직교군

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1. 개요

직교군은 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V에서 비퇴화 이차 형식을 보존하는 가역 선형 변환들의 군이다. 이는 대수적 조건으로 정의되어 대수군이며, 실수체나 복소수체에서는 리 군을 이룬다. 직교군은 특수직교군, 스핀 군, 핀 군 등과 연관되며, 직교 리 대수를 갖는다. 직교군은 군론적, 리 이론적, 위상수학적 성질을 가지며, 보트 주기성을 나타낸다. 또한, 유한체, 특히 표수 2인 체 위에서 독특한 성질을 보이며, 물리학, 특히 양자역학, 특수 상대성 이론, 등각 장론 등에서 중요한 역할을 한다.

직교군

개요

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대칭 변환

분야	수학, 특히 선형대수학 및 군론
유형	리 군
성질	대수군
관련 개념	사영 직교군 유니타리 군 특수 직교군

정의

설명	차원 유클리드 공간에서 원점을 고정하는 모든 등거리 변환(isometry)의 군 직교 행렬의 군

성질

부분군

예시	특수 직교군 회전군

예시

일반화

설명	이차 형식을 보존하는 모든 가역 행렬의 군 가 체일 때, 위의 가역 행렬의 군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용

2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 에 비퇴화 이차 형식 $Q\colon V\to K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 의 표수가 2가 아니라면, 이는 $V$ 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.

직교군(直交群, orthogonal group^영어) $\operatorname O(V,Q)$ 는 $Q$ 를 보존하는 $V$ 위의 가역 선형 변환들로 구성된 군이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\operatorname O(V,Q)=\{M\in\operatorname{GL}(V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 $K$ 에 대한 대수군이다. 또한, $K$ 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 $V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이며, $Q$ 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 $\operatorname O(n;K)$ 로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 $K=\mathbb R$ 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 $(p,q)$ 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 $\operatorname O(p,q;\mathbb R)$ 와 같이 쓴다.

"직교군"이라는 이름은 유클리드 공간에서 직교 벡터를 직교 벡터로 변환하는 선형 변환이라는 특징에서 유래되었다.

2.1. 특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 군 준동형 사상인 딕슨 불변량은 다음과 같이 정의된다.

: $D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2$
: $D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2$ .

딕슨 불변량은 원소가 짝수 개의 반사의 곱인 경우 0, 그렇지 않은 경우 1의 값을 갖는다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식 $\det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}$ 과 같다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이므로 딕슨 불변량이 행렬식보다 더 많은 정보를 제공한다.

특수직교군(特殊直交群, special orthogonal group^영어) SO(n;K)는 딕슨 불변량의 핵이다. 즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군과 같다.

특수직교군은 O(n,F)에서 지수 2를 가지며, 표수가 2가 아닌 경우 행렬식이 1인 원소들로 정의된다.

2차원 공간에서 O(2)는 원점을 중심으로 한 회전과 원점을 지나는 직선에 대한 반사로 구성되며, SO(2)는 원점을 중심으로 한 회전으로 구성된다. 두 반사의 합성은 회전이므로 SO(2)는 O(2)의 부분군이다.

실수체 R 위의 특수직교군 SO(n, R)은 O(n, R)의 연결 성분 중 단위원 성분이며, n(n − 1)/2 차원의 실수 콤팩트 리 군이다.

복소수체 C 위의 특수직교군 SO(n, C)는 O(n, C)의 연결 성분 중 단위 행렬을 포함하는 쪽의 연결 성분이며, C 상의 n(n − 1)/2 차원 복소 리 군이다.

2.2. 스핀 군과 핀 군

특수직교군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 에 대하여, 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\operatorname{Spin}(n)$ 이 존재한다.

: $1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1$

이 리 군을 스핀 군(spin group^영어)이라고 한다.

$n>2$ 일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. ( $n=2$ 일 경우는 물론 $\operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)$ 이고, 그 범피복 공간은 $\mathbb R$ 이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군(pin group^영어)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

: $\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&\mathbb Z/2&=&\mathbb Z/2\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Spin}(n)&\to&\operatorname{Pin}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\|\\1&\to&\operatorname{SO}(n)&\to&\operatorname{O}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1\end{matrix}$

2.3. 직교 리 대수

Lie^영어 대수 $\mathfrak{so}(n;K)$ 는 $n\times n$ 실수 반대칭 행렬들로 구성되며, $\mathfrak{so}(n;\mathbb C)$ 는 복소수 반대칭 행렬들로 구성된다. 즉, 다음과 같다.
: $\mathfrak{so}(n;K)=\{M\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon M^\top=-M\}$
리 군에 대응하는 리 대수는 $n$ 차 교대 행렬 전체로 구성되며, 리 괄호는 교환자에 의해 주어진다. 각 $n$ 에 대해 동일한 리 대수가 대응하며, 이를 $\mathfrak{o}(n, F)$ 또는 $\mathfrak{so}(n, F)$ 로 표기하며, 직교 리 대수 또는 특수 직교 리 대수라고 한다. 실수체 상의 각 $n$ 에 대한 리 대수는, 반단순 리 대수의 4가지 족 중 2개의 콤팩트 실수형이다. 그 두 종류는 $n$ 이 홀수일 때 $B_k$ 이며, 짝수일 때 $D_r$ 이다.

2.4. 스피너 노름

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 이차 형식 $Q$ 의 직교군 $\operatorname O(V,Q)$ 에 대하여, 스피너 노름(spinor norm^영어)은 다음과 같은 군 준동형이다.

: $N\colon\operatorname O(V,Q)\to K^\times/(K^\times)^2$
: $N(R_v)=1\qquad(Q(v)\ne0)$

여기서 $R_v$ 는 $v\in V$ 에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

: $R_v\colon u\mapsto u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}$

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

스피너 노름은 체 $K$ 위의 직교군에서 몫군 $K^\times/(K^\times)^2$ (체 $K$ 의 곱셈군을 제곱 원소의 곱셈까지 고려한 것)으로 가는 준동형 사상이며, 노름 $n$ 의 벡터에 대한 반사를 $n$ 의 이미지를 $K^\times/(K^\times)^2$ 로 보낸다.

실수체 위의 일반적인 직교군의 경우, 이 사상은 자명하지만, 다른 체 위에서는 종종 자명하지 않으며, 양의 정부호가 아닌 실수체 위의 이차 형식의 직교군에서도 마찬가지이다.

갈루아 코호몰로지의 관점에서, 직교군의 스핀 피복은 짧은 완전 순서열의 대수적 군을 제공한다.

: $1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow \mathrm{Pin}_V \rightarrow \mathrm{O_V} \rightarrow 1$

여기서 $\mu_2$ 는 1의 제곱근의 대수적 군이다. 표수가 2가 아닌 체 위에서는, 이는 대략적으로 자명한 갈루아 작용을 가진 두 원소의 군과 같다. $F$ 값을 가지는 점들의 군 $\mathrm{O_V}(F)$ 인 $H^0(\mathrm{O_V})$ 에서 $H^1(\mu_2)$ 로의 연결 준동형사상은 본질적으로 스피너 노름이다. 왜냐하면 $H^1(\mu_2)$ 가 체의 제곱에 대한 곱셈 군과 동형이기 때문이다.

2.5. SO*(2n)

실수 리 대수 $\mathfrak{so}^*(2n;\mathbb R)$ 는 $\mathfrak{so}(2n;\mathbb C)$ 의 실수 형태이다. 체 $K$ 위의 $2n$ 차원 벡터 공간 $V$ 에 심플렉틱 구조 $\Omega \colon V\otimes_KV\to V$ 가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는
: $\Omega = \begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}$
의 꼴이다.

그러면, $\operatorname{GL}(V;K)$ 위에 다음 조건을 가할 수 있다.
: $\operatorname O^*(V,\Omega) = \left\{M \in\operatorname{GL}(V;K)\colon\Omega(M^\top u,v) = \Omega(u,Mv)\qquad\forall u,v\in V\right\}$
즉, $\Omega$ 를 $2n\times 2n$ 행렬로 간주하면, 다음 조건이다.
: $M\Omega = \Omega M$
마찬가지로, $\operatorname{SO}^*(V,\Omega) = \operatorname{SL}(V) \cap \operatorname O^*(V,\Omega)$ 이다.

3. 성질

직교군 $O(n)$ 은 일반 선형군 $GL(n, \mathbb{R})$ 의 부분군으로, 유클리드 노름을 보존하는 모든 자기 준동형 사상으로 구성된다. 즉, $\|g(x)\| = \|x\|$ 를 만족하는 자기 준동형 사상 $g$ 이다.

유클리드 공간 $E(n)$ 의 유클리드 등거리 변환 군을 $E(n)$ 이라 하면, 이 군은 특정 공간의 선택에 의존하지 않는데, 이는 동일한 차원의 모든 유클리드 공간이 동형이기 때문이다. 점 $x \in S$ 의 안정 부분군은 $g(x) = x$ 를 만족하는 원소 $g \in E(n)$ 의 부분군인데, 이 안정 부분군은 $O(n)$ 과 동형이다.

$E(n)$ 에서 $O(n)$ 으로의 자연스러운 군 준동형 사상 $p$ 는 다음과 같이 정의된다.
: $p(g)(y-x) = g(y)-g(x)$
여기서 두 점의 뺄셈은 두 번째 점을 첫 번째 점으로 매핑하는 평행 이동 벡터를 나타낸다. $p$ 의 핵은 평행 이동의 벡터 공간이다. 따라서 평행 이동은 $E(n)$ 의 정규 부분군을 형성하고, 두 점의 안정 부분군은 평행 이동의 작용 하에서 켤레 부분군이며, 모든 안정 부분군은 $O(n)$ 과 동형이다.

유클리드 군은 $O(n)$ 과 평행 이동 군의 반직접곱이므로, 유클리드 군의 연구는 본질적으로 $O(n)$ 의 연구로 축소된다.

정규 직교 기저를 선택하면, 직교군은 (행렬 곱셈에 따른) 직교 행렬의 군과 동일시될 수 있다. 직교 행렬은 $Q Q^\mathsf{T} = I$ 를 만족하는 행렬이다. 이 식으로부터 $Q$ 의 행렬식은 1 또는 -1이다. 행렬식이 1인 직교 행렬은 특수 직교군 $SO(n)$ 을 형성하며, 이는 공간의 방향을 보존하는 $O(n)$ 의 모든 직접 등거리 변환으로 구성된다.

$SO(n)$ 은 $O(n)$ 의 정규 부분군이며, 직교군은 $SO(n)$ 과 항등 행렬 및 반사로 형성된 부분군의 내부 반직접 곱이다. 두 원소 $\{\pm I\}$ ( $I$ 는 항등 행렬)는 $O(n)$ 의 정규 부분군이자 고유 부분군이며, $n$ 이 짝수이면 $SO(n)$ 의 고유 부분군이다. $n$ 이 홀수이면 $O(n)$ 은 $SO(n)$ 과 $\{\pm I\}$ 의 내부 직접 곱이다.

$SO(2)$ 는 아벨 군이지만, $n > 2$ 일 때 $SO(n)$ 은 아벨 군이 아니다. $SO(2)$ 의 유한 부분군은 모든 양의 정수 $k$ 에 대해 회전 대칭 $k$ -겹 회전의 순환군 $C_k$ 이며, 이들은 모두 $O(2)$ 와 $SO(2)$ 의 정규 부분군이다.

반사는 초평면에 대해 공간을 거울상으로 변환하는 변환이다. 2차원에서 모든 회전은 두 개의 반사의 곱으로 분해될 수 있다. 각도 $\theta$ 의 회전은 축이 $\theta / 2$ 의 각도를 이루는 두 개의 반사의 곱이다. 최대 $n$ 개의 기본 반사의 곱은 항상 $O(n)$ 의 임의의 원소를 생성하기에 충분하다. 카르탕-디외도네 정리는 이 결과를 표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식의 직교군으로 일반화한 것이다. 원점을 통한 반사는 $n$ 개 미만의 반사의 곱으로는 나타낼 수 없는 $O(n)$ 의 원소의 예시이다.

직교군 $O(n)$ 은 $(n-1)$ -구와 중심이 원점인 구형 대칭을 가진 모든 객체의 대칭군이다. 원의 대칭군은 $O(2)$ 이며, 방향을 보존하는 부분군 $SO(2)$ 는 원군과 동형이며, 이는 절대값이 1인 복소수의 곱셈군인 $U(1)$ 으로도 알려져 있다. 이 동형 사상은 절대값 1인 복소수 $\exp(\varphi i) = \cos(\varphi) + i \sin(\varphi)$ 를 특수 직교 행렬로 보낸다.
: $\begin{bmatrix}\cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\\sin(\varphi) & \cos(\varphi)\end{bmatrix}.$

더 높은 차원에서 $O(n)$ 은 더 복잡한 구조를 가진다. $n$ -구와 $O(n)$ 의 위상 구조는 강력하게 상관되어 있으며, 두 위상 공간을 연구하는 데 널리 사용된다.

군 $O(n)$ 과 $SO(n)$ 는 실수 콤팩트 리 군으로, 차원은 $n(n-1)/2$ 이다. $O(n)$ 은 두 개의 연결 성분을 가지며, $SO(n)$ 은 항등 성분이다.

직교군 $O(n)$ 은 $A$ 가 $A^\mathsf{T}A = I$ 를 만족하는 행렬의 그룹과 동일시될 수 있다. 이 방정식은 $n(n+1)/2$ 개의 방정식을 제공하며, 이는 $O(n)$ 이 대수적 집합임을 증명한다. 또한, 그 차원은 $n(n-1)/2$ 이며, 이는 $O(n)$ 이 완전 교차임을 의미한다. $O(n)$ 은 두 개의 기약 성분을 가지며, 이는 행렬식의 부호에 의해 구별된다. $\det(A) = 1$ 인 성분은 $SO(n)$ 이다.

실수체 상에서, 비퇴화 이차 형식은 실베스터의 관성 법칙에 의해 분류된다. $n$ 차원 벡터 공간에서 이차 형식은 $p$ 개의 제곱의 합과 $q$ 개의 제곱의 합의 차이로 표현될 수 있으며, $p+q=n$ 이다. 이차 형식의 직교군은 관성에만 의존하므로 일반적으로 $O(p, q)$ 로 표기된다. $O(p, q) = O(q, p)$ 이다. 표준 직교군은 $O(n) = O(n, 0) = O(0, n)$ 이다.

$O(p, q)$ 에서 행렬식 1인 행렬의 부분군은 $SO(p, q)$ 로 표기된다. 군 $O(p, q)$ 는 네 개의 연결 성분을 갖는다. 두 부분 공간 모두에서 방향을 보존하는 항등원의 성분은 $SO^+(p, q)$ 로 표기된다. 군 $O(3, 1)$ 은 상대성 이론에서 기본적인 로렌츠 군이다.

복소수 $\mathbb{C}$ 체에서, $n$ 개의 변수를 갖는 모든 비퇴화 이차 형식은 $x_1^2 + \dots + x_n^2$ 과 동치이다. 따라서, 동형 사상을 제외하면, 차원이 $n$ 인 비퇴화 복소수 이차 공간은 단 하나만 존재하며, 일반적으로 $O(n, \mathbb{C})$ 로 표기되는 하나의 연관된 직교군이 있다. 이는 곱이 전치 행렬과 항등 행렬이 되는 복소 행렬인 '복소 직교 행렬'의 군이다.

$O(n, \mathbb{C})$ 는 두 개의 연결 성분을 갖는다. 항등원의 성분은 $O(n, \mathbb{C})$ 에서 행렬식이 1인 모든 행렬로 구성되며, $SO(n, \mathbb{C})$ 로 표기된다. 군 $O(n, \mathbb{C})$ 및 $SO(n, \mathbb{C})$ 는 $\mathbb{C}$ 위에서 차원이 $n(n-1)/2$ 인 복소 리 군이다. $n \ge 2$ 인 경우, 이 군들은 비콤팩트하다. $SO(n, \mathbb{C})$ 는 단일 연결되지 않는다.

직교군의 구조는 짝수 차원과 홀수 차원에서 다르다. 실수체 $\mathbb{R}$ 위의 직교군 $O(n, \mathbb{R})$ 및 특수 직교군 $SO(n, \mathbb{R})$ 은 $O(n)$ 이나 $SO(n)$ 으로 표기된다. 이들은 $n(n-1)/2$ 차원의 실수 콤팩트 리 군이다. $O(n, \mathbb{R})$ 은 두 개의 연결 성분을 가지며, $SO(n, \mathbb{R})$ 이 단위원 성분이다.

3.1. 군론적 성질

군 준동형 $D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2$ 는 딕슨 불변량(Dickson invariant^영어)이라고 하며, 체의 표수가 2가 아닌 경우 행렬식 $\det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}$ 과 같다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.

특수직교군(special orthogonal group^영어) $\operatorname{SO}(n;K)$ 는 딕슨 불변량의 핵이다. 즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 체의 표수가 2가 아니라면, 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.
: $1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n;K)\to\operatorname{SO}(n;K)\to1$ .

체 $K$ 에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.
: $\operatorname Z(\operatorname O(n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}$
$K$ 의 표수가 2가 아니라면 중심의 크기는 2이며, $K$ 의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, $n$ 이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, $n$ 이 홀수라면 그렇지 않다.
: $\operatorname Z(\operatorname{SO}(n;K))=\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}\qquad(\operatorname{char}K\ne2)$

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(projective orthogonal group^영어)
: $\operatorname{PO}(n;K)=\operatorname O(n;K)/\operatorname Z(\operatorname O(n;K))$
을 얻는다.

스핀 군의 중심은 다음과 같다.
: $\operatorname Z(\operatorname{Spin}(n;\mathbb C))=\begin{cases}\mathbb Z/2&n\equiv1,3\pmod4\\\mathbb Z/4&n\equiv2\pmod4\\(\mathbb Z/2)^{\oplus2}&n\equiv0\pmod4\end{cases}$
: $\operatorname Z(\operatorname{Spin}(p,q;\mathbb R))=\begin{cases}\mathbb Z/2&pq\not\equiv0\pmod4\\\mathbb Z/4&pq\equiv0\pmod4\end{cases}$

3.2. 리 이론적 성질

복소수 리 군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb C)$ 는 $n\ne4$ 일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, $n=2k+1$ 이면 $B_k$ 에, $n=2k$ 라면 $D_k$ 에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

: $B_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet$

: $D_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\langle{\bullet\atop\bullet}$

$\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 는 $\operatorname{SO}(n;\mathbb C)$ 의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 $\operatorname{SO}(k,k;\mathbb R)$ 이며, 홀수 차수에서는 $\operatorname{SO}(k+1,k;\mathbb R)$ 이다.

$\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)$ 의 극대 원환면은 다음과 같은 형태이다.

: $\begin{pmatrix}R_1&&0\\&\ddots\\0&&R_k\end{pmatrix}$

여기서

: $R_i=\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\\\sin\theta_i&\cos\theta_i\end{pmatrix}$

는 2×2 회전 행렬이다. $\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)$ 의 극대 원환면은 다음과 같다.

: $\begin{pmatrix}R_1&&&0\\&\ddots\\&&R_k\\0&&&1\end{pmatrix}$

$\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)$ 의 바일 군은 반직접곱 $\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^k\rtimes\operatorname{Sym}(k)$ 이다. 여기서 $\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm 1\}^k$ 는 $\epsilon\colon \theta_i\mapsto\epsilon_i\theta_i$ 와 같이 작용하며, 순열 $\sigma\in\operatorname{Sym}(k)$ 는 $\sigma\colon\theta_i\mapsto\theta_{\sigma(i)}$ 와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 $(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm1\}^k$ 의 원소는 블록 대각 행렬

: $\operatorname{diag}\left(M(\epsilon_1),\dots,M(\epsilon_k),\prod_{i=1}^k\epsilon_k\right)\in\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)$

: $M(+1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

이며, $\operatorname{Sym}(k)$ 의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 $2k\times 2k$ 치환행렬에 $(2k+1,2k+1)$ 번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

$\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)$ 의 바일 군은 반직접곱 $\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^{k-1}\rtimes\operatorname{Sym}(k)$ 이다. 포함 관계 $\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))<\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))$ 아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \xrightarrow\phi \{\pm1\} \to 1$

이며, $\phi$ 는 다음과 같다.

: $\phi\colon(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k,\sigma)\mapsto\prod_{i=1}^k\epsilon_k\in\{\pm1\}$

3.3. 위상수학적 성질

실수 직교군 $\operatorname{O}(n;\mathbb R)$ 은 $n(n-1)/2$ 차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 실수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지는데, 각각 행렬식 $\det M=\pm1$ 인 실수 직교행렬들로 구성된다. 이 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 를 이룬다.

복소수 직교군 $\operatorname O(n;\mathbb C)$ 은 복소수 $n(n-1)/2$ 차원(실수 $n(n-1)$ 차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. $n\ge2$ 인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 $\det M=\pm1$ 인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 $\operatorname{SO}(n;\mathbb C)$ 를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.
: $\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb R))\cong\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb C))\cong\begin{cases}1&n=1\\\mathbb Z&n=2\\\mathbb Z/2&n>2\end{cases}$
이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 $n=2$ 에서는 $\mathbb R$ 를, $n>2$ 에서는 스핀 군 $\operatorname{Spin}(n)$ 을 얻는다. $n>2$ 일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다.

$\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 에 대하여, 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 $\operatorname{Spin}(n)$ 이 존재한다.
: $1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1$ .
이 리 군을 스핀 군(spin group^영어)이라고 한다.

부정부호 실수 직교군 $\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)$ ( $p,q>0$ )는 네 개의 연결 성분을 가지며, 다음과 같다.
: $\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))=(\mathbb Z/2)^2$
여기서 한 $\mathbb Z/2$ 는 $p$ 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 $q$ 차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. $\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)$ 는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우 다음과 같다.
: $\pi_0(\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))$
$\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)$ 의 연결 부분군을 $\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R)$ 라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
: $\pi_1(\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R))=\pi_1(\operatorname{SO}(p;\mathbb R))\times\pi_1(\operatorname{SO}(q;\mathbb R))$

3.3.1. 보트 주기성

호프 올뭉치
: $\operatorname O(n)\hookrightarrow\operatorname O(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^n$
으로 인하여, 만약 $i 이라면$
: $\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))$
이다. 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.
: $\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8\end{cases}\qquad(i$
이 주기성을 보트 주기성(Bott periodicity^영어)이라고 한다.

보트 주기성으로부터 $\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)$ 를 얻으므로, $\operatorname O(\infty)$ 의 호모토피 군은 8배 주기적이며, 이는 $\pi_{k+8}(\operatorname O) = \pi_k(\operatorname O)$ 를 의미한다.

3.4. 포함 관계

모든 $n$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

* $\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SU}(n)\subset\operatorname{USp}(2n)$
* $\operatorname{SU}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(2n)$
* $\operatorname{SO}(n-1;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

* $\operatorname{Spin}(3)\subset G_2$
* $\operatorname{Spin}(9)\subset F_4$
* $\operatorname{Spin}(10)\subset E_6$
* $\operatorname{Spin}(12)\subset E_7$
* $\operatorname{Spin}(16)\subset E_8$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(exceptional isomorphism^영어)을 보인다.

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차원	예외적 동형
1차원	$\operatorname O(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\cong\mathbb Z/2$ $\operatorname{SO}(1)\cong\operatorname{PSO}(1)\cong1$
2차원	$\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)\cong\mathbb S^1$ $\operatorname{SO}^+(1,1;\mathbb R)\cong\mathbb R$
3차원	$\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{PUSp}(2)\cong\mathbb{RP}^2$ $\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{USp}(2)\cong\mathbb S^3$ $\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)$ $\operatorname{SO}^+(2,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ $\operatorname{Spin}^+(2,1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)$
4차원	$\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\cong\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^3$ $\operatorname{PSO}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2)$ $\operatorname{PSO}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ $\operatorname{SO}^+(3,1;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)$
5차원	$\operatorname{SO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PUSp}(4)$ $\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)$ $\operatorname{SO}^+(3,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)$
6차원	$\operatorname{SO}(6)\cong\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{PSO}(6)\cong\operatorname{PSU}(4)$ $\operatorname{Spin}(6)\cong\operatorname{SU}(4)$ $\operatorname{SO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb H)$ $\operatorname{SO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{SU}(2,2)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{PSO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2,2)$ $\operatorname{SO}^+(3,3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(3,3)\cong\operatorname{PSL}(4;\mathbb R)$

3.5. 홀수 표수 유한체 위에서의 직교군

$\mathbb F_q$ 가 표수가 2가 아닌 유한체일 때, 주어진 차원의 벡터 공간 $\mathbb F_q^n$ 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다.

홀수 차원에서는 제곱수가 아닌 $\alpha\in\mathbb F_q$ 에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 두 동형류는 $Q_1$ 과 $aQ_1$ 꼴이다 ( $a\in\mathbb F_q$ 는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 $\operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)$ 은 유일하다.

반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 $n/2$ 인 것을 플러스형, $n/2-1$ 인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 $\operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)$ 라고 쓴다.

표수가 2가 아닌 유한체 $\mathbb F_q$ ( $q=p^k$ , $p$ 는 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.

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직교군	크기
$\operatorname O(2n+1;\mathbb F_q)$	$2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$
$\operatorname O^+(2n;\mathbb F_q)$	$2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$
$\operatorname O^-(2n;\mathbb F_q)$	$2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

3.6. 표수 2에서의 직교군

표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다. 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다. 구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

특성 2의 체 위에서 직교군은 다음과 같은 특수한 행동을 보인다.
* 임의의 체 위의 모든 직교군은 반사에 의해 생성되지만, 벡터 공간이 2개의 원소를 가진 체 위에서 4차원이고 비트 지수가 2인 고유한 예외가 있다.
* 직교군의 중심은 특성 2에서 1의 차수를 가진다.
* 특성 2에서 홀수 차원에서 완비체 위의 직교군은 짝수 차원의 심플렉틱 군과 동일하다.
* 특성 2에서 짝수 차원에서는 이차 형식의 대칭 쌍선형 형식이 또한 교대 형식이므로 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

4. 응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, (p,q)-차원 시공간의 등각 대칭군은 SO(p+1,q+1)이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.