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삼중항 상태

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목차

1. 개요

삼중항 상태는 두 개의 스핀-1/2 입자로 구성된 계에서 총 스핀 각운동량이 1인 세 가지 양자 상태를 의미한다. 이러한 상태는 대칭적이며, 스핀 업과 스핀 다운의 조합으로 표현된다. 두 스핀-1/2 입자의 결합은 삼중항 상태와 단일항 상태로 나뉘며, 이는 표현론적으로 스핀 군 SU(2)의 텐서곱으로 이해할 수 있다.

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삼중항 상태

2. 두 스핀-1/2 입자 계

두 개의 스핀-1/2 입자 (예: 수소의 바닥 상태에 있는 양성자와 전자)로 구성된 계는 각 입자의 스핀 방향에 따라 네 가지 기저 상태를 가지며, 클레브슈-고르단 계수를 사용하여 총 스핀 각운동량과 그 z-성분으로 표현할 수 있다.

2. 1. 기저 상태 표현

두 개의 스핀-1/2 입자를 갖는 계(예: 수소 원자의 바닥 상태에 있는 양성자와 전자)에서 각 입자는 스핀 업(\uparrow) 또는 스핀 다운(\downarrow) 상태를 가질 수 있다. 따라서 이 계는 총 네 가지의 기저 상태를 갖는다.

:\uparrow\uparrow,\uparrow\downarrow,\downarrow\uparrow,\downarrow\downarrow

여기서 첫 번째 화살표는 첫 번째 입자의 스핀 방향, 두 번째 화살표는 두 번째 입자의 스핀 방향을 나타낸다.

더 엄밀하게는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

|s_1,m_1\rangle|s_2,m_2\rangle = |s_1,m_1\rangle \otimes |s_2,m_2\rangle,



여기서 s_1과 s_2는 두 입자의 스핀이고, m_1과 m_2는 z축에 대한 그들의 투영이다. 스핀-1/2 입자의 경우, \left|\frac{1}{2},m\right\rangle 기저 상태는 2차원 공간을 이루므로, \left|\frac{1}{2},m_1\right\rangle\left|\frac{1}{2},m_2\right\rangle 기저 상태는 4차원 공간을 이룬다.

양자역학에서 클레브슈-고르단 계수를 사용하여 각운동량을 더하는 규칙을 사용하여 총 스핀과 이전에 정의된 축에 대한 투영을 계산할 수 있다. 일반적으로

:|s,m\rangle = \sum_{m_1+m_2=m} C_{m_1m_2m}^{s_1s_2s}|s_1 m_1\rangle|s_2 m_2\rangle

와 같이 표현된다.

2. 2. 총 스핀 각운동량

두 개의 스핀-1/2 입자를 갖는 계(예: 수소 원자의 바닥 상태에 있는 양성자와 전자)에서 각 입자의 스핀을 측정하면, 스핀 업(\uparrow) 또는 스핀 다운(\downarrow) 상태가 가능하다. 따라서 이 계는 총 네 가지 기저 상태를 갖는다.

:\uparrow\uparrow,\uparrow\downarrow,\downarrow\uparrow,\downarrow\downarrow

여기서 첫 번째 화살표는 첫 번째 입자의 스핀 방향, 두 번째 화살표는 두 번째 입자의 스핀 방향을 나타낸다.

더 엄밀하게는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

|s_1,m_1\rangle|s_2,m_2\rangle = |s_1,m_1\rangle \otimes |s_2,m_2\rangle,



여기서 s_1과 s_2는 두 입자의 스핀이고, m_1과 m_2는 z축에 대한 스핀 투영 값이다. 스핀-1/2 입자의 경우, \left|\frac{1}{2},m\right\rangle 기저 상태는 2차원 공간을 이루므로, \left|\frac{1}{2},m_1\right\rangle\left|\frac{1}{2},m_2\right\rangle 기저 상태는 4차원 공간을 이룬다.

양자역학에서 클레브슈-고르단 계수를 사용하여 각운동량을 더하는 규칙을 통해 총 스핀과 그 z축에 대한 투영을 계산할 수 있다. 일반적으로,

:|s,m\rangle = \sum_{m_1+m_2=m} C_{m_1m_2m}^{s_1s_2s}|s_1 m_1\rangle|s_2 m_2\rangle

이다. 네 개의 기저 상태를 대입하면 다음과 같다.

:\begin{align}

\left|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right\rangle\ \otimes \left|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right\rangle\ &\text{ by } (\uparrow\uparrow), \\

\left|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right\rangle\ \otimes \left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle\ &\text{ by } (\uparrow\downarrow), \\

\left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle\ \otimes \left|\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right\rangle\ &\text{ by } (\downarrow\uparrow), \\

\left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle\ \otimes \left|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\rangle\ &\text{ by } (\downarrow\downarrow)\end{align}

\left|\frac{1}{2},m_1\right\rangle\left|\frac{1}{2},m_2\right\rangle 기저에서 표현과 함께 주어진 총 스핀에 대한 가능한 값을 반환하면, 총 스핀 각운동량 1을 갖는 세 개의 상태(삼중항, triplet)가 존재한다.[2][3]

:

\left.\begin{array}{ll}

|1,1\rangle &=\; \uparrow\uparrow \\

|1,0\rangle &=\; \frac{1}{\sqrt{2}}(\uparrow\downarrow + \downarrow\uparrow) \\

|1,-1\rangle &=\; \downarrow\downarrow

\end{array}\right\}\quad s = 1\quad \mathrm{(triplet)}



이들은 대칭적이며, 총 스핀 각운동량 0을 갖는 네 번째 상태(단일항, singlet)는 다음과 같다.

:\left.|0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\uparrow\downarrow - \downarrow\uparrow)\;\right\}\quad s=0\quad\mathrm{(singlet)}

이것은 반대칭이다. 따라서 두 개의 스핀-1/2 입자의 조합은 삼중항 또는 단일항 상태를 점유하는지에 따라 총 스핀 1 또는 0을 가질 수 있다.

3. 수학적 관점 (표현론)

표현론적 관점에서, SU(2)=Spin(3) 스핀군의 두 켤레 2차원 스핀 표현(3차원 클리퍼드 대수 안에 포함된 경우)은 텐서 곱을 통해 4차원 표현을 생성한다. 이 4차원 표현은 일반적인 직교군 SO(3)으로 내려가고, 그 대상은 텐서가 되므로 스핀은 정수가 된다. 4차원 표현은 1차원의 자명한 표현(단일항, 스칼라, 스핀 0)과 SO(3)의 R^3 상의 표준적인 표현에 해당하는 3차원 표현(삼중항, 스핀 1)의 합으로 분해할 수 있다. 따라서 삼중항의 "셋"은 물리적 공간의 세 가지 회전축과 동일시할 수 있다.

참조

[1] 논문 Dioxygen: What Makes This Triplet Diradical Kinetically Persistent? 2017
[2] 서적 A modern approach to quantum mechanics https://www.worldcat[...] McGraw-Hill 1992
[3] 문서 Spin and Spin–Addition https://homepage.uni[...]


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