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볼츠만 인자

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목차

1. 개요

볼츠만 인자는 열평형 상태에 있는 계에서 특정 미시적 상태가 나타날 상대적인 확률을 결정하는 가중치 인자이다. 볼츠만 인자는 exp(-βE(ω))로 표현되며, 여기서 E(ω)는 미시적 상태의 에너지, β는 역온도(1/kBT), kB는 볼츠만 상수, T는 절대 온도이다. 볼츠만 인자는 볼츠만 분포를 통해 미시적 상태의 확률을 계산하는 데 사용되며, 분배 함수 Z를 통해 정규화된다.

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볼츠만 인자
볼츠만 인자
로마자 표기Bolcheuman Inja
수학 및 물리학
정의열역학 시스템의 특정 상태가 점유될 확률에 영향을 미치는 인자.
기본 식exp(−E/kT)
E상태의 에너지
k볼츠만 상수
T절대 온도
의미에너지가 낮은 상태가 점유될 가능성이 더 높고, 온도가 높을수록 상태 점유 확률 차이가 줄어든다.
응용맥스웰-볼츠만 분포, 아레니우스 방정식, 평형 상수 등 다양한 분야에서 활용.
역사
개발자루트비히 볼츠만
개발 시기19세기 후반
상세 정보
열역학적 의미주어진 온도에서 특정 에너지 상태를 갖는 입자의 상대적인 확률을 설명한다.
통계역학적 의미시스템의 분배 함수를 계산하는 데 사용되며, 시스템의 열역학적 특성을 결정하는 데 중요한 역할을 한다.
중요도열역학 및 통계역학의 핵심 개념 중 하나이며, 다양한 자연 현상을 이해하는 데 필수적이다.

2. 볼츠만 인자

열평형 상태에 있는 계에서 미시적 상태가 나타날 확률은 해당 상태의 에너지를 사용하여 볼츠만 분포로 기술된다.

2. 1. 정의

열평형 상태에 있는 계에서 입자의 출입이 없고 부피도 변하지 않을 때, 미시적 상태 ω가 나타날 확률 P(ω)는 미시적 상태 ω의 에너지 E(ω)를 사용하여 다음과 같은 볼츠만 분포로 기술된다.

:P(\omega) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E(\omega))}

여기서 β는 역온도이며, 다음과 같이 주어진다.

:\beta = \frac{1}{k_\mathrm{B}T}

kB는 볼츠만 상수, T는 온도이다.

Z는 분배 함수라고 불리며, 계의 모든 상태의 볼츠만 인자의 총합으로 구해진다.

: Z = \Sigma\exp{(-\beta E(\omega))}

이때, 다음 항을 '''볼츠만 인자'''라고 부른다.

:\exp{(-\beta E(\omega))} = \exp{(-E(\omega)/k_\mathrm{B}T)}

볼츠만 인자는 미시적 상태 ω가 나타날 상대적 확률을 결정하는 가중치 인자이다.

에너지 E를 가질 확률 P(E)는 에너지 E의 상태가 축퇴되어 있지 않을 때, 다음과 같다.

: P(E) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E)}

에너지 E의 상태가 축퇴되어 있을 때, 그 중복도를 g(E)라고 하면, 다음과 같다.

: P(E) = \frac{1}{Z}g(E)\exp{(-\beta E)}

2. 2. 의미

볼츠만 인자는 미시적 상태 ω가 나타날 상대적 확률을 결정하는 가중치 인자이다.

에너지 E를 가질 확률 P(E)는 에너지 E의 상태가 축퇴되어 있지 않을 때 다음과 같다.

:P(E) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E)}

에너지 E의 상태가 축퇴되어 있을 때, 그 중복도를 g(E)라고 하면 다음과 같다.

:P(E) = \frac{1}{Z}g(E)\exp{(-\beta E)}

여기서 Z는 분배 함수로, 계의 모든 상태의 볼츠만 인자의 총합이다.

3. 볼츠만 인자의 유도

열역학적 평형 상태와 등확률의 원리를 이용하면 볼츠만 인자를 유도할 수 있다. 자세한 유도 과정은 하위 섹션을 참고하라.

3. 1. 가정

미시적 상태 ωi (i = 1, 2, ...)를 가질 수 있는 계 S가 자신보다 훨씬 큰 외부 열욕 R과 접촉하여 열평형 상태에 있다고 가정한다. 계 S와 R 사이에는 에너지 교환만 가능하며, 입자 출입과 부피 변화는 없다고 가정한다. 에너지 보존 법칙에 따라 전체 에너지 E는 다음과 같이 주어진다.

: E = ES + ER = const

여기서 ER은 열욕의 에너지를 나타낸다. 열욕 R은 계 S보다 훨씬 크므로, ER ≫ ES이다.

3. 2. 유도 과정

계(system) S가 미시적 상태 ωi (i = 1, 2, ...)를 가질 수 있고, 이 계가 자신보다 훨씬 큰 외부의 열욕 R (reservoir)과 접촉하여 열평형에 있다고 가정한다. 계 S가 미시적 상태 ωi에 있을 때 에너지를 ES = E(ωi)라고 한다. S와 R 사이에는 에너지 교환은 가능하나, 입자 출입은 없고 부피도 변하지 않는다. 에너지 보존 법칙에 의해, 계와 열욕을 합한 전체 에너지 E는 다음과 같다.

:E = E_\mathrm{S} + E_\mathrm{R} = \mathrm{const}

여기서 ER은 열욕의 에너지이다. 열욕 R은 계 S보다 훨씬 크므로, ER ≫ ES이다.

열평형 상태에서 열욕 R과 계 S의 상태 수를 ΩR, ΩS라고 하면, 계 S가 미시적 상태 ωj에 있을 확률 P(ωj)는 등확률의 원리에 의해 열욕 R의 상태 수에 비례한다. 계 S의 에너지 E(ωj)를 사용하면, 열욕 R의 에너지는 ER = E − E(ωj)이므로, 열욕 R의 상태 수는 ΩR(E − E(ωj))이다.

두 상태의 확률 비는 다음과 같다.

:\frac{P(\omega_2)}{P(\omega_1)} = \frac{\Omega_R(E-E(\omega_2))}{\Omega_R(E-E(\omega_1))}

열욕 R의 상태 수는 열욕 R의 엔트로피와 다음과 같이 관련된다.

:S_\mathrm{R}(E-E(\omega_j)) = k_\mathrm{B} \ln[\Omega_\mathrm{R}(E-E(\omega_j))]

다음과 같이 확률 비를 표현할 수 있다.

:\frac{P(\omega_2)}{P(\omega_1)}

= \frac{\exp [{S_\mathrm{R}(E-E(\omega_2))} / {k_\mathrm{B}}]}{\exp [{S_\mathrm{R}(E-E(\omega_1))} / {k_\mathrm{B}}]}

= \exp \left[ \frac{S_R(E-E(\omega_2)) - S_R(E-E(\omega_1))}{k_\mathrm{B}} \right]

E(ωj) ≪ E 이므로,

:S_R(E-E(\omega_j))= S_R(E) - \frac{\mathrm dS_R(E)}{\mathrm dE}E(\omega_j)

따라서

:S_R(E-E(\omega_2)) - S_R(E-E(\omega_1)) = -\frac{\mathrm dS_R(E)}{\mathrm dE}(E(\omega_2)-E(\omega_1))

입자 출입이 없으므로, 열욕에서 열역학 기본 관계식은,

:\mathrm dS_\mathrm{R} = \frac{\mathrm dE_\mathrm{R} + P\mathrm dV_\mathrm{R}}{T}

여기서, SR은 엔트로피, ER은 내부 에너지, P는 압력, V는 부피이다.

부피는 변하지 않으므로,

:\frac{\mathrm dS_R(E_R)}{\mathrm dE_R} = \frac{1}{T}

따라서

:S_R(E-E(\omega_2)) - S_R(E-E(\omega_1)) = -\frac{E(\omega_2)-E(\omega_1)}{T}

확률의 비에 대입하면 다음 식이 주어진다.

:\frac{P(\omega_2)}{P(\omega_1)} = \exp \left( - \frac{E(\omega_2)-E(\omega_1)}{k_\mathrm{B} T} \right) = \frac{\exp{(-\beta E(\omega_2))}}{\exp{(-\beta E(\omega_1))}}

여기서 볼츠만 상수와 온도의 곱의 역수인 β를 도입했다.

변수 분리 후, 상태에 의존하지 않는 상수를 1/Z라고 하면, 다음 관계식을 얻는다.

:\frac{P(\omega_2)}{\exp{(-\beta E(\omega_2))}} = \frac{P(\omega_1)}{\exp{(-\beta E(\omega_1))}} = \mathrm{const} = \frac{1}{Z}

그러므로

:P(\omega_i) = \frac{1}{Z}\exp{(-\beta E(\omega_i))}

이다.

여기서, 모든 미시적 상태에 대해 합을 취하면, 좌변의 확률의 합은 1이 되므로,

:1 = \frac{\Sigma\exp{(-\beta E(\omega_i))}} {Z}

따라서

:Z = \Sigma\exp{(-\beta E(\omega_i))}

가 되고, 분배 함수 Z가 구해진다.


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