복소해석학

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1. 개요
2. 역사
- 2.1. 한국의 복소해석학 연구
3. 복소함수
4. 정칙함수
- 4.1. 코시-리만 방정식
5. 특이점
- 5.1. 고립 특이점
- 5.2. 비고립 특이점
6. 주요 결과들
7. 다변수 복소해석학
8. 응용
참조

1. 개요

복소해석학은 18세기부터 시작된 수학의 고전적인 분야로, 복소수를 독립 변수와 종속 변수로 갖는 복소함수를 연구한다. 주요 연구 대상은 복소함수, 해석함수, 유리형 함수이며, 코시-리만 방정식, 정칙 함수, 특이점, 코시 적분 정리, 유수 정리, 테일러 급수, 로랑 급수, 리우빌 정리, 피카르의 대정리, 해석적 연속 등 다양한 개념과 정리를 다룬다. 복소해석학은 물리학, 해석적 정수론, 복소역학계, 프랙탈 도형, 공형장론, 끈 이론 등 다양한 분야에 응용되며, 전기공학, 고체역학, 유체역학 등 공학 분야에도 폭넓게 활용된다.

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복소해석학
개요
분야	수학, 해석학
하위 분야	기하 함수 이론
관련 항목	미적분학, 실해석학, 수치 해석학
역사
주요 인물	오귀스탱루이 코시 레온하르트 오일러 카를 프리드리히 가우스 자크 아다마르 기요시 오카 베른하르트 리만 카를 바이어슈트라스
기본 개념
관련 개념	복소수 실수 허수 복소평면 켤레복소수 단위원
함수
함수 종류	복소함수 해석함수 정칙함수 코시-리만 방정식 형식적 멱급수
주요 결과
관련 정리	영점과 극점 코시 적분 정리 국소 원시함수 코시 적분 공식 지표 로랑 급수 고립 특이점 유수 정리 편각 원리 등각 사상 슈바르츠 보조정리 조화 함수 라플라스 방정식 리우빌 정리 피카드 정리

2. 역사

복소해석학은 19세기 무렵 여러 수학자들에 의해 연구되기 시작한 수학의 고전적인 분야 가운데 하나이다. 레온하르트 오일러, 카를 프리드리히 가우스, 베른하르트 리만, 오귀스탱 루이 코시, 카를 바이어슈트라스 등이 초창기에 중요한 업적을 남겼고, 괴스타 미타그레플러를 포함하여 20세기에 들어서도 더 많은 수학자들이 복소해석학 연구에 동참했다.

전통적으로 복소해석학의 주제들, 그 중에서도 특히 등각사상은 물리학의 여러 분야에 응용되었으며, 해석적 수론의 연구 전반에서도 중요한 역할을 한다. 현대에는 복소 동역학이나, 해석함수를 반복 적용하여 얻는 망델브로 집합과 같은 프랙털 구조를 다루는 프랙털 기하학 등에도 응용되어 20세기 말부터 두각을 나타내고 있다. 최근의 중요한 복소함수론 응용은 물리학의 끈 이론에서 찾을 수 있다.

2. 1. 한국의 복소해석학 연구

한국에서는 오카 키요시, 노시로 키요시, 오사와 타케오와 같은 수학자들이 복소해석학을 연구하였다. 허준이 교수는 2022년 필즈상을 수상하면서, 복소해석학을 기반으로 한 그의 연구가 다시 한번 주목받았다.

3. 복소함수

일반적으로 '''복소함수'''란 독립변수와 종속변수가 모두 복소수인 함수를 말한다. 다시 말해 복소함수는 정의역과 치역이 복소평면의 부분집합인 함수로, 복소함수의 독립변수와 종속변수는 모두 실수부와 허수부로 나눌 수 있다.

: $z = x + iy\,$

: $w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\,$

:여기서 $x,y \in \mathbb{R}\,$ 이고 $u(x,y), v(x,y)\,$ 는 실함수이다.

즉, 복소함수 ''f''(''z'')는 실수부를 나타내는 함수

: $u = u(x,y)\,$

와 허수부를 나타내는 함수

: $v = v(x,y),\,$

로 나눌 수 있으며 이들 두 함수는 모두 ''x'' 와 ''y''을 독립변수로 갖는 이변수 함수이다.

기본적인 복소함수는 실함수의 정의역을 복소평면으로 확장하여 정의하는 것이 일반적이다. 예를 들어 복소함수로서의 지수함수 $f\,(z)=e^z\,$ 는 복소변수 ''z''가 실수일 때, 실함수로서의 지수함수 $f\,(x)=e^x\,$ 와 같은 값을 가질 뿐만 아니라, 실함수로서의 지수함수가 갖는 중요한 성질인

: $f\,(x+y)=e^{x+y}=e^x\,e^y=f\,(x)\,f\,(y)$

를 복소평면에서 만족하도록 정의되었다.^[3]^[10]

4. 정칙함수

복소해석학에서, 복소 평면의 열린 부분 집합에서 정의된 복소함수가 그 집합의 모든 점에서 미분가능하면, 그 함수를 '''정칙함수'''라고 한다. 복소함수가 미분가능하다는 것은 실함수가 미분가능하다는 것보다 훨씬 더 강한 조건이다.^[2] 복소함수가 한 점에서 미분가능하면, 그 함수는 무한 미분 가능하고 해석적이다. 즉, 함수의 정의역의 모든 점에서 수렴하는 멱급수로 주어진다는 것을 의미한다.

복소함수 $f: D \rightarrow \mathbb{C}\,$ 가 영역 $D \,$ 안의 모든 점에서 미분가능하면, $f \,$ 를 $D \,$ 에서 미분가능하다고 하고, 이때의 함수 $f': D \rightarrow \mathbb{C}\,$ 를 $f \,$ 의 '''도함수'''라고 한다.

지수 함수, 삼각 함수, 모든 다항 함수를 포함한 대부분의 기본 함수는 복소 인수로 적절하게 확장되어 복소 평면 전체에서 정칙 함수가 되며, 이를 전해석 함수라고 한다. 반면, $p$ 와 $q$ 가 다항식인 유리 함수 $p/q$ 는 $q$ 가 0이 되는 점을 제외하는 영역에서 정칙이며, 이러한 함수를 유리형 함수라고 한다.

정칙 함수의 중요한 속성은 코시-리만 방정식으로 알려진 실수부와 허수부의 편도함수 간의 관계이다.

4. 1. 코시-리만 방정식

해석적인 복소함수

f(z)\,

의 실수부와 허수부를 각각

u(x, y),\,\,v(x,y)\,

라고 하면,

f^\prime(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}\,

이다. 실수부와 허수부는 각각 같아야 하므로, 다음이 성립한다.

:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,

또는,

u_x=v_y \qquad u_y=-v_x.\,

이 두 방정식을 '''코시-리만 방정식'''이라고 한다.

복소 평면의 미분가능한 열린 부분 집합

\Omega

의 모든 점에서 미분가능한 복소 함수는

\Omega

에서 정칙이다.

f

의

z_0

에서의 도함수는 다음과 같이 정의된다.^[2]

:

f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.

이 극한이 존재하려면 차이 몫의 값이 복소 평면에서

z_0

에 접근하는 방식에 관계없이 동일한 복소수에 접근해야 한다. 예를 들어, 정칙 함수는 무한 미분 가능하지만 실수 함수의 경우 ''n''차 도함수의 존재가 (''n'' + 1)차 도함수의 존재를 반드시 의미하는 것은 아니다.

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

로 정의된

f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}

가, 영역

\Omega

에서 정칙이면 모든

z_0\in \Omega

에 대해,

:

\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}(z_0) = 0,\ \text{where } \frac\partial{\partial\bar{z}} \mathrel{:=} \frac12\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right).

함수의 실수부와 허수부인 ''u''와 ''v''의 관점에서 이것은 방정식 쌍

u_x = v_y

및

u_y=-v_x

와 동일하며, 여기서 아래 첨자는 편미분을 나타낸다. 그러나 코시-리만 조건은 추가적인 연속성 조건 없이는 정칙 함수를 특징짓지 못한다(루만-멘쇼프 정리 참조).

5. 특이점

복소해석학은 해석적인 영역을 주로 탐구하는 분야이지만, 복소함수에 특이점이 있는 경우 특이점을 포함하는 영역 전체에서의 대국적인 거동은 특이점에 지배된다. 따라서 특이점의 위치나 성질을 연구하는 것은 복소해석학의 범주에 포함된다.

특이점에는 고립된 것과 고립되지 않은 것이 있는데, 복소해석학의 대상이 되는 것은 주로 고립된 특이점이다.

5. 1. 고립 특이점

고립 특이점은 '''제거 가능한 특이점''', '''극''', '''진성 특이점'''으로 분류된다. 제거 가능한 특이점은 해당 점에서의 값을 적절하게 다시 정의함으로써 복소함수를 그 근방에서 해석적으로 만들 수 있을 때를 말한다. 극은 복소함수의 특이점이며, 에서 제거 가능한 특이점이 되는 자연수 이 존재하는 경우를 말한다. 진성 특이점은 제거 가능하지도 않고 극도 아닌 고립 특이점을 말한다.^[3]

5. 2. 비고립 특이점

비고립 특이점은 특이점이 조밀하게 연결되어 있어 그 근방에 반드시 다른 특이점을 포함하는 특이점을 말한다. 예를 들어 f(z) = 1/sin(1/z)^영어는 z = 0^영어에 비고립 특이점을 갖는다. (z = ±1/nπ^영어는 0 이외의, 고립되지 않은 진성 특이점이며, 여기서 n^영어은 임의의 자연수이다.) 이 외에도 정의역의 자연스러운 경계 (해석적 연속에 의해 넘을 수 없는 벽)나 다중가 함수를 일가 함수로 다루기 위해 도입하는 '''분지 절단'''^[3] 또한 일종의 특이점으로 간주될 수 있다. 분지 절단의 끝점을 '''분기점'''이라고 하는데, 분지 절단이 있는 한 분기점은 고립된 특이점이 될 수 없다. 그러나 분지 절단은 (분기점을 고정하고 호모토피인 한) 어디에 두어도 좋으므로 필요에 따라 분지 절단을 움직이면 분기점을 마치 고립된 특이점처럼 취급할 수 있다. 이러한 발상은 리만 곡면^[3]^[10]과 연결된다. 분기점은 '''대수 분기점'''과 '''로그 분기점'''으로 분류되는데, 대수 특이점, 로그 특이점^[16]이라고도 불린다.

6. 주요 결과들

복소해석학의 주요 주제는 복소함수, 해석함수, 유리형 함수에 관한 것이다. 복소해석학의 핵심적인 도구 중 하나는 선적분이다. 코시 적분 정리에 의해 닫힌 경로로 둘러싸인 영역의 모든 지점에서 정칙인 함수의 닫힌 경로에 대한 선적분은 항상 0이다.

함수가 연결된 영역 전체에서 정칙이면, 해당 값은 더 작은 하위 영역의 값에 의해 완전히 결정된다. 더 큰 영역의 함수는 작은 영역의 값에서 해석적으로 연속되었다고 한다.

특정 복소 힐베르트 공간의 주요 응용 분야는 양자역학의 파동 함수이다. 복소함수가 미분 가능하다는 것은, 실함수가 미분 가능하다는 것에 비해 훨씬 더 강한 조건이다. 일계 미분 가능한 복소함수는 무한 계 미분 가능하며^[17], 적분 가능하며, 해석적이다. 정의역 전체에서 정칙인 함수를 정칙 함수라고 하며^[3]^[10], 특히 복소 평면 전체를 정의역으로 하는 정칙 함수를 전해석 함수라고 한다^[3]^[10]。고립된 극을 제외하고 정칙인 함수를 유리형 함수라고 한다^[3]^[10]。지수 함수, 사인 함수, 코사인 함수, 다항식 함수 등, 많은 초등 함수는 전해석 함수이지만^[3], 탄젠트 함수 등은 극을 가지므로 유리형 함수이며, 로그 함수는 음의 실수축에 분기를 가지므로 정칙이 아니다^[3]^[10]。감마 함수는 음의 정수에 극을 가지므로 유리형 함수이지만, 오른쪽 반평면에 한정하면 정칙이다^[3]^[18]^[19]。

6. 1. 복소선적분

코시 적분 정리에 따르면 닫힌 곡선 안쪽에서 해석적인 복소함수를 그 닫힌곡선을 따라 적분한 값은 항상 0이다.^[3]^[7]^[10]^[13]^[15] 코시 적분 공식에 따르면, 원판 안에서 정칙함수의 값은 그 원판의 경계선(원)을 따라 그 함수와 관련된 특정한 형태의 함수를 적분하여 구할 수 있다.^[3]^[7]^[10]^[13]^[15] 만약 정칙 함수가 특정 점을 극으로 갖는 경우, 즉 그 점에서 함수의 값이 "폭발"하여 유한한 값을 갖지 않는 경우, 해당 점에서의 함수의 유수를 구함으로써 선적분 값을 결정할 수 있다. 유수 정리를 이용하면 닫힌곡선 안쪽에서 극(극점)이나 진성특이점을 갖는 복소함수의 닫힌곡선 위에서의 선적분 계산을 할 수 있다. 유수 정리를 이용하면 실수체 위에서 사실상 불가능할 정도로 복잡한 실함수의 적분 계산을 복소평면에서의 선적분을 이용하여 계산할 수 있다.^[3]^[7]^[10]^[13]^[15]

6. 2. 테일러 급수와 로랑 급수

해석적인 복소함수는 테일러 급수로 나타낼 수 있다. 특이점을 제외한 특이점 근방에서 복소함수는 로랑 급수로 나타낼 수 있으며, 이를 이용하여 특이점 근방에서의 복소함수의 특성을 알아볼 수 있다.

6. 3. 리우빌 정리와 피카르의 대정리

리우빌 정리에 따르면, 전체 복소평면에서 유계인 정칙함수는 상수함수이다.^[3]^[10] 리우빌 정리를 이용하면 대수학의 기본정리를 짧게 증명할 수 있는데, 대수학의 기본정리는 복소수체가 대수적 폐체라는 내용이다.

피카르의 대정리는 진성특이점 근방에서 해석함수의 특성을 설명하는 정리이다. 카조라티-바이어슈트라스 정리도 진성 특이점 주변에서의 정칙 함수의 거동에 관한 놀라운 성질을 유도한다.

6. 4. 해석적 연속

정칙 함수의 중요한 성질 중 하나는 연결된 영역 전체에서의 거동이 임의의 더 작은 영역에서의 거동에 의해 결정된다는 것이다([일치 정리]^[3]). 큰 영역 전체에서의 원래 함수는 작은 영역으로 제한하여 생각한 것을 해석적 연속이라고 한다.^[3]^[10] 이러한 원리에 의해 리만 제타 함수 등, 제한된 영역에서만 수렴하는 급수로 정의되었던 함수를 복소 평면 전체로 정칙 함수나 유형 함수로 확장하는 것이 가능해진다.^[13]^[20] 경우에 따라서는 자연 로그 등과 같이 복소 평면 내의 단일 연결이 아닌 영역으로의 해석적 연속이 불가능한 경우도 있지만, 리만 곡면이라고 하는 곡면을 도입함으로써 그 위의 정칙 함수로서의 "해석적 연속"을 생각할 수 있다.^[3]^[10]^[13]^[21]^[22]^[23]^[24]

7. 다변수 복소해석학

2변수 이상의 복소해석학에서도 멱급수 전개와 같은 해석적인 성질들이 성립하지만, 등각성과 같은 일변수 해석함수가 갖는 기하학적 성질은 더 이상 성립하지 않는다. 리만 사상 정리^[10]는 일변수 복소해석학에서는 매우 중요한 이론이지만, 2변수 이상의 복소함수에서는 성립하지 않는다.^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]^[30]

8. 응용

전통적으로 복소해석학, 특히 등각사상은 물리학의 여러 분야에 응용되었으며, 해석적 수론 연구 전반에서도 중요한 역할을 한다.^[8]^[10]^[11]^[12] 현대에는 복소 동역학이나 망델브로 집합과 같은 프랙털 구조를 다루는 프랙털 기하학 등에 응용되고 있다.^[13]

끈 이론과 전기공학에서의 페이저 표현, 고체역학에서의 응력 함수, 유체역학에서의 복소 속도 포텐셜^[14] 등 공학 분야에도 응용되고 있다.

참조

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_[2] 서적 Real and Complex Analysis https://59clc.files.[...] McGraw-Hill Education 1987
_[3] 서적 複素関数入門岩波書店
_[4] 서적 関数論朝倉書店 1991
_[5] 서적 関数論上・下裳華房
_[6] 서적 近代関数論岩波書店
_[7] 서적 数値解析と複素関数論筑摩書房 1975
_[8] 서적 Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1-3 Wiley Classics Library
_[9] 서적 回路理論コロナ社
_[10] 서적 Complex variables: introduction and applications Cambridge University Press 2003
_[11] 웹사이트 Conformal Mapping http://mathworld.wol[...]
_[12] 웹사이트 Analytic Number Theory http://mathworld.wol[...]
_[13] 서적 An Introduction to Complex Analysis Springer 2011
_[14] 서적 複素解析と流体力学日本評論社 1989
_[15] 서적 複素解析現代数学社
_[16] 웹사이트 Logarithmic Singularity http://mathworld.wol[...]
_[17] 서적 複素解析岩波書店 1996
_[18] 서적 工学における特殊関数共立出版
_[19] 웹사이트 Gamma Function http://mathworld.wol[...]
_[20] 웹사이트 Riemann Zeta Function http://mathworld.wol[...]
_[21] 서적 Introduction to Riemann surfaces Addison-Wesley 1957
_[22] 서적 Riemann surfaces Springer, New York 1992
_[23] 웹사이트 Riemann Surface http://mathworld.wol[...]
_[24] 웹사이트 Riemann surface in nLab https://ncatlab.org/[...]
_[25] 서적 Several Complex Variables 1948
_[26] 서적 Function Theory of Several Complex Variables 1992
_[27] 서적 Introduction to complex analysis in several variables Birkhäuser 2005
_[28] 서적 多変数複素解析 (増補版) 岩波書店 2018
_[29] 서적 多変数複素関数論を学ぶ日本評論社 2015
_[30] 서적 多変数解析函数論培風館

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