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뵈처 방정식

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목차

1. 개요

뵈처 방정식은 함수 방정식의 해를 구하는 데 사용되는 개념으로, 함수 방정식 해는 음함수 형태의 함수이다. 1904년 루찬 에밀 뵈처가 해의 존재성을 증명했으며, 뵈처 좌표, 뵈처 함수, 뵈처 사상으로 불린다. 뵈처 좌표는 슈뢰더 함수의 로그로, 함수를 고정점 부근의 함수에 켤레화한다. 뵈처 방정식은 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계에서 중요한 역할을 하며, 뵈처 좌표의 전역 속성은 파투, 두아디, 허바드에 의해 연구되었다.

2. 정의 및 역사

함수 방정식의 해는 음함수 형태의 함수이다.

루찬 에밀 뵈처는 1904년에 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 ''a'' 부근의 해석 함수 ''F''는 다음과 같다.[1]

:F(a)= 0

이 해는 때때로 다음과 같이 불린다.


  • 뵈처 좌표
  • 뵈처 함수[2]
  • 뵈처 사상


완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,[3] 원래 공식을 알지 못했다.

뵈처 좌표(슈뢰더 함수의 로그)는 h(z)를 고정점 부근의 함수 z^n에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 h(z)가 n 차 다항식이고 '' a=\infty''인 경우이다.[4]

2. 1. 뵈처 좌표, 함수, 사상

루찬 에밀 뵈처는 1904년에 함수 방정식 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 ''a'' 부근의 해석 함수 ''F''는 다음과 같다.[1]

: F(a)= 0

이 해는 때때로 뵈처 좌표, 뵈처 함수[2], 뵈처 사상으로 불린다.

완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,[3] 원래 공식을 알지 못했다.

뵈처 좌표(슈뢰더 함수의 로그)는 h(z)를 고정점 부근의 함수 z^n에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 h(z)가 n 차 다항식이고 '' a=\infty''인 경우이다.[4]

2. 2. 뵈처와 릿의 증명

3. 해

함수 방정식의 해는 음함수 형태의 함수이다.

루찬 에밀 뵈처는 1904년에 해의 존재성에 대한 증명을 스케치했다. 고정점 ''a'' 부근의 해석 함수 ''F''는 다음과 같다.[1]

: F(a)= 0

이 해는 때때로 다음과 같이 불린다.


  • 뵈처 좌표
  • 뵈처 함수[2]
  • 뵈처 사상


완전한 증명은 1920년 조지프 릿에 의해 출판되었는데,[3] 원래 공식을 알지 못했다.

뵈처 좌표(슈뢰더 함수의 로그)는 h(z)를 고정점 부근의 함수 zn에 켤레화한다. 특히 중요한 경우는 h(z)가 n 차 다항식이고 ''a=∞''인 경우이다.[4]

==== 명시적 형식 ====

다음에 대한 뵈처 좌표는 명시적으로 계산할 수 있다.[5]

==== 예시 ====

함수 h(x) = x2 / (1 - 2x2)에 대한 뵈처 함수 ''F(x)''는 다음과 같다.[6]

: F(x)= x / (1 + x2)

3. 1. 명시적 형식

다음에 대한 뵈처 좌표는 명시적으로 계산할 수 있다.[5]

3. 2. 예시

함수 h(x) = \frac{x^2}{1 - 2x^2}에 대한 뵈처 함수 ''F(x)''는 다음과 같다.[6]

:F(x)= \frac{x}{1 + x^2}

4. 응용

뵈처 방정식은 하나의 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.[7][8][9] 뵈처 좌표의 전역 속성은 파투와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.

4. 1. 정칙 동적계에서의 역할

뵈처 방정식은 하나의 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.[7][8][9] 뵈처 좌표의 전역 속성은 파투와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.

4. 2. 파투와 두아디-허바드의 연구

뵈처 좌표의 전역 속성은 파투[7][8]와 두아디 및 허바드에 의해 연구되었다.[9] 뵈처의 방정식은 하나의 복소 변수 다항식 반복을 연구하는 정칙 동적계의 일부에서 근본적인 역할을 한다.

참조

[1] 저널 The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)
[2] 논문 On the iteration of rational functions https://www.ams.org/[...]
[3] 저널 On the iteration of rational functions
[4] 저널 Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk
[5] 웹사이트 math.stackexchange question: explicitly-calculating-greens-function-in-complex-dynamics https://math.stackex[...]
[6] 서적 Chaos https://books.google[...] Princeton University Press 2014-07-14
[7] 서적 Early Days in Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942 http://bookstore.ams[...] 2012
[8] 저널 http://www.numdam.or[...]
[9] 저널 https://web.archive.[...] 2012-01-22


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