감소 현상
표기	t
수학적 정의
감쇠 상수	λ (람다)
반감기 공식	t = ln(2)/λ
자연로그 2	ln(2) ≈ 0.693
지수 감소 공식	N(t) = N * e (N(t): 시간 t에서의 양, N: 초기 양)
반감기 공식 유도	N(t) = N/2 = N * e}}
공식 정리	t = ln(2)/λ
확률적 의미
붕괴 확률	각 원자는 반감기 동안 붕괴될 확률이 50%
집합의 붕괴	반감기 시간 간격마다 원래 원자 수의 약 절반이 붕괴
평균 수명	반감기 = 평균 수명 * ln(2) ≈ 0.693 * 평균 수명
방사성 붕괴
설명	방사성 원자의 불안정한 핵이 붕괴되는 과정
붕괴 속도	고유한 반감기로 측정
예시	요오드-131의 반감기는 8일, 탄소-14의 반감기는 5730년
활용	방사성 연대 측정
관련 용어	방사성 붕괴 방사능 붕괴 사슬
의약학
약물 반감기	혈장 내 약물 농도가 절반으로 줄어드는 시간
투여 간격 결정	약물 반감기는 투여 간격을 결정하는 데 중요한 요소
개인차	약물 반감기는 개인의 대사 능력에 따라 다를 수 있음
반감기와 관련된 용어
평균 수명	평균 수명은 반감기의 약 1.443배
1/e 수명	시간이 흘러 그 양이 자연로그의 역수(약 0.368)배로 감소하는 시간
참고 사항
일반적인 오해	반감기 후 모든 원자가 붕괴하는 것이 아님
감소율	감소율은 초기 값에 따라 다르지 않음
기타
언어별 표기	영어: Half-life 한자: 半減期 (반감기) 한국어: 반감기
관련 문서	평균 수명 지수 감쇠

2. 반감기의 정의 및 확률적 특성

반감기는 어떤 양이 원래 값의 절반으로 감소하는 데 걸리는 시간이다. 주로 지수함수적 붕괴를 하는 방사성 원자와 같이 불연속적인 실체의 붕괴를 설명하는 데 사용된다. 개별 원자의 붕괴는 예측할 수 없지만, 많은 수의 원자 집단에서는 통계적으로 예측 가능하다.^[2]

상자당 4개(왼쪽) 또는 400개(오른쪽)의 원자로 시작하는, 방사성 붕괴가 진행 중인 수많은 동일한 원자들의 시뮬레이션. 상단의 숫자는 경과된 반감기의 횟수를 의미한다. 큰 수의 법칙에 따라 원자의 수가 많을수록 전체 붕괴 양상이 더 규칙적이고 예측 가능하다.

위 이미지는 많은 동일한 원자가 방사성 붕괴를 거치는 시뮬레이션을 보여준다. 한 반감기가 지난 후 남아 있는 원자의 수는 정확히 절반이 아니라 무작위 변동으로 인해 '대략적으로' 절반만 남는다. 하지만 많은 동일한 원자가 붕괴하는 경우(오른쪽 상자), 큰 수의 법칙에 따라 한 반감기 후에 원자의 절반이 남아 있다고 말하는 것이 매우 좋은 근사치가 된다.

반감기는 확률적으로 정의되며, "원자 집단의 절반이 평균적으로 붕괴하는 데 걸리는 시간"으로 이해할 수 있다. 이는 큰 수의 법칙에 따라 원자의 수가 많을수록 붕괴 양상이 더 규칙적이고 예측 가능해짐을 의미한다.

"반감기"라는 용어는 주로 지수 함수적(예: 방사성 붕괴)이거나 거의 지수 함수적인 붕괴 과정에 사용된다.^[7]

3. 반감기 관련 수식

지수함수적 붕괴는 다음 세 가지 식으로 나타낼 수 있다.^[6]

: $\begin{align}N(t) &= N_0 \left(\frac {1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}} \\N(t) &= N_0 e^{-\frac{t}{\tau}} \\N(t) &= N_0 e^{-\lambda t}\end{align}$

여기서,

''N''₀는 붕괴를 거칠 물질의 초기량이다. (그램, 몰, 원자 수 등으로 측정될 수 있다.)
''N''(''t'')는 시간 t 경과 후에도 붕괴되지 않고 남아있는 물질의 양이다.
''t''_1/2는 붕괴 중인 양의 반감기이다.
$\tau$ 는 붕괴 중인 물질의 평균 수명이다.
$\lambda$ 는 붕괴 중인 물질의 붕괴 상수이다.

세 변수

t_\frac{1}{2}

,

\tau

,

\lambda

는 다음 관계를 가진다.^[6]

:

t_\frac{1}{2} = \frac{\ln (2)}{\lambda} = \tau \ln(2)

위 식에서 ''t''=0일 때 지수함수 부분은 1이 되어 ''N(t)''는

N_0

와 같아진다. ''t''가 무한히 커질 때, 지수함수 부분은 0에 가까워진다.

위의 관계식들을 통해 유도되는 정보는 다음과 같다.

$N(0) = N_0$ (초기값의 정의)
$N\left(t_\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} N_0$ (반감기의 정의)
$\lim_{t\to \infty} N(t) = 0$ (''t'' 가 무한으로 발산함에 따라 잔여량은 0에 수렴)

특정 조건에서,

:

N(t_{1/2}) = N_0\cdot\frac{1}{2}

이것을 대입하여 정리하면,

:

N_0\cdot\frac{1}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \,

:

e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \,

:

- \lambda t_{1/2} = \ln \frac{1}{2} = - \ln{2} \,

:

t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \,

이와 같이 반감기는 평균 수명의 약 69.3%이다.

대수의 법칙에 따라, 원자가 많을수록(오른쪽) 전체 붕괴는 더 규칙적이고 예측 가능하다.

방사성 붕괴에서 반감기와 붕괴 상수는 핵종에 고유한 값을 가지므로, 반감기 또는 붕괴 상수의 측정값/추정값으로부터 핵종을 추정할 수 있다. 또한, 물질의 유출입이 닫힌 계(화석, 화성암 등)에서는 방사능의 감쇠 정도와 반감기로부터 역산하여 연대 측정에 사용된다.

어떤 방사성 동위원소가 단위 시간당 붕괴하는 원자의 수를 그 방사성 동위원소의 '''방사능'''(activity)이라고 한다. 방사능의 단위는 베크렐(기호: Bq)이다. 방사능 A(t)는 다음과 같이 정의된다.

:

A(t) = \left| \frac{dN}{dt} \right|

원자 수의 시간 변화 식을 고려하면,

:

A(t) = \lambda N(t) = \lambda N(0) \mathrm{e}^{-\lambda t}

로 나타낼 수도 있다. 식에서 알 수 있듯이, 방사능은 방사성 동위원소의 원자 수에 비례한다. 이로부터 반감기를 방사능이 반으로 줄어드는 데 걸리는 시간으로 정의해도 동일하다는 것을 알 수 있다.

처음에 1베크렐이었던 방사성 물질이 얼마나 빠르게 감쇠하는지를 나타낸 그래프.

붕괴 상수가 불명확한 방사성 동위원소가 있다면, 단순히 방사능 감쇠를 측정하고 그 결과로부터 반으로 줄어드는 시간을 계산하면 반감기(그리고 붕괴 상수)를 구할 수 있다.^[18]

3. 1. 반응 차수에 따른 반감기

화학 반응 속도론에서 반감기의 값은 반응 차수에 따라 달라진다.

0차 반응: 반응 속도가 기질 농도에 의존하지 않는 반응으로, 농도는 선형적으로 감소한다.
방사성 동위원소: 시간 경과에 따른 원자 수 변화는 미분 방정식으로 기술할 수 있다. 붕괴 상수를 λ, t=0일 때 방사성 동위원소의 원자 수를 N₀라고 하면, 시간 t에서의 원자 수 N(t)는 다음과 같다.

:

N(t) =N_0e^{-\lambda t}

3. 1. 1. 0차 반응

화학 반응 속도론에서 0차 반응은 반응 속도가 기질 농도에 의존하지 않는 반응을 의미한다. 0차 반응의 반감기는 다음 식으로 나타낼 수 있다.^[1]

:

t_{1/2} = \frac{[\ce A]_0}{2k}

여기서 [A]₀는 초기 농도, k는 속도 상수를 의미한다.^[1]

3. 1. 2. 1차 반응

제공된 원본 소스에는 1차 반응에 대한 내용이 없으므로, 해당 섹션을 작성할 수 없습니다.

3. 1. 3. 2차 반응

2차 반응의 반응 속도는 농도의 제곱에 비례한다. 2차 반응의 반감기는

t_{1/2} = \frac{1}{[\ce A]_0 k}

이다.

3. 2. 두 개 이상의 과정에 의한 붕괴

어떤 양이 두 개 이상의 지수 감쇠 과정을 동시에 거칠 때, 실제 반감기 는 각 감쇠 과정이 독립적으로 작용할 때의 반감기 , 와 다음과 같은 관계를 가진다.

:

\frac{1}{T_{1/2}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}

세 개 이상의 과정일 경우에도 유사하게 다음 공식이 성립한다.

:

\frac{1}{T_{1/2}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} + \cdots

이 공식들의 증명은 지수 감쇠 § 두 개 이상의 과정에 의한 감쇠에서 확인할 수 있다.

붕괴 상수 λ인 방사성 물질이 단위 시간당 Q씩 증가하는 계를 생각하면, 미분 방정식은 다음과 같다.^[20]

:

\frac{dN(t)}{dt}=Q-\lambda{N(t)}

이 방정식의 해는 다음과 같다.^[21]

:

N(t)=\frac{Q}{\lambda}(1-e^{-\lambda{t}})

이 식은 단위 시간당 Q를 섭취하고(단위 시간당 일정량 증가), 붕괴에 의한 감쇠를 무시하며, 생물학적 반감기에 의한 감쇠(붕괴 상수는 생물학적 반감기의 것을 사용)를 고려하면, 일정량의 방사성 물질을 매일 계속 섭취했을 때 체내 농도를 계산할 수 있음을 보여준다.^[22]

4. 반감기의 활용

방사성 동위원소는 그 안정도를 나타내는 지표로 반감기를 사용한다. 반감기가 길수록 안정적이고, 반대로 반감기가 짧을수록 불안정하다.^[14]

반감기는 방사성 탄소 연대 측정과 같이 연대 측정에 활용된다. 핵의학에서는 방사성 동위원소를 이용하여 질병을 진단하고 치료하는데, 이때 반감기가 중요한 역할을 한다. 방사성 폐기물 처리 및 관리 과정에서도 반감기는 중요한 고려 사항이다.

5. 생물학적 반감기와 실효 반감기

biological half-life^영어는 체내에 섭취된 방사성 물질이 신진대사를 통해 절반으로 줄어드는 시간을 의미한다.

실효 반감기는 생물학적 반감기와 물리적 반감기를 모두 고려하여 체내 방사성 물질의 양이 절반으로 줄어드는 시간을 의미한다. 실효 반감기 ''T''_e, 물리적 반감기 ''T''_p 및 생물학적 반감기 ''T''_b는 다음의 관계를 갖는다.^[19]

: $\frac{1}{T_{\mathrm{e}}} = \frac{1}{T_{\mathrm{p}}} + \frac{1}{T_{\mathrm{b}}}$

6. 붕괴 계열과 방사성 평형

방사성 핵종은 연쇄적인 붕괴를 통해 다른 핵종으로 변환되는데, 이 과정을 붕괴 계열이라고 한다.Decay chain^영어

방사성 동위원소의 붕괴는 자연적으로 발생하며, 방사성 동위원소마다 정해지는 확률(붕괴 상수)에 의해서만 좌우된다. 붕괴 속도는 물질의 출입이 0이라면 일정하며, 물질이 놓여 있는 고전 물리학적·화학적 환경(열, 전자기장, 화학 반응 등)에는 전혀 영향을 받지 않는다.^[14]

어떤 방사성 물질이 일정한 확률로 n개의 다른 핵종으로 붕괴하는 경우(분기), 전체 붕괴 상수 λ는 각 붕괴 상수의 합으로 나타낼 수 있다.

: $\lambda=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\dotsb+\lambda_{n}$

여기서 λ_i는 i번째 붕괴의 붕괴 상수를 의미한다. 붕괴 상수는 반감기의 역수와 관련이 있으며,

: $\frac{\ln(2)}{T_{1/2}}=\lambda$

의 관계가 성립한다.

동일한 핵종이 다른 반감기 t_i와 붕괴 모드를 통해 여러 딸핵종·상태로 붕괴하는 경우, 전체 반감기 T는 다음과 같이 표현된다.

: $\frac{1}{T}=\ln(2)\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{t_{i}}=\ln(2)\left(\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}+\dotsb+\frac{1}{t_{n}}\right)$

평균 수명 τ는 붕괴 상수의 역수로, 각 붕괴의 평균 수명 τ_i에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

: $\frac{1}{\tau}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\tau_{i}}=\frac{1}{\tau_{1}}+\frac{1}{\tau_{2}}+\dotsb+\frac{1}{\tau_{n}}$

각각의 사건으로 붕괴할 확률은 분기비(λ_i/λ)로 주어진다.^[28]

7. 여러 물질의 반감기 예시

(원소기호)물리적 반감기붕괴 상수물리적으로
10분의 1에
되는 기간생물학적 반감기체내에서 9할이
배출되는 기간
(붕괴는 고려하지 않음)유효반감기삼중수소³H, T12.3년0.05641년12일40일12일염소-38³⁸Cl37분0.018732시간 3.6분코발트-58⁵⁸Co70.86일0.00978235.26일코발트-60⁶⁰Co5.275년0.131417.51년10일33.2일9.9일비소-74⁷⁴As17.77일0.03959일스트론튬-90⁹⁰Sr29년0.023996년49년163년18년이트륨-91⁹¹Y58.5일0.0118194.22일몰리브덴-99⁹⁹Mo66시간0.0105219.12시간테크네튬-99m^99mTc6시간0.115519.92시간텔루르-132¹³²Te77시간0.009255.64시간아이오딘-131¹³¹I8일0.086626.5일138일458일7.6일아이오딘-132¹³²I2시간 17분0.0057시간 38.16분아이오딘-133¹³³I20.8시간0.033369.056시간아이오딘-134¹³⁴I53분0.0130752시간 2.84분세슘-134¹³⁴Cs2년0.3466.63년70일232일64일세슘-136¹³⁶Cs13일0.053343.16일세슘-137¹³⁷Cs30년0.0231100년70일232일70일세륨-144¹⁴⁴Ce285일0.00243946.2일바륨-140¹⁴⁰Ba12.75일0.054342.33일65일215.8일11일란탄-140¹⁴⁰La40.3시간0.0172133.8시간라돈-222²²²Rn92시간0.00753305.44시간라듐-226²²⁶Ra1600년0.0004335312년44년146.08년43년우라늄-235²³⁵U7억년0.0000000009923억년15일50일15일우라늄-238²³⁸U45억년0.000000000154150억년15일50일15일플루토늄-238²³⁸Pu87.8년0.00789291.5년플루토늄-239²³⁹Pu24000년0.000028980000년200년663년198년플루토늄-240²⁴⁰Pu6561년0.00010521783년플루토늄-241²⁴¹Pu14.3년0.048547.5년

반감기