클리퍼드 대수

3. 성질

$K$가 체이며, $V$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 $n$이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 $2^n$차원 벡터 공간이다. $\backslash \{e\_i\backslash \}\_\{i=1,\backslash dots,n\}$이 $V$의 기저라고 하자. 그렇다면 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$의 기저는 다음과 같이 주어진다.

:

이 절에서는 표수가 2가 아니고, 벡터 공간 $V$가 유한 차원이며, $Q$와 관련된 대칭 쌍선형 형식이 비퇴화라고 가정한다.

$K$ 위의 중심 단순 대수(central simple algebra)는 중심이 $K$인 (유한 차원) 나눗셈 대수 위의 행렬 대수이다. 예를 들어, 실수 위의 중심 단순 대수는 실수 또는 사원수 위의 행렬 대수이다.

• $V$가 짝수 차원을 가지면 $Cl(V,\; Q)$는 $K$ 위의 중심 단순 대수이다.
• $V$가 짝수 차원을 가지면 짝수 부분 대수 $Cl^\{[0]\}(V,\; Q)$는 $K$의 2차 확대체 위의 중심 단순 대수이거나, $K$ 위의 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
• $V$가 홀수 차원을 가지면 $Cl(V,\; Q)$는 $K$의 2차 확대체 위의 중심 단순 대수이거나, $K$ 위의 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
• $V$가 홀수 차원을 가지면 짝수 부분 대수 $Cl^\{[0]\}(V,\; Q)$는 $K$ 위의 중심 단순 대수이다.

3. 1. 외대수와의 관계

3. 2. 환론적 성질

• 만약 V가 짝수 차원이라면 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 짝수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, $\backslash operatorname\; Z(\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K))=K$이며, $\backslash mathbb\; Z/2$-등급 구조를 잊으면 중심 단순 대수를 이룬다.
• 만약 V가 짝수 차원이라면 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 홀수형 등급 중심 단순 대수이다. 즉, $\backslash mathbb\; Z/2$-등급 구조를 잊으면 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 중심 단순 대수가 아니지만, $\backslash operatorname\{Cliff\}^+(V,Q;K)$는 중심 단순 대수를 이룬다.

• V가 짝수 차원을 가지면 $C\backslash ell(V,\; Q)$는 K 위의 중심 단순 대수이다.
• V가 짝수 차원을 가지면 짝수 부분 대수 $C\backslash ell^0(V,\; Q)$는 K의 2차 확대체 위의 중심 단순 대수이거나, K 위의 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
• V가 홀수 차원을 가지면 $C\backslash ell(V,\; Q)$는 K의 2차 확대체 위의 중심 단순 대수이거나, K 위의 두 개의 동형 중심 단순 대수의 합이다.
• V가 홀수 차원을 가지면 짝수 부분 대수 $C\backslash ell^0(V,\; Q)$는 K 위의 중심 단순 대수이다.

3. 2. 1. 반단순성

• $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 반단순환이다. 즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환 위의 행렬환들의 직접곱이다.
• 모든 $i=1,2,\backslash dots,n$에 대하여 $c\_i\backslash ne0$이다.

3. 2. 2. 중심

3. 2. 3. 스칼라 확대

3. 3. 클리퍼드 군

4. 분류

가환환 $K$ 위의 두 이차 공간 $(V,Q)$, $(V\text{'},Q\text{'})$이 주어졌을 때, 그 직합 $(V\backslash oplus\; V\text{'},Q\backslash oplus\; Q\text{'})$ 위의 클리퍼드 대수는 $\backslash mathbb\; Z/2$-등급 $K$-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.^[14]

:$\backslash operatorname\{Cliff\}(V\backslash oplus\; V\text{'},Q\backslash oplus\; Q\text{'};K)\backslash cong\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)\backslash hat\backslash otimes\_K\backslash operatorname\{Cliff\}(V\text{'},Q\text{'};K)$

따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.

표수가 2가 아닌 체 \(K\) 위의 \(n\)차원 벡터 공간 \(V\) 위에 비퇴화 이차 형식 \(Q\)로 정의되는 클리퍼드 대수 \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\)는 등급 중심 단순 대수이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다.^[12]

• \(n\)이 짝수일 때: \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\)는 \(K\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)\) (\(a\in K^\times/(K^\times)^2)\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\)는 \(K(\sqrt a)\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K\times K\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong A^2\)는 \(K\) 위의 어떤 중심 단순 대수 \(A\)의 제곱과 동형이다.
• \(n\)이 홀수일 때: \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\)는 \(K\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)\) (\(a\in K^\times/(K^\times)^2)\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\)는 확대체 \(K(\sqrt a)\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2\)은 \(K\) 위의 어떤 중심 단순 대수 \(A\)의 제곱과 동형이다.

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

표수 2에서는 등급 텐서곱 $\backslash hat\backslash otimes$이 일반 텐서곱 $\backslash otimes$과 같다. 표수 2의 유한체 $K=\backslash mathbb\; F\_\{2^e\}$ 위의 $2n$차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.

:$Q\_1=\backslash left(K^2,(k\_1,k\_2)\backslash mapsto\; k\_1k\_2\backslash right)$

:$Q\_2\backslash left(K^2,(k\_1,k\_2)\backslash mapsto(k\_1^2+k\_1k\_2+ak\_2^2)\backslash right),\backslash qquad\; a\backslash in\; K\backslash setminus\backslash \{b^2+b\backslash colon\; b\backslash in\; K\backslash \}$

이 경우 $\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash mathbb\; F\_\{2^e\}^2,Q\_1)$ 및 $\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash mathbb\; F\_\{2^n\}^2,Q\_2)$ 둘 다 $K$ 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, $2n$차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 $Q$의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.

:$\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash mathbb\; F\_\{2^e\}^\{2n\},Q;\backslash mathbb\; F\_\{2^e\})\backslash cong\backslash operatorname\{Mat\}(2^n;\backslash mathbb\; F\_\{2^e\})$

$\backslash mathbb\; F\_\{2^e\}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 $Q$는 비퇴화 이차 형식 $Q\_\{\backslash text\{nondeg\}\}$과 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.

:$Q=Q\_\{\backslash text\{nondeg/Clifford\; clock\}\})로\; 나타낼\; 수\; 있다.$

:$\backslash begin\{matrix\}$

_{\displaystyle\mathsf8}&&^{\displaystyle\mathsf1}&&_{\displaystyle\mathsf2}\\

&_{\displaystyle\mathbb R}&^{\displaystyle\mathbb R^{\oplus2}}&_{\displaystyle\mathbb R}\\

\mathsf7\quad&\mathbb C\quad&&\quad\mathbb C&\quad\mathsf3\\

&^{\displaystyle\mathbb H}&_{\displaystyle\mathbb H^{\oplus2}}&^{\displaystyle\mathbb H}\\

^{\displaystyle\mathsf6}&&_{\displaystyle\mathsf5}&&^{\displaystyle\mathsf4}

\end{matrix}

즉, $\backslash operatorname\{Cliff\}(p,q;\backslash mathbb\; R)$는 $p-q\backslash bmod8$이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 $\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash operatorname\{Cliff\}(p,q;\backslash mathbb\; R)=2^\{p+q\}$으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, $n\backslash equiv3\backslash pmod8$일 때

:$\backslash operatorname\{Cliff\}(0,n;\backslash mathbb\; R)\backslash cong\backslash operatorname\{Mat\}(\backslash mathbb\; H;2^n/(2\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H))\backslash oplus\backslash operatorname\{Mat\}(\backslash mathbb\; H;2^n/(2\backslash dim\_\{\backslash mathbb\; R\}\backslash mathbb\; H))=\backslash operatorname\{Mat\}(\backslash mathbb\; H;2^\{n-3\})\backslash oplus\backslash operatorname\{Mat\}(\backslash mathbb\; H;2^\{n-3\})$

이다.

홀수

\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,1)\\

\operatorname{diag}(0,0,\dots,0,0)

\end{cases}

$\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash operatorname\{diag\}(0,0,\backslash dots,0,0);\backslash mathbb\; F\_\{2^e\})$ 및 $\backslash operatorname\{Cliff\}(\backslash operatorname\{diag\}(0,0,\backslash dots,0,1);\backslash mathbb\; F\_\{2^e\}$ 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수

:$\backslash operatorname\{Cliff\}\backslash left(\backslash operatorname\{diag\}(1);K\backslash right)=K[x]/(x^2+1)$

에서 $y=x+1$로 놓으면 $y^2=0$이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 $\backslash Lambda(K)=K[y]/(y^2)$와 동형이다.

4. 1. 직합에 대한 분해

4. 2. 체 위의 클리퍼드 대수의 분류

• \(n\)이 짝수일 때: \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\)는 \(K\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)\) (\(a\in K^\times/(K^\times)^2)\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\)는 \(K(\sqrt a)\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K))\cong K\times K\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\cong A^2\)는 \(K\) 위의 어떤 중심 단순 대수 \(A\)의 제곱과 동형이다.
• \(n\)이 홀수일 때: \(\operatorname{Cliff}^+(V,Q;K)\)는 \(K\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K(\sqrt a)\) (\(a\in K^\times/(K^\times)^2)\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\)는 확대체 \(K(\sqrt a)\) 위의 중심 단순 대수이다.
• * \(\operatorname Z(\operatorname{Cliff}(V,Q;K))\cong K\times K\)의 꼴이라면, \(\operatorname{Cliff}(V,Q;K)\cong A^2\)은 \(K\) 위의 어떤 중심 단순 대수 \(A\)의 제곱과 동형이다.

4. 3. 복소수 클리퍼드 대수

• ('''C''') ≅ '''C'''}}: 복소수 체
• ('''C''') ≅ '''C''' ⊕ '''C'''}}: 쌍복소수 환
• ('''C''') ≅ ''M''(2, '''C''')}}: 쌍사원수/biquaternion^영어 환

4. 4. 실수 클리퍼드 대수

• ('''R''')}}는 0이 아닌 벡터가 없으므로 자연스럽게 와 동형이다.
• ('''R''')}}은 에 의해 생성되는 2차원 대수이며 로 제곱되고, 복소수의 체 와 대수적으로 동형이다.
• ('''R''')}}는 }}에 의해 span되는 4차원 대수이다. 마지막 세 요소는 모두 로 제곱되고 반가환하므로 대수는 사원수 와 동형이다.
• ('''R''')}}는 직합 인 분할된 이중 사원수와 동형인 8차원 대수이다.

4. 5. 홀수 표수의 유한체

홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.

4. 6. 표수 2의 유한체

5. 예

가환환 $K$ 위의 클리퍼드 대수 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,Q;K)$는 특수한 경우 다음과 같다.

• 만약 $Q=0$이라면 $\backslash operatorname\{Cliff\}(V,0;K)=\backslash Lambda(V;K)$는 외대수이다.
• 만약 $V=0$이 자명 가군이며, $Q=0$이 그 위의 유일한 이차 형식이라면, $\backslash operatorname\{Cliff\}(0,0;K)\backslash cong\; K$이다.

5. 1. 1차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수

5. 2. 2차원 자유 가군 위의 클리퍼드 대수

• $(\backslash tfrac\{a,b\}K)$가 분할 사원수형 대수이다.
• 힐베르트 기호 $(a,b)\_K=1$이다. 즉, $z^2=ax^2+by^2$의 해가 $K$에서 존재한다.

6. 클리퍼드 해석학

복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.^[15][16][17]

==== 디랙 연산자 ====

유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n$ 속의 열린집합 $U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$ 위의 $\backslash mathcal\; C^1$ 함수

:$f\backslash colon\; U\backslash to\backslash operatorname\{Cliff\}(0,n;\backslash mathbb\; R)$에 대하여 디랙 연산자

:$D=\backslash sum\_\{i=1\}^ne\_i\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; x\_i\}$

를 정의할 수 있다 ($e\_i$는 $\backslash mathbb\; R^n$의 정규 직교 기저).

디랙 연산자의 제곱은

:$D^2=\backslash sum\_\{i,j=1\}^ne\_ie\_j\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_i\backslash partial\; x\_j\}$

=-\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}=-\nabla^2

이므로, $iD$는 라플라스 연산자 $\backslash nabla^2$의 제곱근이다.

==== 코시 적분 공식 ====

클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉, 두 열린집합 $V\backslash subseteq\; \backslash operatorname\{cl\}(V)\backslash subseteq\; U\backslash subseteq\backslash mathbb\; R^n$가 주어졌으며 ($\backslash operatorname\{cl\}(V)$는 위상수학적 폐포), $V$는 유계 집합이자 단일 연결 공간이며, 경계 $\backslash partial\; V$가 조각별 $\backslash mathcal\; C^1$ 미분 가능 다양체를 이루며, $f,g\backslash colon\; U\backslash to\backslash operatorname\{Cliff\}(0,n;\backslash mathbb\; R)$는 $\backslash mathcal\; C^1$ 함수이며, $f$는 왼쪽 정칙 함수이며 $g$는 오른쪽 정칙 함수라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

:$0=\backslash oint\_\{\backslash partial\; V\}g(x)\backslash hat\; n\_\{\backslash partial\; V\}(x)f(x)\backslash ;\backslash mathrm\; d\backslash !x^\{n-1\}$

여기서

• $\backslash hat\; n\_\{\backslash partial\; V\}\backslash colon\backslash partial\; V\backslash to\backslash mathbb\; R^n\backslash subset\backslash operatorname\{Cliff\}(0,n;\backslash mathbb\; R)$는 $\backslash partial\; V$ 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
• $\backslash mathrm\; d\backslash !x^\{n-1\}$는 $\backslash partial\; V$ 위의 르베그 측도이다.

• $M$은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, $\backslash widehat\{\backslash mathbb\; R^n\}$ 위의 등각 변환을 정의한다.
• $ac^\backslash top,bd^\backslash top\backslash in\backslash mathbb\; R^n$이며, $ad^\backslash top-bc^\backslash top\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이다.

6. 1. 디랙 연산자

6. 2. 코시 적분 공식

• $\backslash hat\; n\_\{\backslash partial\; V\}\backslash colon\backslash partial\; V\backslash to\backslash mathbb\; R^n\backslash subset\backslash operatorname\{Cliff\}(0,n;\backslash mathbb\; R)$는 $\backslash partial\; V$ 위의 바깥 방향 수직 단위 벡터이며,
• $\backslash mathrm\; d\backslash !x^\{n-1\}$는 $\backslash partial\; V$ 위의 르베그 측도이다.

6. 3. 등각 변환

• $M$은 알포르스-팔렌 행렬이다. 즉, $\backslash widehat\{\backslash mathbb\; R^n\}$ 위의 등각 변환을 정의한다.
• $ac^\backslash top,bd^\backslash top\backslash in\backslash mathbb\; R^n$이며, $ad^\backslash top-bc^\backslash top\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$이다.

7. 응용

외적 대수의 주요한 응용 중 하나는 미분기하학에 있으며, 여기서는 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 파이버 다발을 정의하는 데 사용된다. (유사 )리만 다양체의 경우, 접 공간은 계량에 의해 유도되는 자연스러운 이차 형식을 가진다. 따라서, 과의 유추로 을 정의할 수 있다. 이는 리만 기하학에서 많은 중요한 응용을 가진다. 아마도 더 중요한 것은 스핀 다양체, 그에 부속하는 그리고 }} 다양체로의 연결일 것이다.

==== K이론 ====

위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다.^[27] 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.^[27]

==== 물리학 ====

양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 $\backslash gamma^\backslash mu$ ($\backslash mu=0,1,2,3$)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 $\backslash operatorname\{Cliff\}(4;\backslash mathbb\; C)\backslash cong\backslash operatorname\{Mat\}(4;\backslash mathbb\; C)$를 생성한다.^[6][7][8] 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 $\backslash sigma^1,\backslash sigma^2,\backslash sigma^3$들은 $\backslash \{\backslash sigma^i,\backslash sigma^j\backslash \}=2\backslash delta^\{ij\}\backslash sigma^i$를 만족시키며, 클리퍼드 대수 $\backslash operatorname\{Cliff\}(3,0;\backslash mathbb\; R)\backslash cong\backslash operatorname\{Mat\}(2;\backslash mathbb\; C)$를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.

물리학자들은 일반적으로 클리퍼드 대수를 디랙 행렬이라고 불리는 행렬에 의해 생성되는 기저를 가진 대수로 간주하며, 이들은 다음과 같은 속성을 가진다.^[6]

:$\backslash gamma\_i\backslash gamma\_j\; +\; \backslash gamma\_j\backslash gamma\_i\; =\; 2\backslash eta\_\{ij\}\; ,$

여기서 는 의 부호(또는 계량 부호의 두 가지 동등한 선택에 해당하는 )를 가진 이차 형식의 행렬이다. 이것들은 정확히 클리퍼드 대수 ('''R''')}}의 정의 관계이며, 그 복소화는 ('''R''')_'''C'''}}이며, 이는 클리퍼드 대수의 분류에 의해 복소 행렬 ('''C''') ≈ M₄('''C''')}}의 대수와 동형이다.

폴 디랙이 전자에 대한 상대론적 1차 파동 방정식을 쓰려고 할 때 처음 작성한 디랙 행렬은 클리퍼드 대수에서 복소 행렬의 대수로의 명시적인 동형 사상을 제공한다. 그 결과는 디랙 방정식을 정의하고 디랙 연산자를 도입하는 데 사용되었다. 전체 클리퍼드 대수는 양자장론에서 디랙 장 양선형의 형태로 나타난다.

==== 컴퓨터 비전 ====

클리퍼드 대수는 컴퓨터 비전 분야의 동작 인식 및 분류 문제에 적용되어 왔다.^[9] 로드리게스 등은 비디오(3차원 시공간 볼륨) 및 옵티컬 플로우와 같은 벡터 값 데이터를 일반화하기 위해 클리퍼드 임베딩을 제안했다.^[9] 벡터 값 데이터는 클리퍼드 푸리에 변환을 사용하여 분석된다.^[9] 이러한 벡터를 기반으로 동작 필터가 클리퍼드 푸리에 도메인에서 합성되며, 클리퍼드 상관 관계를 사용하여 동작 인식이 수행된다.^[9] 저자들은 고전 영화 및 스포츠 방송 텔레비전에서 일반적으로 수행되는 동작을 인식함으로써 클리퍼드 임베딩의 효과를 입증했다.^[9]

7. 1. K이론

7. 2. 물리학

7. 3. 컴퓨터 비전

8. 역사

윌리엄 킹던 클리퍼드가 1876년 3월 10일에 런던 수학회(London Mathematical Society^영어)에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉(On the classification of geometric algebras^영어)라는 제목으로 강의를 하였으며,^[18] 이는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.^[19] 루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.^[20][21][22]

알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌(Karl Theodor Vahlen^de)^[23]이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스^[24][25][26]가 재발견하였다. 1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로(Arnold Samuel Shapiro^영어)는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.^[27]

참조

_[1] 논문 Preliminary sketch of bi-quaternions
_[2] 서적 Mathematical Papers Macmillan
_[3] 서적 Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics Kluwer Academic Publishers
_[4] 서적 An Introduction to Theoretical Kinematics https://books.google[...] MIT Press
_[5] 서적 Theoretical Kinematics https://books.google[...] North Holland Publ. Co.
_[6] 논문 Classical limit of fermions in phase space
_[7] arXiv A Quantum Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics 2002
_[8] 간행물 On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations?
_[9] conference Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification
_[10] 서적 Clifford algebras: an introduction Cambridge University Press 2011-07
_[11] 서적 Quadratic mappings and Clifford algebras https://archive.org/[...] Birkhäuser 2008
_[12] 서적 Introduction to quadratic forms over fields http://www.ams.org/b[...] American Mathematical Society 2005
_[13] 서적 Noncommutative algebra Springer-Verlag 1993
_[14] 서적 Quadratic and hermitian forms over rings Springer 1991
_[15] 저널 Clifford analysis: history and perspective 2001
_[16] 서적 Clifford analysis Pitman 1982
_[17] 서적 Clifford algebras and Dirac operators in harmonic analysis Cambridge University Press 1991
_[18] 저널 March 10th, 1876 1876
_[19] 저널 Applications of Grassmann’s extensive algebra 1878
_[20] 저널 Principes d’un calcul algébrique qui contient comme espèces particulieres le calcul des quantités imaginaires et des quaternions (extrait d’un lettre adressée à M. Hermite) http://gallica.bnf.f[...] 1880
_[21] 서적 Untersuchungen über die Summen von Quadraten Max Cohen und Sohn 1886
_[22] 서적 Clifford algebras and spinors Cambridge University Press 2001-05
_[23] 저널 Ueber Bewegungen und complexe Zahlen 1902
_[24] 저널 Old and new in Möbius groups http://www.acadsci.f[...] 1984
_[25] 저널 Möbius transformations in ℝ^''n'' expressed through 2×2 matrices of Clifford numbers 1986
_[26] 서적 Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics Springer 1986
_[27] 저널 Clifford modules 1964