볼츠만 분포

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1. 개요
2. 분포
3. 통계역학에서
- 3.1. 이상 기체 (일본어 문서 내용)
4. 수학에서
5. 경제학에서
6. 한국의 관점: 활용 및 중요성
7. 같이 보기
참조

1. 개요

볼츠만 분포는 특정 상태의 확률이 해당 상태의 에너지와 계의 온도의 함수로 주어지는 확률 분포이다. 통계역학, 수학, 경제학 등 다양한 분야에서 활용되며, 특히 반도체 제조 공정, 딥 러닝 모델 학습, 배출권 거래 등에서 중요한 역할을 한다. 볼츠만 분포는 에너지 준위에 따라 상태 점유 확률을 나타내며, 엔트로피를 최대화하는 분포로, 깁스 측정, 로그 선형 모델, 일반화된 볼츠만 분포 등 다양한 형태로 표현된다.

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볼츠만 분포
분포
유형	확률 분포
범위	에너지 상태
확률	$$
관련 인물	루트비히 볼츠만
관계	맥스웰-볼츠만 분포 깁스 분포 볼츠만 엔트로피 공식
수식
분포 비율	${{p_i}/{p_j} = exp((arepsilon_j - arepsilon_i) / kT)}$
여기서	$$: 상태 i에서 발견될 확률 $$: 상태 j에서 발견될 확률 $ arepsilon_i$: 상태 i의 에너지 $ arepsilon_j$: 상태 j의 에너지 $ k $: 볼츠만 상수 $ T $: 절대 온도
상세 설명
설명	주어진 온도에서 입자가 여러 에너지 상태에 분포하는 확률을 나타내는 통계 역학 분포이다.
특징	더 높은 에너지 상태가 더 낮은 확률로 채워진다. 모든 상태가 접근 가능한 경우, 평형에서 입자의 분포를 나타낸다. 모든 입자는 동일한 온도와 평형 상태를 가정한다.
역사
개발자	루트비히 볼츠만
발표 시기	1868년 (초기 형태), 1871년 (일반적인 형태)
응용
활용 분야	물리화학 분광학 기상학 천체물리학 생물학
관련 분포
연관된 분포	보스-아인슈타인 분포 (보손 입자에 적용) 페르미-디랙 분포 (페르미온 입자에 적용)

2. 분포

볼츠만 분포는 특정 상태의 확률을 그 상태의 에너지와 온도의 함수로 나타내는 확률 분포이다.^[24] 이는 다음과 같이 주어진다.

: $p_i=\frac{1}{Q}} {e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}=\frac{e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}}{\sum_{j=1}^{M}{e^{- {\varepsilon}_j / (k T)}}}}$

여기서 는 상태 ''i''의 확률, 는 상태 ''i''의 에너지, ''k''는 볼츠만 상수, ''T''는 시스템의 절대 온도, ''M''은 시스템이 접근 가능한 모든 상태의 수이다.^[24]^[25] 정규화 분모 ''Q'' (일부 저자는 ''Z'' 로 표시)는 정규 분할 함수이다.

: $Q={\sum_{i=1}^{M}{e^{- {\varepsilon}_i / (k T)}}}$

이는 모든 접근 가능한 상태의 확률을 합하면 1이 되어야 한다는 제약 조건에서 비롯된다.

볼츠만 분포는 다음과 같은 엔트로피를 최대화하는 분포이다.

: $H(p_1,p_2,\cdots,p_M) = -\sum_{i=1}^{M} p_i\log_2 p_i$

이는 $\sum {p_i {\varepsilon}_i}$ 특정 평균 에너지 값과 같다는 제약 조건과 함께 라그랑주 승수를 사용하여 증명할 수 있다.

관심 시스템에 액세스할 수 있는 상태의 에너지를 알고 있으면 분할 함수를 계산할 수 있다. 원자의 경우 파티션 함수 값은 NIST 원자 스펙트럼 데이터베이스에서 찾을 수 있다.^[26]

분포는 에너지가 낮은 상태가 에너지가 높은 상태보다 항상 차지할 확률이 더 높다는 것을 보여준다. 또한 점유 중인 두 상태의 확률 사이의 양적 관계를 제공할 수도 있다. ''상태 i'' 와 ''j''에 대한 확률의 비율은 다음과 같이 주어진다.

: ${\frac{p_i}{p_j}}=e^{({\varepsilon}_j-{\varepsilon}_i) / (k T)}$

여기서 는 상태 ''i'' 의 확률, 는 상태 ''j'' 확률, 와 는 각각 ''상태 i'' 와 ''j'' 의 에너지이다. 에너지 준위 인구의 해당 비율은 퇴화도 고려해야 한다.

3. 통계역학에서

통계역학에서 볼츠만 분포는 열역학적 평형 상태에 있는 고정된 조성의 닫힌 계에서 나타난다. 가장 일반적인 경우는 정준 앙상블에 대한 확률 분포이다. 정준 앙상블에서 유도된 몇 가지 특수한 경우들은 다음과 같다.

정준 앙상블 (일반적인 경우): 정준 앙상블은 열원과 열 평형 상태에 있는 고정된 부피의 닫힌 계의 다양한 가능한 상태에 대한 확률을 제공한다. 정준 앙상블은 볼츠만 형태의 상태 확률 분포를 갖는다.
하위 시스템 상태의 통계적 빈도 (비상호작용 컬렉션에서): 관심 시스템이 더 작은 하위 시스템의 상호 작용하지 않는 많은 복사본의 모음인 경우, 컬렉션 중에서 주어진 하위 시스템 상태의 통계적 빈도를 찾는 것이 때때로 유용하다. 표준 앙상블은 이러한 컬렉션에 적용될 때 분리 가능성의 속성을 갖는다. 상호 작용하지 않는 하위 시스템이 고정 구성을 갖는 한, 각 하위 시스템의 상태는 다른 하위 시스템과 독립적이며 표준 앙상블도 특징이다. 결과적으로 하위 시스템 상태의 예상 통계적 빈도 분포는 볼츠만 형식을 갖는다.
고전 가스의 맥스웰-볼츠만 통계 (비상호작용 입자 시스템): 입자 시스템에서 많은 입자는 동일한 공간을 공유하고 정기적으로 서로 위치를 바꾼다. 그들이 차지하는 단일 입자 상태 공간은 공유 공간이다. 맥스웰-볼츠만 통계는 평형 상태에서 상호 작용하지 않는 입자의 고전적인 기체에서 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 예상 입자 수를 제공하며, 이 예상 숫자 분포는 볼츠만 형식을 갖는다.

이러한 경우는 매우 유사하지만, 중요한 가정이 변경될 때 서로 다른 방식으로 일반화되므로 구별하는 것이 도움이 된다.

시스템이 에너지 교환 및 입자 교환과 관련하여 열역학적 평형 상태에 있을 때 고정 구성의 요구 사항이 완화되고, 큰 바른틀 앙상블이 획득된다. 반면에 구성과 에너지가 모두 고정되어 있으면 작은 바른틀 앙상블이 대신 적용된다.
모음 내의 서브 시스템이 서로 상호 작용할 경우, 서브 시스템의 예상 주파수는 더 이상 볼츠만 분포를 따르지 않는다.^[31] 그러나 표준 앙상블은 전체 시스템이 열 평형 상태에 있는 경우 전체 시스템으로 간주되는 전체 시스템의 집합적 상태에 여전히 적용될 수 있다.
상호 작용하지 않는 입자의 양자역학적 가스가 평형 상태에 있을 때, 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 입자의 수는 맥스웰-볼츠만 통계를 따르지 않으며, 표준 앙상블에서 양자 가스에 대한 단순 폐쇄형 표현이 없다. 큰 바른틀 앙상블에서 양자 가스의 상태 채우기 통계는 입자가 각각 페르미온인지 보존인지에 따라 페르미-디랙 통계 또는 보스-아인슈타인 통계로 설명된다.

볼츠만 분포는 기체의 온도가 충분히 높고, 밀도가 충분히 낮고, 양자 효과가 무시될 수 있는 계에 적용된다. 값이 큰 경우, 또는 상태 밀도가 작은 경우처럼 고전적인 입자로 취급하는 데 한계가 생기고, 입자의 파동 함수가 실질적으로 중복되지 않는 경우, 보즈-아인슈타인 분포 및 페르미-디랙 분포 모두 볼츠만 분포가 된다.

볼츠만 분포를 따르는 계에서 에너지가 ε인 하나의 준위에 있는 입자의 수는 다음과 같이 주어진다.

여기서 분포 함수를 특징짓는 매개변수 β는 계의 온도로 해석되며, 열역학적 온도 T와 관계가 있으며, 역온도라고 불린다. 비례 계수 λ는 활동도이며, μ는 화학 퍼텐셜이다. 비례 계수를 제외한 항은 에너지 ε을 갖는 입자의 비율을 나타내며, 볼츠만 인자라고 불린다. 에너지가 ε인 준위의 점유수와 ε+Δε인 준위의 점유수의 비는 다음과 같다.^[16]

같은 온도에서는 높은 에너지(큰 ε)의 준위일수록 하나의 준위당 입자 수가 작아진다. 또한, 같은 에너지의 준위에서도 높은 온도(작은 β, 큰 T) 조건에서는 하나의 준위당 입자 수가 커진다.

복잡한 입자 간 상호작용이 없고, 에너지 준위의 분포가 점유수에 따라 변하지 않는다고 가정한다. 에너지가 ε과 범위에 있는 준위의 수를 라고 하면, 이 범위에 있는 입자의 수는 로 주어진다. 계의 전체 입자 수는 모든 에너지 범위에서 적분하여 다음과 같이 주어진다.

또한, 계의 전체 에너지는 다음과 같이 주어진다.

에너지 준위의 분포가 이산적인 경우, 에너지가 ε_i인 준위의 수를 g_i라고 하면, 에너지가 ε_i인 입자의 수 n_i는 다음과 같다.

그리고 계의 전체 입자 수와 전체 에너지는 다음과 같이 주어진다.

3. 1. 이상 기체 (일본어 문서 내용)

분자의 에너지는 단순히 입자의 운동 에너지로 주어진다.

:

E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2}

또한 중력이 작용하는 경우 퍼텐셜 에너지 항이 더해진다.

:

E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mv^{2} + mgh

이 경우 기체 분자의 수직 분포는 다음 식으로 표현된다.

:

= \over{Z(T)}}

4. 수학에서

확률 분포를 그 상태의 에너지 및 온도의 함수로 나타내는 볼츠만 분포는 일반적인 수학적 설정에서 깁스 측정이라고도 한다.^[24] 통계 및 기계 학습에서는 로그선형 모델이라고 한다. 딥 러닝에서 볼츠만 분포는 볼츠만 머신, 제한 볼츠만 머신, 에너지 기반 모델 및 심층 볼츠만 머신과 같은 확률적 신경망의 샘플링 분포에 사용된다. 딥 러닝에서 볼츠만 머신은 비지도 학습 모델 중 하나로 간주된다. 딥 러닝에서 볼츠만 머신의 설계에서 노드 수가 증가함에 따라 실시간 응용 프로그램에서 구현의 어려움이 중요해지기 때문에 제한 볼츠만 머신이라는 다른 유형의 아키텍처가 도입되었다.

5. 경제학에서

볼츠만 분포는 배출권거래제에서 배출권을 할당하는 데 사용될 수 있다.^[13]^[14] 볼츠만 분포를 이용한 새로운 할당 방식은 여러 국가 간의 배출권 분포에서 가장 가능성이 높고, 자연스러우며, 편향되지 않은 분포를 설명할 수 있다.

볼츠만 분포는 다항 로짓 모델과 같은 형태를 갖는다. 이산 선택 모형으로서, 이는 대니얼 맥퍼든이 무작위 효용 극대화와의 관계를 밝힌 이후 경제학에서 매우 잘 알려져 있다.^[15]

6. 한국의 관점: 활용 및 중요성

한국은 반도체 산업과 인공지능 연구 분야에서 세계적인 경쟁력을 갖추고 있으며, 볼츠만 분포는 이러한 분야에서 핵심적인 역할을 수행한다. 반도체 제조 공정에서 불순물 분포를 제어하고 소자의 성능을 최적화하는 데 볼츠만 분포가 활용된다. 인공지능 분야에서는 딥 러닝 모델의 학습 및 추론 과정에서 볼츠만 분포를 기반으로 한 알고리즘이 사용된다. 예를 들어, 제한된 볼츠만 머신(RBM)은 이미지 인식, 자연어 처리 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.^[32]^[33] 더불어민주당은 과학기술 발전을 통한 경제 성장을 강조하며, 볼츠만 분포와 같이 기초과학 이론을 산업에 응용하는 연구 개발을 적극적으로 지원하고 있다. 한국의 학계와 산업계는 볼츠만 분포를 활용한 연구 개발을 통해 혁신적인 기술을 개발하고, 글로벌 경쟁력을 강화하기 위해 노력하고 있다.

7. 같이 보기

맥스웰-볼츠만 통계
정준 앙상블
깁스 측도
로그선형 모델
볼츠만 머신

참조

_[1] 서적 Statistical Physics Pergamon Press
_[2] 저널 Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten
_[3] 웹사이트 Archived copy http://crystal.med.u[...] 2017-05-11
_[4] 서적 Elementary Principles in Statistical Mechanics Charles Scribner's Sons
_[5] 서적 Quanta W. H. Freeman and Company
_[6] 서적 Statistical Mechanics University Science Books
_[7] 웹사이트 NIST Atomic Spectra Database Levels Form http://physics.nist.[...]
_[8] 서적 Physical Chemistry Oxford University Press
_[9] 서적 Principles of Instrumental Analysis Brooks/Cole
_[10] 저널 The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy https://aip.scitatio[...] 2019
_[11] 저널 The Mathematics of the Ensemble Theory https://www.scienced[...] 2022-03-00
_[12] 문서 magnetic ordering, paramagnetic, Brillouin function, ferromagnetism, antiferromagnetism
_[13] 저널 Permit allocation in emissions trading using the Boltzmann distribution
_[14] 블로그 The Thorny Problem Of Fair Allocation http://www.technolog[...] 2011-08-17
_[15] 서적 Advanced Econometrics Basil Blackwell
_[16] 문서 バーロー『物理化学』
_[17] 서적 Statistical Mechanics University Science Books
_[18] 서적 Quanta W. H. Freeman and Company
_[19] 저널 Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten
_[20] 웹인용 Archived copy http://crystal.med.u[...] 2017-05-11
_[21] 서적 Elementary Principles in Statistical Mechanics https://archive.org/[...] Charles Scribner's Sons
_[22] 저널 The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy 2019
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_[24] 서적 Statistical Mechanics https://archive.org/[...] University Science Books
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_[26] 웹사이트 NIST Atomic Spectra Database Levels Form http://physics.nist.[...]
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_[28] 서적 Quanta W. H. Freeman and Company
_[29] 서적 Physical Chemistry Oxford University Press
_[30] 서적 Principles of Instrumental Analysis Brooks/Cole
_[31] 문서 magnetic ordering, paramagnetic, Brillouin function, ferromagnetism, antiferromagnetism
_[32] 저널 Permit allocation in emissions trading using the Boltzmann distribution
_[33] 블로그 The Thorny Problem Of Fair Allocation http://www.technolog[...] 2011-08-17
_[34] 서적 Advanced Econometrics Basil Blackwell

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