무한

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1. 개요

무한은 수, 양, 공간, 시간 등에 제한이나 한계가 없는 상태를 의미하며, 수학, 철학, 과학 등 다양한 분야에서 다루어진다. 고대 인도와 그리스에서는 철학적 개념으로 무한에 접근했으며, 17세기에는 수학자들이 무한대 기호를 사용하며 무한한 숫자와 표현을 체계적으로 활용하기 시작했다. 수학에서 무한대는 실수나 자연수보다 큰 상태를 뜻하며, 집합론에서는 초한수를 통해 무한의 종류를 구분한다. 또한, 무한은 실해석학, 복소해석학, 기하학, 물리학, 우주론, 컴퓨터 과학, 예술 등 다양한 분야에서 활용되며, 논리학에서는 무한 퇴행 논증을 통해 명제의 결함을 지적하는 데 사용된다.

2. 언어적 의미

무한(無限)은 수, 양, 공간, 시간 따위에 제한이나 한계가 없음을 뜻한다. 수학에서는 집합의 원소를 다 헤아릴 수 없음으로 표현하기도 하며, 철학에서는 시간이나 공간의 내부 부분이 한계가 있음에 대하여 선천적인 시간이나 공간 그 자체를 이르는 말로 언급되기도 한다.^[1]

고대 인도와 고대 그리스에서는 현대 수학처럼 무한을 정확한 형식으로 정의하지 않고, 철학적 개념으로 무한에 접근했다.^[1]

3. 역사

고대 문화에서는 무한에 대한 다양한 생각을 가지고 있었다. 고대 인도와 고대 그리스에서는 무한을 정확한 형식으로 정의하지 않고, 철학적 개념으로 접근했다.

그리스에서 무한에 대한 가장 초기에 기록된 개념은 소크라테스 이전 그리스 철학자인 아낙시만드로스(기원전 610년경 – 기원전 546년경)에게서 찾을 수 있다. 그는 "무한한", "무한정의"를 의미하는 ''아페이론''이라는 단어를 사용했다.^[1]^[5] 아리스토텔레스(기원전 350년)는 '잠재적 무한'과 '실제적 무한'을 구분했고, 실제적 무한은 여러 역설을 낳기 때문에 불가능하다고 보았다.^[6]

17세기에 유럽 수학자들은 무한한 숫자와 무한한 표현을 체계적으로 사용하기 시작했다. 1655년 존 윌리스는 저서 《원뿔 곡선론(De sectionibus conicis)》에서 처음으로 무한대 기호(∞)를 사용했으며,^[18] 영역을 너비가 1/∞|1/∞|무한소^la 스트립으로 나누어 면적 계산에 활용했다.^[19]

3. 1. 고대 그리스

고대 인도와 고대 그리스에서는 무한을 철학적 개념으로 접근했다. 그리스에서 무한에 대한 초기 기록은 소크라테스 이전 그리스 철학자인 아낙시만드로스(기원전 610년경 – 기원전 546년경)에게서 찾을 수 있다. 그는 "무한한", "무한정의"를 의미하는 ''아페이론''이라는 단어를 사용했다.^[1]^[5]

아리스토텔레스(기원전 350년)는 '잠재적 무한'과 '실제적 무한'을 구분했다. 그는 실제적 무한이 여러 역설을 낳기 때문에 불가능하다고 생각했다.^[6] 이러한 견해 때문에 헬레니즘 시대 그리스인들이 "무한에 대한 공포"를 가졌다는 주장이 있다.^[7]^[8] 예를 들어, 유클리드(기원전 300년경)는 소수가 무한히 많다고 하지 않고, "소수는 주어진 소수의 어떤 집합보다 더 많다"라고 말했다.^[9] 그러나 유클리드가 소수의 무한성을 증명하면서 "무한에 대한 공포를 처음으로 극복했다"고 주장되기도 한다.^[10]

엘레아의 제논( 기원전 495년 – 기원전 430년)은 무한에 관한 견해를 제시하지 않았지만, 그의 역설, 특히 "아킬레스와 거북이"는 대중적인 개념의 부적절성을 보여주었다.^[14] 이 역설은 버트런드 러셀에 의해 "헤아릴 수 없이 미묘하고 심오하다"고 평가되었다.^[15] 내용은 다음과 같다.

아킬레스는 거북이와 경주를 하는데, 거북이는 먼저 출발한다.
단계 #1: 아킬레스가 거북이의 출발점까지 달릴 때, 거북이는 앞으로 간다.
단계 #2: 아킬레스가 단계 #1의 끝에서 거북이가 있던 지점까지 이동할 때, 거북이는 더 앞으로 간다.
단계 #3: 아킬레스가 단계 #2의 끝에서 거북이가 있던 지점까지 이동할 때, 거북이는 더 앞으로 간다.
단계 #4: 아킬레스가 단계 #3의 끝에서 거북이가 있던 지점까지 이동할 때, 거북이는 더 앞으로 간다.
이런 식으로 계속 진행된다.

아킬레스는 아무리 많은 단계를 거쳐도 거북이가 계속 앞서 있기 때문에 결코 거북이를 따라잡을 수 없는 것처럼 보인다. 제논은 운동을 환상으로 보는 엘레아 학파의 일원으로서 아킬레스가 달릴 수 있다고 생각하는 것은 오류라고 보았다.

3. 2. 고대 인도

자이나교 수학 텍스트인 수르야 프라즈나프티(기원전 4~3세기)는 모든 수를 가산수, 불가산수, 무한수의 세 가지 집합으로 분류한다. 각 집합은 다시 세 가지 등급으로 세분된다.^[17]

집합	등급
가산수	최저, 중간, 최고
불가산수	거의 불가산, 진정한 불가산, 무한히 불가산
무한수	거의 무한, 진정한 무한, 무한히 무한

기원전 400년부터 서기 200년경까지의 인도 수학에서는 방대한 수의 개념을 다루던 자이나교 학자들이 일찍부터 무한에 관심을 가졌다. 경전 중 하나인 '수리야 프라주냐프티'(Surya Prajnapti)에서는 모든 수를 가산, 불가산, 무한의 3가지 종류로 분류할 수 있다고 했다. 또한 무한에는 1방향의 무한, 2방향의 무한, 평면의 무한, 모든 방향의 무한, 영원히 무한의 5가지 종류가 있다고 했다. 이로 인해 자이나교도 수학자들은 현재의 집합론이나 초한수의 개념을 연구했다.

3. 3. 17세기

존 윌리스는 1655년 저서 《원뿔 곡선론(De sectionibus conicis)》에서 처음으로 무한대 기호(∞)를 사용했으며,^[18] 영역을 너비가 1/∞|1/∞|무한소^la 스트립으로 나누어 면적 계산에 활용했다.^[19] 1656년 《무한론(Arithmetica infinitorum)》에서는 "1, 6, 12, 18, 24, &c."와 같이 몇 개의 항이나 인수를 적고 "&c."를 덧붙여 무한 급수, 무한 곱, 무한 연분수를 나타냈다.^[21]

1699년, 아이작 뉴턴은 저서 《무한 항의 방정식에 의한 해석(De analysi per aequationes numero terminorum infinitas)》에서 무한한 항의 방정식을 언급했다.^[22]

4. 수학

수학에서 무한은 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 의미하며, 집합의 크기, 극한, 무한 급수 등 다양한 개념으로 나타난다.^[23] 헤르만 바일은 수학을 "무한의 과학"이라고 표현했다.

실해석학과 복소해석학에서 무한대는 극한 개념을 나타내는 데 사용된다.

'''실해석학''': #실해석학 하위 섹션 참고.
'''복소해석학''': #복소해석학 하위 섹션 참고.

4. 1. 기호

수학에서 무한대 기호

\infty

는 무한의 개념을 나타내는 기호이다. 존 윌리스가 1655년에 처음 사용했으며,^[26]^[27] 렘니스케이트라고도 불린다.^[24] 이 기호는 유니코드에서 U+221E, LaTeX에서는 `\infty`로 인코딩된다. 도입 이후 현대 신비주의^[28]와 문학적 상징 외에도 수학 외의 분야에서 사용되었다.^[29]

4. 2. 집합론

게오르크 칸토어는 집합론을 통해 무한 집합의 크기를 비교하는 방법을 제시하고, 초한수 체계를 도입했다. 이 체계에서 첫 번째 초한 기수는 알레프-0(

\aleph_0

)이며, 이는 자연수 집합의 기수이다. 이러한 양적 무한대에 대한 현대 수학적 개념은 칸토어, 고틀로프 프레게, 리하르트 데데킨트 등의 연구에서 19세기 후반에 개발되었으며, 집합의 개념을 사용했다.^[1]

데데킨트는 일대일 대응을 집합의 크기 비교 기준으로 채택하고, 전체가 부분과 같은 크기일 수 없다는 유클리드의 견해를 거부했다. 무한 집합은 적어도 하나의 진부분집합과 같은 크기를 갖는 집합으로 정의될 수 있으며, 이러한 무한대 개념을 데데킨트 무한이라고 한다.^[39]

칸토어는 연속체의 기수

\mathbf c

가 자연수의 기수

{\aleph_0}

보다 크다는 것을 보였다. 즉, 실수가 자연수보다 더 많다는 것이다. 칸토어는

\mathbf{c}=2^{\aleph_0}>{\aleph_0}

임을 보였다.^[42] 연속체 가설은 실수와 자연수의 기수 사이에 기수가 없다는 것을 의미하며,

\mathbf{c}=\aleph_1=\beth_1

로 나타낸다. 이 가설은 체르멜로-프렝켈 집합론 내에서는 선택 공리를 가정하더라도 증명하거나 반증할 수 없다.^[43]

4. 2. 1. 기수와 서수

게오르크 칸토어는 무한수를 기수와 서수로 구분했다. 서수는 정렬 집합의 순서를 나타내며, 기수는 집합의 크기를 나타낸다. 칸토어는 무한 집합의 크기를 나타내기 위해

\aleph

(알레프)라는 기호를 도입했다.^[40]

자연수 집합의 기수는 알레프-0(

\aleph_0

)이며, 이는 가장 작은 무한 기수이다. 정수 전체의 집합이나 유리수 전체의 집합의 크기도

\aleph_0

이며, 이 무한을 가산 무한이라고 부른다.

\aleph_0

보다 큰 기수로는

\aleph_1

,

\aleph_2

등이 있다. 실수 전체의 집합의 기수는

2^{\aleph_0}

으로 표현되며, 이는 비가산 무한이다.^[40]

칸토어는

\aleph_0

보다 크고

2^{\aleph_0}

보다 작은 무한은 존재하지 않는다는 연속체 가설을 제시했지만, 이는 증명되지 않았다. 연속체 가설은 현대 수학 체계에서는 증명도 반증도 불가능한 명제로 알려져 있다.

4. 2. 2. 데데킨트 무한

데데킨트 무한은 자신과 일대일 대응이 가능한 진부분집합을 갖는 집합으로 정의된다.^[39] 예를 들어, 오른쪽 그림처럼 아래 파란색 선의 왼쪽 절반은 위쪽 파란색 선과 일대일 대응(녹색 대응)이 되고, 다시 전체 아래 파란색 선과도 일대일 대응(빨간색 대응)이 된다. 따라서 전체 아래 파란색 선과 그 왼쪽 절반은 같은 기수, 즉 "크기"를 갖는다. 이러한 무한대의 개념은 리하르트 데데킨트가 제시했으며, 갈릴레오의 역설에서 갈릴레오가 양의 정수와 양의 제곱수의 부분집합을 비교할 수 없다고 결론 내린 것과 대조된다.^[39]

어떤 집합이 자신과 대등한(즉 같은 농도를 갖는) 진부분집합이 존재하면 그 집합은 데데킨트 무한이라고 한다. 데데킨트 무한이 아닌 집합은 데데킨트 유한이라고 한다. 데데킨트 무한 집합은 항상 무한 집합이지만, 그 역을 증명하기 위해서는 약한 형태의 선택 공리가 필요하다. 무한 집합이 데데킨트 무한 집합이라는 것과 가산 무한 부분집합을 갖는다는 것은 동치이다.

4. 2. 3. 연속체의 기수

게오르크 칸토어의 가장 중요한 결과 중 하나는 연속체의 기수

\mathbf c

가 자연수의 기수

{\aleph_0}

보다 크다는 것이다. 즉, 실수가 자연수보다 더 많다는 것이다. 칸토어는

\mathbf{c}=2^{\aleph_0}>{\aleph_0}

임을 보였다.^[42]

연속체 가설은 실수와 자연수의 기수 사이에 기수가 없다는 것을, 즉

\mathbf{c}=\aleph_1=\beth_1

임을 나타낸다. 이 가설은 널리 받아들여지는 체르멜로-프렝켈 집합론 내에서는 선택 공리를 가정하더라도 증명하거나 반증할 수 없다.^[43]

기수 산술을 사용하면 실수선의 점의 수가 선분의 점의 수와 같다는 것을 보여줄 수 있을 뿐만 아니라, 이것이 평면의 점의 수와 같고, 실제로 모든 유한 차원 공간의 점의 수와 같다는 것을 보여줄 수 있다.^[44]

극한이 공간 채움 곡선인 프랙탈 구조의 처음 세 단계. 1차원 선에 있는 점의 수가 2차원 사각형에 있는 점의 수와 같음을 보여준다.

이러한 결과 중 첫 번째는 예를 들어 탄젠트 함수를 고려함으로써 명백해지는데, 이 함수는 구간 (-π/2, π/2)과 실수 전체 집합 사이의 일대일 대응을 제공한다. 두 번째 결과는 1878년에 칸토어에 의해 증명되었지만, 1890년에 주세페 페아노가 공간 채움 곡선을 도입했을 때 직관적으로 명백해졌다. 이 곡선은 충분히 꼬이고 구부러져서 모든 사각형, 또는 정육면체, 또는 초입방체, 또는 유한 차원 공간을 채운다. 이러한 곡선은 사각형의 한쪽에 있는 점과 사각형 내의 점 사이에 일대일 대응을 정의하는 데 사용할 수 있다.^[45]

4. 3. 해석학

해석학은 수학의 한 분야로, 극한, 무한 급수 등과 같은 개념을 다룰 때 무한의 개념을 사용한다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 무한소와 무한량을 수학적으로 사용하려고 시도한 대표적인 인물이다. 그는 무한소와 무한량이 실제 수와는 다른 이상적인 존재이지만, 연속성의 법칙에 따라 같은 속성을 가진다고 보았다.

실해석학과 복소해석학에서 무한대는 극한의 개념을 나타내기 위해 사용되는데, 자세한 내용은 다음과 같다.

'''실해석학''': #실해석학 하위 섹션 참고.
'''복소해석학''': #복소해석학 하위 섹션 참고.

4. 3. 1. 실해석학

실해석학에서 기호

\infty

는 "무한대"라고 불리며 극한이 무한대임을 나타내는 데 사용된다.^[32] 표기법

x \rightarrow \infty

는 ''

x

''가 제한 없이 증가한다는 것을 의미하며,

x \to -\infty

는 ''

x

''가 제한 없이 감소한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 모든 ''

t

''에 대해

f(t)\ge 0

이면,^[33]

$\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty$ 는 $f(t)$ 가 $a$ 에서 $b$ 까지 유한한 면적을 갖지 않는다는 것을 의미한다.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty$ 는 $f(t)$ 아래의 면적이 무한대임을 의미한다.
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a$ 는 $f(t)$ 아래의 총 면적이 유한하고 $a$ 와 같다는 것을 의미한다.

무한대는 또한 다음과 같이 무한 급수를 설명하는 데에도 사용될 수 있다.

$\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a$ 는 무한 급수의 합이 어떤 실수 $a$ 로 수렴한다는 것을 의미한다.
$\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty$ 는 무한 급수의 합이 부분합이 제한 없이 증가한다는 의미에서 무한대로 제대로 발산한다는 것을 의미한다.^[34]

극한을 정의하는 것 외에도, 무한대는 확장된 실수 체계에서 값으로 사용될 수 있다.

+\infty

와

-\infty

로 표시된 점을 실수의 위상 공간에 추가하여 실수의 2점 콤팩트화를 생성할 수 있다. 이에 대수적 성질을 추가하면 확장된 실수가 된다.^[35] 또한

+\infty

와

-\infty

를 동일하게 취급하여 실수의 1점 콤팩트화를 얻을 수 있으며, 이는 실수 투영선이다.^[36]

4. 3. 2. 복소해석학

복소해석학에서 기호

\infty

는 "무한대"라고 불리며, 부호가 없는 무한 극한을 나타낸다.

x \rightarrow \infty

는 ''

x

''의 크기

|x|

가 할당된 모든 값을 넘어 증가한다는 것을 의미한다. 점

\infty

은 복소 평면에 위상 공간으로 추가될 수 있으며, 복소 평면의 일점 컴팩트화를 제공한다. 이렇게 하면 결과 공간은 1차원 복소 다양체, 즉 리만 곡면이며, 이를 확장된 복소 평면 또는 리만 구라고 한다.^[38] 확장된 실수에 대해 주어진 것과 유사한 산술 연산도 정의할 수 있지만, 부호에 차이가 없다는 점이 다르다(무한대는 자기 자신에 더할 수 없다는 예외가 있다). 반면에 이러한 종류의 무한대는 0으로 나누기를 가능하게 하며, 0이 아닌 모든 복소수 ''

z

''에 대해

z/0 = \infty

이다. 이러한 맥락에서, 유리형 함수를 극점에서

\infty

의 값을 취하는 리만 구로의 사상으로 간주하는 것이 종종 유용하다. 복소수 값을 갖는 함수의 정의역은 무한대점을 포함하도록 확장될 수도 있다. 이러한 함수의 중요한 예는 뫼비우스 변환 그룹이다.

4. 4. 비표준 해석학

아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 처음으로 정립한 미적분학은 무한소량을 사용했다. 20세기 후반에 들어서 이 방법은 매끄러운 무한소 해석과 비표준 해석을 포함한 다양한 논리 체계를 통해 엄밀한 기반을 갖출 수 있다는 것이 밝혀졌다. 비표준 해석학에서 무한소는 가역적이며, 그 역수는 무한대이다. 이 의미에서의 무한대는 초실수의 일부이며, 칸토어적 초한수와 같이 그들 사이의 동등성은 존재하지 않는다. 예를 들어, H가 이 의미에서 무한대라면, H + H = 2H와 H + 1은 서로 다른 무한대이다. 이러한 비표준 미적분학 접근 방식은 완전히 발전되었다.^[68]

4. 5. 기하학

19세기 말까지 무한은 기하학에서 어떤 제한도 없이 계속될 수 있는 과정이라는 맥락에서만 주로 논의되었다. 예를 들어, 당시 선은 현재 선분이라고 불리는 것으로, 원하는 만큼 확장할 수 있다는 단서가 있었다. 그러나 "무한히" 연장하는 것은 불가능했다. 마찬가지로 선은 무한히 많은 점으로 구성된 것으로 간주되지 않고, 점을 배치할 수 있는 위치로 간주되었다.

사영 기하학은 실무한을 포함하는 수학적 개념의 드문 예 중 하나였으며, 무한원점을 유클리드 공간에 추가하여 평행선이 "무한대에서" 교차하는 원근법 효과를 모델링했다. 수학적으로 무한원점은 몇 가지 특수한 경우를 고려하지 않아도 된다는 장점이 있었다. 예를 들어, 사영 평면에서 서로 다른 두 선은 정확히 한 점에서 교차하지만, 무한원점이 없으면 평행선에 대한 교차점이 없다. 따라서 고전 기하학에서는 평행선과 비평행선을 별도로 연구해야 했지만, 사영 기하학에서는 그럴 필요가 없었다.

수학의 기초에 대한 집합론의 사용 이전에는 점과 선이 별개의 개체로 간주되었으며, 점은 "선 위에 위치"할 수 있었다. 그러나 수학에서 집합론이 보편적으로 사용되면서 관점이 크게 바뀌었다. 이제 선은 "그 점들의 집합"으로 간주되며, 점이 "선 위에 위치"하는 대신 "선에 속한다"라고 말한다. 특히 현대 수학에서 선은 "무한 집합"이다.

4. 5. 1. 무한 차원

고전적인 기하학에서 나타나는 벡터 공간은 항상 유한한 차원을 가지며, 일반적으로 2 또는 3차원이다. 그러나 이는 벡터 공간의 추상적인 정의에 의해 암시되는 것은 아니며, 무한 차원의 벡터 공간도 고려될 수 있다. 이는 일반적으로 함수 해석학에서 함수 공간이 무한 차원의 벡터 공간인 경우이다.

위상수학에서 일부 구성은 무한 차원의 위상 공간을 생성할 수 있다. 특히, 이는 반복 루프 공간의 경우이다.

4. 6. 프랙탈

프랙탈 객체의 구조는 확대 과정에서 반복적으로 나타난다. 프랙탈은 구조를 잃거나 "매끄럽게" 되지 않고 무한히 확대될 수 있다. 프랙탈은 무한한 둘레를 가질 수 있으며, 무한 또는 유한한 면적을 가질 수 있다. 무한한 둘레와 유한한 면적을 가진 그러한 프랙탈 곡선 중 하나는 코흐 눈송이이다.^[46]

5. 과학

물리학에서, 실수의 근사는 연속 측정에 사용되고, 자연수는 이산 측정(예: 세기)에 사용된다. 무한 평면파와 같은 무한한 것에 대한 개념이 존재하지만, 이를 생성할 실험적 수단은 없다.^[48]

5. 1. 물리학

물리학에서, 실수의 근사는 연속 측정에 사용되고, 자연수는 이산 측정(예: 세기)에 사용된다. 무한 평면파와 같은 무한한 것에 대한 개념이 존재하지만, 이를 생성할 실험적 수단은 없다.^[48]

5. 2. 우주론

우주론자들은 오랫동안 물리적 우주에 무한이 존재하는지, 즉 무한한 수의 별이 있는지, 우주가 무한한 부피를 가지고 있는지, 공간이 "영원히 계속되는지"를 탐구해왔다. 이는 여전히 물리 우주론의 열린 질문이다. 무한성 여부는 경계가 있는지 여부와 논리적으로 분리되어 있다.^[51]

우주의 곡률은 다중극 모멘트를 통해 우주 배경 복사 스펙트럼에서 측정할 수 있다. 지금까지 WMAP 우주선이 기록한 방사 패턴 분석 결과, 우주는 평탄한 위상을 가지고 있음을 시사한다. 이는 무한한 물리적 우주와 일치할 수 있다.^[52]^[53]^[54]

그러나 우주의 곡률이 평탄하더라도 우주는 유한할 수 있다. 3차원 공간에도 유한하고 평탄한 많은 가능성이 존재한다.^[55]

무한의 개념은 다중 우주 가설로 확장되며, 미치오 카쿠와 같은 천체 물리학자들은 무한한 수와 다양한 우주가 존재한다고 가정한다.^[56] 또한, 순환 모형은 무한한 양의 빅뱅을 가정하여, 무한한 순환 속에서 각 빅 뱅 사건 후에 무한한 다양성의 우주가 발생한다고 주장한다.^[57]

6. 논리학

논리학에서 무한 퇴행 논증은 어떤 명제에 결함이 있음을 보여주기 위한 철학적인 논증 방식이다. 이는 그러한 계열이 존재하지 않거나, 존재하더라도 그 명제가 수행해야 할 역할(예: 정당화)을 수행하지 못할 때 무한한 계열을 생성하기 때문이다.^[58]

7. 컴퓨팅

IEEE 부동 소수점 표준(IEEE 754)은 양의 무한대 값과 음의 무한대 값을 명시한다. 이는 산술 오버플로, 0으로 나누기 및 기타 예외적인 연산의 결과로 정의된다.^[59]

자바^[60]와 J^[61]와 같은 일부 프로그래밍 언어는 프로그래머가 언어 상수로서 양의 무한대 값과 음의 무한대 값에 명시적으로 접근할 수 있도록 허용한다. 이 값들은 다른 모든 값보다 크거나 작게 비교되므로 최대 및 최소 원소로 사용할 수 있다. 이는 정렬, 검색, 또는 윈도잉과 관련된 알고리즘에서 센티넬 값으로 사용된다.

최대 및 최소 원소를 갖지 않지만 연산자 오버로딩을 허용하는 언어에서는 프로그래머가 최대 및 최소 원소를 ''생성''할 수 있다. 프로그램의 초기 상태에서 이러한 값에 대한 명시적인 접근을 제공하지 않지만 부동 소수점 데이터 타입을 구현하는 언어에서는 무한대 값도 특정 연산의 결과로 접근하고 사용할 수 있다.

프로그래밍에서 무한 루프는 종료 조건이 충족되지 않아 무기한으로 실행되는 루프이다.

8. 예술

원근법을 사용한 미술 작품은 관찰자로부터 무한히 먼 거리에 위치한 수학적 무한점에 해당하는 소실점의 개념을 사용한다. 이를 통해 예술가들은 공간, 거리, 형태를 현실적으로 묘사하는 그림을 만들 수 있다.^[62] 예술가 M.C. 에셔는 이 방법과 다른 방법으로 자신의 작품에 무한대의 개념을 사용하는 것으로 특히 유명하다.^[63]

9. 게임

무한 체스는 경계가 없는 보드에서 진행되는 체스의 변형이다.^[64]^[65]

10. 인지 과학

인지 과학자 조지 레이코프는 수학 및 과학에서 무한대의 개념을 은유로 간주한다. 이러한 관점은 <1, 2, 3, …>로 정의되는 끊임없이 증가하는 수열인 무한대의 기본 은유(BMI)에 기초한다.^[66]

참조

_[1] 웹사이트 The History of Infinity https://www.math.tam[...] 2019-11-15
_[2] 서적 The Princeton companion to mathematics https://www.worldcat[...] Princeton University Press
_[3] harvnb
_[4] 간행물 What Does it Take to Prove Fermat's Last Theorem? Grothendieck and the Logic of Number Theory https://www.cambridg[...] 2014-01-15
_[5] harvnb
_[6] 서적 Physics http://classics.mit.[...] The Internet Classics Archive
_[7] 서적 Constructive Mathematics Springer
_[8] 문서
_[9] 간행물 "The Thirteen Books of Euclid's Elements. Thomas L. Heath, Heiberg" https://www.journals[...] 1928-03
_[10] 서적 The origins of science; an inquiry into the foundations of Western thought https://archive.org/[...] London, Allen and Unwin 2020-01-09
_[11] 서적 Euclid's Elements of Geometry http://farside.ph.ut[...] Lulu.com
_[12] 서적 The Thirteen Books of Euclid's Elements https://books.google[...] The University Press
_[13] 서적 "In the Beginning Was the'' Apeiron'': Infinity in Greek Philosophy" Franz Steiner Verlag
_[14] 웹사이트 Zeno's Paradoxes https://plato.stanfo[...] 2017-04-03
_[15] harvnb
_[16] 서적 Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique https://books.google[...] Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi 2019-10-12
_[17] 서적 Infinity: a Very Short Introduction https://books.google[...] Oxford University Press
_[18] 서적 A History of Mathematical Notations https://books.google[...] Cosimo, Inc.
_[19] harvnb
_[20] 웹사이트 Arithmetica Infinitorum https://archive.org/[...]
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