체비쇼프 다항식

4.1. 직교성

체비쇼프 다항식은 주어진 구간 및 가중치 함수에 대해 직교성을 갖는다.

제1종 체비쇼프 다항식 $T\_n(x)$는 구간 [-1, 1]에서 가중치 함수 $\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}\}$에 대해 직교한다. 즉, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_\{-1\}^1\; T\_n(x)T\_m(x)\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}x\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}\; =$
\begin{cases}
0 & \text{ if } n \ne m, \\
\pi & \text{ if } n=m=0, \\
\frac{\pi}{2} & \text{ if } n=m \ne 0.
\end{cases}

이는 $x\; =\; \backslash cos\; \backslash theta$로 두고, $T\_n(\backslash cos\; \backslash theta)\; =\; \backslash cos(n\backslash theta)$를 사용하여 증명할 수 있다.

제2종 체비쇼프 다항식 $U\_n(x)$는 구간 [-1, 1]에서 가중치 함수 $\backslash sqrt\{1-x^2\}$에 대해 직교한다. 즉, 다음이 성립한다.

:$\backslash int\_\{-1\}^1\; U\_n(x)U\_m(x)\backslash sqrt\{1-x^2\}\; \backslash mathrm\{d\}x\; =$
\begin{cases}
0 & \text{ if } n \ne m, \\
\frac{\pi}{2} & \text{ if } n = m.
\end{cases}

(측도 $\backslash sqrt\{1-x^2\}\backslash mathrm\{d\}x$는 정규화 상수를 제외하면 위그너 반원 분포이다.)

이러한 직교성은 체비쇼프 다항식이 슈트름-리우빌 문제의 해이기 때문에 발생한다.

$T\_n(x)$은 이산 직교 조건도 만족한다. $N$이 $i$와 $j$보다 큰 정수이고, $x\_k$가 $T\_N(x)$의 $N$개의 체비쇼프 노드

:$x\_k\; =\; \backslash cos\backslash left(\backslash pi\backslash frac\{2k+1\}\{2N\}\backslash right)\; \backslash quad\; \backslash text\{\; for\; \}\; k\; =\; 0,\; 1,\; \backslash dots,\; N-1.$

일 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^\{N-1\}\{T\_i(x\_k)T\_j(x\_k)\}\; =$
\begin{cases}
0 & \text{ if } i \ne j, \\
N & \text{ if } i = j = 0, \\
\frac{N}{2} & \text{ if } i = j \ne 0.
\end{cases}

이 성질은 체비쇼프 보간법에서 유용하다.

$U\_N(x)$의 $N$개의 영점

:$y\_k\; =\; \backslash cos\backslash left(\backslash pi\backslash frac\{k+1\}\{N+1\}\backslash right)\; \backslash quad\; \backslash text\{\; for\; \}\; k=0,\; 1,\; \backslash dots,\; N-1,$

을 기반으로 하는 경우에도 유사한 이산 직교성이 성립한다.

4.2. 대칭성

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

:$T\_n(-x)=(-1)^n\; T\_n(x)$

즉, 짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 우함수이므로 x의 짝수 거듭제곱만 포함한다. 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 기함수이므로 x의 홀수 거듭제곱만 포함한다.

4.3. 근과 극값

n^영어차 체비쇼프 다항식 T_n^영어은 닫힌구간 -1,1에서 n^영어개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
:x_k^라틴어=cos(2k-1)π/2n^영어 (k^영어∈{1,2,...,n^영어})

제1종 체비쇼프 다항식의 근은 다항식 보간법에서 노드로 사용되기 때문에 때때로 체비쇼프 노드라고 불리며, 삼각 함수 정의를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:cos((2k^영어+1)π/2)=0
:x_k^영어 = cos(π(k^영어+1/2)/n^영어), k^영어=0,...,n^영어-1.

마찬가지로, 제2종 체비쇼프 다항식 U_n^영어의 근은 다음과 같다.
:x_k^영어 = cos(k^영어/(n^영어+1)π), k^영어=1,...,n^영어.

구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서 T_n^영어의 극값은 다음과 같은 위치에 있다.
:x_k^영어 = cos(k^영어/n^영어π), k^영어=0,...,n^영어.

제1종 체비쇼프 다항식의 고유한 특징은 구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서 모든 극값이 -1 또는 1의 값을 갖는다는 것이다. 따라서 이러한 다항식은 두 개의 유한한 임계값만 가지며, 이는 샤바트 다항식의 정의적 속성이다. 제1종 및 제2종 체비쇼프 다항식 모두 끝점에서 극값을 갖는다.
:T_n(1)^영어 = 1
:T_n(-1)^영어 = (-1)^n영어
:U_n(1)^영어 = n^영어+1
:U_n(-1)^영어 = (-1)^n영어 (n^영어+1).

T_n(x)^영어의 구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서의 극값은 n^영어>0일 때 n^영어+1개의 x^영어 값에 위치한다. 그것들은 ± 1 또는 cos(2πk^영어/d^영어)이며, 여기서 d^영어 > 2, d^영어는 2n^영어의 약수, 0 < k^영어 < d^영어/2이고 (k^영어, d^영어) = 1(즉, k^영어와 d^영어는 서로소)이다.

구체적으로, n^영어이 짝수일 때:
* T_n(x)^영어 = 1 (x^영어 = ±1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 짝수). 그런 x^영어 값은 n^영어/2 + 1개이다.
* T_n(x)^영어 = -1 (d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 홀수). 그런 x^영어 값은 n^영어/2개이다.

n^영어이 홀수일 때:
* T_n(x)^영어 = 1 (x^영어 = 1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 짝수). 그런 x^영어 값은 (n^영어+1)/2개이다.
* T_n(x)^영어 = -1 (x^영어 = -1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 홀수). 그런 x^영어 값은 (n^영어+1)/2개이다.

이 결과는 U_n(x)^영어 ± 1 = 0의 해, 그리고 제3종과 제4종 체비쇼프 다항식에 대한 V_n(x)^영어 ± 1 = 0 및 W_n(x)^영어 ± 1 = 0으로 일반화되었다.

제1종 체비쇼프 다항식 T_n(x)^영어는 구간 (-1, +1)에 n^영어개의 영점(체비쇼프 노드)을 갖는다.
:x_k^영어 = cos(2k^영어+1)/2n^영어π (k^영어 = 0, 1, ..., n^영어-1)

T_n(x)^영어 (n^영어 ≥ 1)는 구간 -1, +1에 n^영어+1개의 극값점을 가지며(그 중 두 점은 구간의 양 끝점), 그 좌표는 다음과 같다.
:x'_k^영어 = cosk^영어π/n^영어 (k^영어 = 0, 1, ..., n^영어)

또한 그 극점값은 T_n(x'_k)^영어 = (-1)^k영어를 만족한다. 따라서 체비쇼프 다항식의 구간 -1, +1에서의 균등 노름은 1이다.

4.4. 미분과 적분

Chebyshev polynomials^영어의 도함수는 간단하지 않을 수 있다. 다항식을 삼각 함수 형태로 미분하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\
\frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\
\frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.
\end{align}

마지막 두 공식은 $x = 1$과 $x = -1$에서 0으로 나누기(구체적으로 $\frac{0}{0}$ 부정형) 때문에 수치적으로 문제가 될 수 있다. 로피탈의 정리에 따르면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = 1} \!\! &= \frac{n^4 - n^2}{3}, \\
\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = -1} \!\! &= (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.
\end{align}

더 일반적으로, 다음이 성립한다.
:$$\backslash left.\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^p\; T\_n\}\{\backslash mathrm\{d\}x^p\}\; \backslash right|\_\{x\; =\; \backslash pm\; 1\}\; \backslash !\backslash !\; =\; (\backslash pm\; 1)^\{n+p\}\backslash prod\_\{k=0\}^\{p-1\}\backslash frac\{n^2-k^2\}\{2k+1\}~,$$
이는 고유값 문제의 수치적 해법에 매우 유용하다.

또한 다음이 성립한다.
:$$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^p\}\{\backslash mathrm\{d\}x^p\}\backslash ,T\_n(x)\; =\; 2^p\backslash ,n\backslash mathop\backslash frac\{\backslash left(\backslash frac\{n+p+k\}\{2\}-1\backslash right)!\}\{\backslash left(\backslash frac\{n-p+k\}\{2\}\backslash right)!\}\backslash ,T\_k(x),~\backslash qquad\; p\; \backslash ge\; 1,$$
여기서 합산 기호의 프라임은 $k = 0$에 의해 기여된 항이 나타나면 절반으로 줄여야 함을 의미한다.

적분에 관하여, $T_n$의 첫 번째 도함수는 다음을 의미한다.
:$$\backslash int\; U\_n\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash frac\{T\_\{n\; +\; 1\}\}\{n\; +\; 1\}$$
그리고 도함수를 포함하는 제1종 다항식에 대한 점화 관계는 $n \ge 2$에 대해 다음을 설정한다.
:$$\backslash int\; T\_n\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash left(\backslash frac\{T\_\{n\; +\; 1\}\}\{n\; +\; 1\}\; -\; \backslash frac\{T\_\{n\; -\; 1\}\}\{n\; -\; 1\}\backslash right)\; =\; \backslash frac\{n\backslash ,T\_\{n\; +\; 1\}\}\{n^2\; -\; 1\}\; -\; \backslash frac\{x\backslash ,T\_n\}\{n\; -\; 1\}.$$

마지막 공식은 $T_n$의 적분을 제1종 체비쇼프 다항식의 함수로 표현하기 위해 추가로 조작할 수 있다.
:$$\backslash begin\{align\}$$
\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\
&= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\
&= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}.
\end{align}

또한 다음이 성립한다.
:$$\backslash int\_\{-1\}^1\; T\_n(x)\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; =$$
\begin{cases}
\frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ 만약 }~ n \ne 1 \\
0 & \text{ 만약 }~ n = 1.
\end{cases}

4.5. 체비쇼프 다항식의 곱

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 관계를 만족한다.

:

이 관계는 코사인의 곱을 합으로 바꾸는 공식으로부터 쉽게 증명된다.

제2종 체비쇼프 다항식은 유사한 관계를 만족한다.

4.6. 합성 및 나눗셈 성질

T_n^영어과 U_n^영어의 삼각함수 정의는 다음과 같은 합성 또는 중첩 속성을 갖는다.

:T_mn(x)^영어 = T_m(T_n(x))^영어
:U_mn-1(x)^영어 = U_m-1(T_n(x))U_n-1(x)^영어

T_mn^영어의 경우, 합성 순서를 바꿀 수 있어 다항식 함수족 T_n^영어은 합성에 대해 교환적반군을 이룬다.

T_m(x)^영어는 m이 홀수일 경우 x로 나누어지므로, m이 홀수일 경우 T_mn(x)^영어는 T_n(x)^영어로 나누어진다. 또한, U_mn−1(x)^영어는 U_n−1(x)^영어로 나누어지며, m이 짝수인 경우 T_n(x)U_n−1(x)^영어로 나누어진다.

4.7. 최소 ∞-노름

주어진 $n\; \backslash ge\; 1$에 대해, 최고차항 계수가 1인 $n$차 모닉 다항식들 중에서,
:$$f(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ,2^\{n-1\}\backslash ,\}\backslash ,T\_n(x)$$
구간 $[-1,\; 1]$에서 절댓값의 최댓값이 최소인 다항식이다.

이 최댓값은 $\backslash frac\{1\}\{2^\{n-1\}\}$이며, $|f(x)|$는 다음 지점에서 정확히 $n+1$번 이 최댓값에 도달한다.
:$$x\; =\; \backslash cos\; \backslash frac\{k\backslash pi\}\{n\}\backslash quad\backslash text\{for\; \}0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n.$$
등요동 정리에 따르면, 차수가 $n$ 이하인 모든 다항식 중에서 다항식 $f$는 $[-1,\; 1]$에서 $\backslash infty$-노름을 최소화한다.

4.8. 다른 다항식과의 관계

체비쇼프 다항식은 게겐바우어 다항식 $C\_n^\{(\backslash lambda)\}(x)$의 특수한 경우이며, 이는 다시 야코비 다항식 $P\_n^\{(\backslash alpha,\backslash beta)\}(x)$의 특수한 경우이다.

:$T\_n(x)\; =\; \backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash lim\_\{q\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{1\}\{q\}\backslash ,C\_n^\{(q)\}(x)\; \backslash qquad\; ~\backslash text\{\; 만약\; \}~\; n\; \backslash ge\; 1,$
:$=\backslash frac\{1\}\{\backslash binom\{n-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\{n\}\}\; P\_n^\{\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{2\},\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}(x)\; =\; \backslash frac\{2^\{2n\}\}\{\backslash binom\{2n\}\{n\}\}\; P\_n^\{\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{2\},\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}(x)~,$

:$U\_n(x)\; =\; C\_n^\{(1)\}(x)$
:$=\backslash frac\{n+1\}\{\backslash binom\{n+\backslash frac\{1\}\{2\}\}\{n\}\}\; P\_n^\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}(x)\; =\; \backslash frac\{2^\{2n+1\}\}\{\backslash binom\{2n+2\}\{n+1\}\}\; P\_n^\{\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\},\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}(x)~.$

체비쇼프 다항식은 딕슨 다항식의 특별한 경우이기도 하다.

:$D\_n(2x\backslash alpha,\backslash alpha^2)=\; 2\backslash alpha^\{n\}T\_n(x)\; \backslash ,$
:$E\_n(2x\backslash alpha,\backslash alpha^2)=\; \backslash alpha^\{n\}U\_n(x).\; \backslash ,$

특히, $\backslash alpha=\backslash tfrac\{1\}\{2\}$일 때, $D\_n(x,\backslash tfrac\{1\}\{4\})\; =\; 2^\{1-n\}T\_n(x)$와 $E\_n(x,\backslash tfrac\{1\}\{4\})\; =\; 2^\{-n\}U\_n(x)$의 관계를 가진다.

체비쇼프 다항식은 게겐바우어 다항식의 특수한 경우이다.

:$T\_n\; (\; x\; )\; =\; \backslash frac\{\; n\; \}\{\; 2\; \}\; \backslash lim\_\{\backslash nu\; \backslash to\; 0\}\; \backslash Gamma\; (\; \backslash nu\; )\; C\_n^\{(\backslash nu)\}\; (\; x\; )$

특히, $T\_n$은 $n$차 다항식이며, 최고차항의 계수는 $n\; \backslash geq\; 1$일 때 $2^\{n\; -\; 1\}$이다. 또한 우기성을 갖는다.

:$T\_n\; (\; -\; x\; )\; =\; (\; -\; 1\; )^n\; T\_n\; (\; x\; )$

5. 명시적 표현

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로부터 얻어진다.

:$$$$
\begin{align}
T_0(x) & = 1 \\
T_1(x) & = x \\
T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x).
\end{align}

이 점화 관계는 삼대각 행렬의 행렬식으로 나타낼 수 있다.

제2종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로 정의된다.

:$$$$
\begin{align}
U_0(x) & = 1 \\
U_1(x) & = 2 x \\
U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).
\end{align}

제1종 체비쇼프 다항식은 다음을 만족하는 고유한 다항식으로 정의할 수 있다.

:$$$$
T_n(x) = \begin{cases}
\cos(n \arccos x) & \text{ if }~ |x| \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh} x) & \text{ if }~ x \ge 1 \\
(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1
\end{cases}

다른 표현으로,

:$$$$
T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)


를 만족하는 고유한 다항식이다. (단, )

제2종 다항식은 다음을 만족한다.

:$$$$
U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),


또는

:$$$$
U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},


복소수의 지수화를 이용하면 다음과 같다. 절댓값이 1인 복소수 에 대해,

:$$$$
z^n = T_n(a) + ib U_{n-1}(a).


체비쇼프 다항식은 삼각 다항식을 연구할 때 이 형태로 정의될 수 있다.

삼각 함수 정의에 의한 명시적 공식은 다음과 같다.

:$$$$
\begin{align}
T_n(x) & = \begin{cases}
\cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ for }~ -1 \le x \le 1 \\
\cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ for }~ 1 \le x \\
(-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ for }~ x \le -1
\end{cases}
\end{align}

체비쇼프 다항식의 복소수 지수 정의를 사용하면 다음 표현식을 얻을 수 있다.

:$$$$
T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg) \qquad \text{ for }~ x \in \mathbb {R}

:$$$$
T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^{-n} \bigg) \qquad \text{ for }~ x \in \mathbb {R}

두 표현식은 $(x\; +\; \backslash sqrt\{x^2\; -\; 1\})(x\; -\; \backslash sqrt\{x^2\; -\; 1\})\; =\; 1$이므로 동일하다.

단항식 측면에서 체비쇼프 다항식의 명시적 형태는 다음과 같다.

:$$$$
T_n(x) = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (x^2-1)^j x^{n-2j}.


이는 초기하 함수로 쓸 수 있다.

:$$$$
\begin{align}
T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \qquad\qquad \text{ for }~ n > 0 \\
\\
& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ for }~ n > 0 \\
\\
& = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\
\end{align}

마찬가지로, 은 초기하 함수로 표현할 수 있다.

:$$$$
\begin{align}
U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\
& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\
& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ for }~ n > 0 \\
& = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right). \\
\end{align}

6. 두 종류의 체비쇼프 다항식 간의 관계

제1종 체비쇼프 다항식과 제2종 체비쇼프 다항식은 서로 밀접하게 관련되어 있다. 이들은 매개변수 P = 2x, Q = 1을 갖는 보완 루카스 수열 Ũ_n(2x,1)^영어 및 Ṽ_n(2x,1)^영어의 짝에 해당하며, 다음과 같은 관계를 갖는다.

:Ũ_n^영어(2x,1) = U_n-1(x)
:Ṽ_n^영어(2x,1) = 2T_n(x)

따라서 다음의 상호 재귀 관계식을 만족한다.

:T_n+1(x) = xT_n(x) - (1 - x²)U_n-1(x)
:U_n+1(x) = xU_n(x) + T_n+1(x)

두 번째 식은 체비쇼프 제2종 다항식의 재귀적 정의를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:T_n(x) = 1/2 ( U_n(x) - U_n-2(x) )

이 공식을 반복적으로 사용하면 다음과 같은 합 공식을 얻을 수 있다.

:U_n(x) =
* n이 홀수일 때: 2ΣT_j(x) (j는 홀수)
* n이 짝수일 때: 2ΣT_j(x) + 1 (j는 짝수)

한편, U_n(x)와 U_n-2(x)를 T_n(x)의 미분 공식을 사용하여 대체하면 T_n(x)의 도함수에 대한 재귀 관계식을 얻을 수 있다.

:2T_n(x) = 1/(n+1) d/dx T_n+1(x) - 1/(n-1) d/dx T_n-1(x) (n=2,3,...)

이 관계는 미분 방정식을 푸는 체비쇼프 스펙트럼 방법에 사용된다.

그 외에도 다음과 같은 관계식들이 존재한다.

* 투란 부등식
* T_n(x)² - T_n-1(x)T_n+1(x) = 1 - x² > 0 (-1 < x < 1)
* U_n(x)² - U_n-1(x)U_n+1(x) = 1 > 0
* 적분 관계
* ∫_-1¹ (T_n(y))/(y-x) * (dy/√(1 - y²)) = πU_n-1(x)
* ∫_-1¹ (U_n-1(y))/(y-x) * √(1 - y²)dy = -πT_n(x) (적분은 주값으로 간주)
* [[르장드르 다항식]]과의 관계
* ΣP_k(x)T_n-k(x) = (n+1)P_n(x) (k=0~n)
* ΣP_k(x)P_n-k(x) = U_n(x) (k=0~n)
* 곱셈 관계
* 2T_n(x)T_m(x) = T_n+m(x) + T_|n-m|(x)

7. 예시