직교군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 응용
참조

1. 개요

직교군은 체 K 위의 유한 차원 벡터 공간 V에서 비퇴화 이차 형식을 보존하는 가역 선형 변환들의 군이다. 이는 대수적 조건으로 정의되어 대수군이며, 실수체나 복소수체에서는 리 군을 이룬다. 직교군은 특수직교군, 스핀 군, 핀 군 등과 연관되며, 직교 리 대수를 갖는다. 직교군은 군론적, 리 이론적, 위상수학적 성질을 가지며, 보트 주기성을 나타낸다. 또한, 유한체, 특히 표수 2인 체 위에서 독특한 성질을 보이며, 물리학, 특히 양자역학, 특수 상대성 이론, 등각 장론 등에서 중요한 역할을 한다.

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직교군
개요
대칭 변환
분야	수학, 특히 선형대수학 및 군론
유형	리 군
성질	대수군
관련 개념	사영 직교군 유니타리 군 특수 직교군
정의
설명	차원 유클리드 공간에서 원점을 고정하는 모든 등거리 변환(isometry)의 군 직교 행렬의 군
성질
부분군
예시	특수 직교군 회전군
예시
일반화
설명	이차 형식을 보존하는 모든 가역 행렬의 군 가 체일 때, 위의 가역 행렬의 군

2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 벡터 공간 $V$ 에 비퇴화 이차 형식 $Q\colon V\to K$ 가 주어졌다고 하자. $K$ 의 표수가 2가 아니라면, 이는 $V$ 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.

'''직교군'''(直交群, orthogonal group^영어) $\operatorname O(V,Q)$ 는 $Q$ 를 보존하는 $V$ 위의 가역 선형 변환들로 구성된 군이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\operatorname O(V,Q)=\{M\in\operatorname{GL}(V)\colon Q(u)=Q(Mu)\forall u\in V\}$

이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 $K$ 에 대한 대수군이다. 또한, $K$ 가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.

만약 $V$ 가 $n$ 차원 벡터 공간이며, $Q$ 가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 $\operatorname O(n;K)$ 로 쓴다.

실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 $K=\mathbb R$ 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 $(p,q)$ 에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 $\operatorname O(p,q;\mathbb R)$ 와 같이 쓴다.

"직교군"이라는 이름은 유클리드 공간에서 직교 벡터를 직교 벡터로 변환하는 선형 변환이라는 특징에서 유래되었다.

2. 1. 특수직교군

직교군에서 2차 순환군으로 가는 군 준동형 사상인 딕슨 불변량은 다음과 같이 정의된다.

:

D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2

:

D\colon M\mapsto\operatorname{rank}(1-M)\pmod 2

.

딕슨 불변량은 원소가 짝수 개의 반사의 곱인 경우 0, 그렇지 않은 경우 1의 값을 갖는다.^[8] 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식

\det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}

과 같다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이므로 딕슨 불변량이 행렬식보다 더 많은 정보를 제공한다.

'''특수직교군'''(特殊直交群, special orthogonal group^영어) SO(n;K)는 딕슨 불변량의 핵이다.^[8] 즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군과 같다.^[9]

특수직교군은 O(n,F)에서 지수 2를 가지며, 표수가 2가 아닌 경우 행렬식이 1인 원소들로 정의된다.

2차원 공간에서 O(2)는 원점을 중심으로 한 회전과 원점을 지나는 직선에 대한 반사로 구성되며, SO(2)는 원점을 중심으로 한 회전으로 구성된다. 두 반사의 합성은 회전이므로 SO(2)는 O(2)의 부분군이다.

실수체 '''R''' 위의 특수직교군 SO(''n'', '''R''')은 O(''n'', '''R''')의 연결 성분 중 단위원 성분이며, ''n''(''n'' − 1)/2 차원의 실수 콤팩트 리 군이다.

복소수체 '''C''' 위의 특수직교군 SO(''n'', '''C''')는 O(''n'', '''C''')의 연결 성분 중 단위 행렬을 포함하는 쪽의 연결 성분이며, '''C''' 상의 ''n''(''n'' − 1)/2 차원 복소 리 군이다.

2. 2. 스핀 군과 핀 군

특수직교군

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

에 대하여, 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군

\operatorname{Spin}(n)

이 존재한다.

:

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1

이 리 군을 '''스핀 군'''(spin group^영어)이라고 한다.

n>2

일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. (

n=2

일 경우는 물론

\operatorname{SO}(2)=\operatorname{U}(1)

이고, 그 범피복 공간은

\mathbb R

이다.)

마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 '''핀 군'''(pin group^영어)을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.

:

\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&\mathbb Z/2&=&\mathbb Z/2\\&&\downarrow&&\downarrow\\1&\to&\operatorname{Spin}(n)&\to&\operatorname{Pin}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow&&\|\\1&\to&\operatorname{SO}(n)&\to&\operatorname{O}(n)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\&&\downarrow&&\downarrow\\&&1&&1\end{matrix}

2. 3. 직교 리 대수

Lie^영어 대수

\mathfrak{so}(n;K)

는

n\times n

실수 반대칭 행렬들로 구성되며,

\mathfrak{so}(n;\mathbb C)

는 복소수 반대칭 행렬들로 구성된다.^[2] 즉, 다음과 같다.

:

\mathfrak{so}(n;K)=\{M\in\operatorname{Mat}(n;K)\colon M^\top=-M\}

리 군에 대응하는 리 대수는

n

차 교대 행렬 전체로 구성되며, 리 괄호는 교환자에 의해 주어진다. 각

n

에 대해 동일한 리 대수가 대응하며, 이를

\mathfrak{o}(n, F)

또는

\mathfrak{so}(n, F)

로 표기하며, '''직교 리 대수''' 또는 '''특수 직교 리 대수'''라고 한다. 실수체 상의 각

n

에 대한 리 대수는, 반단순 리 대수의 4가지 족 중 2개의 콤팩트 실수형이다. 그 두 종류는

n

이 홀수일 때

B_k

이며, 짝수일 때

D_r

이다.^[2]

2. 4. 스피너 노름

체

K

위의 벡터 공간

V

위의 이차 형식

Q

의 직교군

\operatorname O(V,Q)

에 대하여, '''스피너 노름'''(spinor norm^영어)은 다음과 같은 군 준동형이다.^[11]

:

N\colon\operatorname O(V,Q)\to K^\times/(K^\times)^2

:

N(R_v)=1\qquad(Q(v)\ne0)

여기서

R_v

는

v\in V

에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.

:

R_v\colon u\mapsto u-v\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}

직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.

스피너 노름은 체

K

위의 직교군에서 몫군

K^\times/(K^\times)^2

(체

K

의 곱셈군을 제곱 원소의 곱셈까지 고려한 것)으로 가는 준동형 사상이며, 노름

n

의 벡터에 대한 반사를

n

의 이미지를

K^\times/(K^\times)^2

로 보낸다.^[11]

실수체 위의 일반적인 직교군의 경우, 이 사상은 자명하지만, 다른 체 위에서는 종종 자명하지 않으며, 양의 정부호가 아닌 실수체 위의 이차 형식의 직교군에서도 마찬가지이다.

갈루아 코호몰로지의 관점에서, 직교군의 스핀 피복은 짧은 완전 순서열의 대수적 군을 제공한다.

:

1 \rightarrow \mu_2 \rightarrow \mathrm{Pin}_V \rightarrow \mathrm{O_V} \rightarrow 1

여기서

\mu_2

는 1의 제곱근의 대수적 군이다. 표수가 2가 아닌 체 위에서는, 이는 대략적으로 자명한 갈루아 작용을 가진 두 원소의 군과 같다.

F

값을 가지는 점들의 군

\mathrm{O_V}(F)

인

H^0(\mathrm{O_V})

에서

H^1(\mu_2)

로의 연결 준동형사상은 본질적으로 스피너 노름이다. 왜냐하면

H^1(\mu_2)

가 체의 제곱에 대한 곱셈 군과 동형이기 때문이다.

2. 5. SO*(2n)

실수 리 대수

\mathfrak{so}^*(2n;\mathbb R)

는

\mathfrak{so}(2n;\mathbb C)

의 실수 형태이다. 체

K

위의

2n

차원 벡터 공간

V

에 심플렉틱 구조

\Omega \colon V\otimes_KV\to V

가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는

:

\Omega = \begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\

1_{n\times n}&0_{n\times n}

\end{pmatrix}

의 꼴이다.

그러면,

\operatorname{GL}(V;K)

위에 다음 조건을 가할 수 있다.

:

\operatorname O^*(V,\Omega) = \left\{M \in\operatorname{GL}(V;K)\colon\Omega(M^\top u,v) = \Omega(u,Mv)\qquad\forall u,v\in V\right\}

즉,

\Omega

를

2n\times 2n

행렬로 간주하면, 다음 조건이다.

:

M\Omega = \Omega M

마찬가지로,

\operatorname{SO}^*(V,\Omega) = \operatorname{SL}(V) \cap \operatorname O^*(V,\Omega)

이다.

3. 성질

직교군 $O(n)$ 은 일반 선형군 $GL(n, \mathbb{R})$ 의 부분군으로, 유클리드 노름을 보존하는 모든 자기 준동형 사상으로 구성된다. 즉, $\|g(x)\| = \|x\|$ 를 만족하는 자기 준동형 사상 $g$ 이다.^[18]

유클리드 공간 $E(n)$ 의 유클리드 등거리 변환 군을 $E(n)$ 이라 하면, 이 군은 특정 공간의 선택에 의존하지 않는데, 이는 동일한 차원의 모든 유클리드 공간이 동형이기 때문이다. 점 $x \in S$ 의 안정 부분군은 $g(x) = x$ 를 만족하는 원소 $g \in E(n)$ 의 부분군인데, 이 안정 부분군은 $O(n)$ 과 동형이다.

$E(n)$ 에서 $O(n)$ 으로의 자연스러운 군 준동형 사상 $p$ 는 다음과 같이 정의된다.

: $p(g)(y-x) = g(y)-g(x)$

여기서 두 점의 뺄셈은 두 번째 점을 첫 번째 점으로 매핑하는 평행 이동 벡터를 나타낸다. $p$ 의 핵은 평행 이동의 벡터 공간이다. 따라서 평행 이동은 $E(n)$ 의 정규 부분군을 형성하고, 두 점의 안정 부분군은 평행 이동의 작용 하에서 켤레 부분군이며, 모든 안정 부분군은 $O(n)$ 과 동형이다.

유클리드 군은 $O(n)$ 과 평행 이동 군의 반직접곱이므로, 유클리드 군의 연구는 본질적으로 $O(n)$ 의 연구로 축소된다.

정규 직교 기저를 선택하면, 직교군은 (행렬 곱셈에 따른) 직교 행렬의 군과 동일시될 수 있다. 직교 행렬은 $Q Q^\mathsf{T} = I$ 를 만족하는 행렬이다.^[18] 이 식으로부터 $Q$ 의 행렬식은 1 또는 -1이다. 행렬식이 1인 직교 행렬은 특수 직교군 $SO(n)$ 을 형성하며, 이는 공간의 방향을 보존하는 $O(n)$ 의 모든 직접 등거리 변환으로 구성된다.

$SO(n)$ 은 $O(n)$ 의 정규 부분군이며, 직교군은 $SO(n)$ 과 항등 행렬 및 반사로 형성된 부분군의 내부 반직접 곱이다. 두 원소 $\{\pm I\}$ ( $I$ 는 항등 행렬)는 $O(n)$ 의 정규 부분군이자 고유 부분군이며, $n$ 이 짝수이면 $SO(n)$ 의 고유 부분군이다. $n$ 이 홀수이면 $O(n)$ 은 $SO(n)$ 과 $\{\pm I\}$ 의 내부 직접 곱이다.

$SO(2)$ 는 아벨 군이지만, $n > 2$ 일 때 $SO(n)$ 은 아벨 군이 아니다. $SO(2)$ 의 유한 부분군은 모든 양의 정수 $k$ 에 대해 회전 대칭 $k$ -겹 회전의 순환군 $C_k$ 이며, 이들은 모두 $O(2)$ 와 $SO(2)$ 의 정규 부분군이다.

반사는 초평면에 대해 공간을 거울상으로 변환하는 변환이다. 2차원에서 모든 회전은 두 개의 반사의 곱으로 분해될 수 있다. 각도 $\theta$ 의 회전은 축이 $\theta / 2$ 의 각도를 이루는 두 개의 반사의 곱이다. 최대 $n$ 개의 기본 반사의 곱은 항상 $O(n)$ 의 임의의 원소를 생성하기에 충분하다. 카르탕-디외도네 정리는 이 결과를 표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식의 직교군으로 일반화한 것이다. 원점을 통한 반사는 $n$ 개 미만의 반사의 곱으로는 나타낼 수 없는 $O(n)$ 의 원소의 예시이다.

직교군 $O(n)$ 은 $(n-1)$ -구와 중심이 원점인 구형 대칭을 가진 모든 객체의 대칭군이다. 원의 대칭군은 $O(2)$ 이며, 방향을 보존하는 부분군 $SO(2)$ 는 원군과 동형이며, 이는 절대값이 1인 복소수의 곱셈군인 $U(1)$ 으로도 알려져 있다. 이 동형 사상은 절대값 1인 복소수 $\exp(\varphi i) = \cos(\varphi) + i \sin(\varphi)$ 를 특수 직교 행렬로 보낸다.

: $\begin{bmatrix}\cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\\sin(\varphi) & \cos(\varphi)\end{bmatrix}.$

더 높은 차원에서 $O(n)$ 은 더 복잡한 구조를 가진다. $n$ -구와 $O(n)$ 의 위상 구조는 강력하게 상관되어 있으며, 두 위상 공간을 연구하는 데 널리 사용된다.

군 $O(n)$ 과 $SO(n)$ 는 실수 콤팩트 리 군으로, 차원은 $n(n-1)/2$ 이다. $O(n)$ 은 두 개의 연결 성분을 가지며, $SO(n)$ 은 항등 성분이다.

직교군 $O(n)$ 은 $A$ 가 $A^\mathsf{T}A = I$ 를 만족하는 행렬의 그룹과 동일시될 수 있다. 이 방정식은 $n(n+1)/2$ 개의 방정식을 제공하며, 이는 $O(n)$ 이 대수적 집합임을 증명한다. 또한, 그 차원은 $n(n-1)/2$ 이며, 이는 $O(n)$ 이 완전 교차임을 의미한다. $O(n)$ 은 두 개의 기약 성분을 가지며, 이는 행렬식의 부호에 의해 구별된다. $\det(A) = 1$ 인 성분은 $SO(n)$ 이다.

실수체 상에서, 비퇴화 이차 형식은 실베스터의 관성 법칙에 의해 분류된다. $n$ 차원 벡터 공간에서 이차 형식은 $p$ 개의 제곱의 합과 $q$ 개의 제곱의 합의 차이로 표현될 수 있으며, $p+q=n$ 이다. 이차 형식의 직교군은 관성에만 의존하므로 일반적으로 $O(p, q)$ 로 표기된다. $O(p, q) = O(q, p)$ 이다. 표준 직교군은 $O(n) = O(n, 0) = O(0, n)$ 이다.

$O(p, q)$ 에서 행렬식 1인 행렬의 부분군은 $SO(p, q)$ 로 표기된다. 군 $O(p, q)$ 는 네 개의 연결 성분을 갖는다. 두 부분 공간 모두에서 방향을 보존하는 항등원의 성분은 $SO^+(p, q)$ 로 표기된다. 군 $O(3, 1)$ 은 상대성 이론에서 기본적인 로렌츠 군이다.

복소수 $\mathbb{C}$ 체에서, $n$ 개의 변수를 갖는 모든 비퇴화 이차 형식은 $x_1^2 + \dots + x_n^2$ 과 동치이다. 따라서, 동형 사상을 제외하면, 차원이 $n$ 인 비퇴화 복소수 이차 공간은 단 하나만 존재하며, 일반적으로 $O(n, \mathbb{C})$ 로 표기되는 하나의 연관된 직교군이 있다. 이는 곱이 전치 행렬과 항등 행렬이 되는 복소 행렬인 '복소 직교 행렬'의 군이다.

$O(n, \mathbb{C})$ 는 두 개의 연결 성분을 갖는다. 항등원의 성분은 $O(n, \mathbb{C})$ 에서 행렬식이 1인 모든 행렬로 구성되며, $SO(n, \mathbb{C})$ 로 표기된다. 군 $O(n, \mathbb{C})$ 및 $SO(n, \mathbb{C})$ 는 $\mathbb{C}$ 위에서 차원이 $n(n-1)/2$ 인 복소 리 군이다. $n \ge 2$ 인 경우, 이 군들은 비콤팩트하다. $SO(n, \mathbb{C})$ 는 단일 연결되지 않는다.

직교군의 구조는 짝수 차원과 홀수 차원에서 다르다. 실수체 $\mathbb{R}$ 위의 직교군 $O(n, \mathbb{R})$ 및 특수 직교군 $SO(n, \mathbb{R})$ 은 $O(n)$ 이나 $SO(n)$ 으로 표기된다. 이들은 $n(n-1)/2$ 차원의 실수 콤팩트 리 군이다. $O(n, \mathbb{R})$ 은 두 개의 연결 성분을 가지며, $SO(n, \mathbb{R})$ 이 단위원 성분이다.

3. 1. 군론적 성질

군 준동형

D\colon\operatorname O(n;K)\to\mathbb Z/2

는 딕슨 불변량(Dickson invariant^영어)이라고 하며, 체의 표수가 2가 아닌 경우 행렬식

\det\colon\operatorname{O}(n;K)\to\{\pm1\}

과 같다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.

특수직교군(special orthogonal group^영어)

\operatorname{SO}(n;K)

는 딕슨 불변량의 핵이다. 즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 체의 표수가 2가 아니라면, 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.

:

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n;K)\to\operatorname{SO}(n;K)\to1

.

체

K

에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.

:

\operatorname Z(\operatorname O(n;K))=\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}

K

의 표수가 2가 아니라면 중심의 크기는 2이며,

K

의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때,

n

이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만,

n

이 홀수라면 그렇지 않다.

:

\operatorname Z(\operatorname{SO}(n;K))=\begin{cases}\{+1_{n\times n},-1_{n\times n}\}&2\mid n\\\{1_{n\times n}\}&2\nmid n\end{cases}\qquad(\operatorname{char}K\ne2)

중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군(projective orthogonal group^영어)

:

\operatorname{PO}(n;K)=\operatorname O(n;K)/\operatorname Z(\operatorname O(n;K))

을 얻는다.

스핀 군의 중심은 다음과 같다.

:

\operatorname Z(\operatorname{Spin}(n;\mathbb C))=\begin{cases}\mathbb Z/2&n\equiv1,3\pmod4\\\mathbb Z/4&n\equiv2\pmod4\\(\mathbb Z/2)^{\oplus2}&n\equiv0\pmod4\end{cases}

:

\operatorname Z(\operatorname{Spin}(p,q;\mathbb R))=\begin{cases}\mathbb Z/2&pq\not\equiv0\pmod4\\\mathbb Z/4&pq\equiv0\pmod4\end{cases}

3. 2. 리 이론적 성질

복소수 리 군

\operatorname{SO}(n;\mathbb C)

는

n\ne4

일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서,

n=2k+1

이면

B_k

에,

n=2k

라면

D_k

에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

:

B_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\Rightarrow\bullet

:

D_k\colon\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\langle{\bullet\atop\bullet}

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

는

\operatorname{SO}(n;\mathbb C)

의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는

\operatorname{SO}(k,k;\mathbb R)

이며, 홀수 차수에서는

\operatorname{SO}(k+1,k;\mathbb R)

이다.

\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)

의 극대 원환면은 다음과 같은 형태이다.

:

\begin{pmatrix}R_1&&0\\&\ddots\\0&&R_k\end{pmatrix}

여기서

:

R_i=\begin{pmatrix}\cos\theta_i&-\sin\theta_i\\\sin\theta_i&\cos\theta_i\end{pmatrix}

는 2×2 회전 행렬이다.

\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)

의 극대 원환면은 다음과 같다.

:

\begin{pmatrix}R_1&&&0\\&\ddots\\&&R_k\\0&&&1\end{pmatrix}

\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)

의 바일 군은 반직접곱

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^k\rtimes\operatorname{Sym}(k)

이다. 여기서

\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm 1\}^k

는

\epsilon\colon \theta_i\mapsto\epsilon_i\theta_i

와 같이 작용하며, 순열

\sigma\in\operatorname{Sym}(k)

는

\sigma\colon\theta_i\mapsto\theta_{\sigma(i)}

와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서

(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm1\}^k

의 원소는 블록 대각 행렬

:

\operatorname{diag}\left(M(\epsilon_1),\dots,M(\epsilon_k),\prod_{i=1}^k\epsilon_k\right)\in\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)

:

M(+1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

이며,

\operatorname{Sym}(k)

의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의

2k\times 2k

치환행렬에

(2k+1,2k+1)

번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.

\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)

의 바일 군은 반직접곱

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^{k-1}\rtimes\operatorname{Sym}(k)

이다. 포함 관계

\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))<\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))

아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.

:

1\to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \xrightarrow\phi \{\pm1\} \to 1

이며,

\phi

는 다음과 같다.

:

\phi\colon(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k,\sigma)\mapsto\prod_{i=1}^k\epsilon_k\in\{\pm1\}

3. 3. 위상수학적 성질

실수 직교군

\operatorname{O}(n;\mathbb R)

은

n(n-1)/2

차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 실수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지는데, 각각 행렬식

\det M=\pm1

인 실수 직교행렬들로 구성된다. 이 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

를 이룬다.

복소수 직교군

\operatorname O(n;\mathbb C)

은 복소수

n(n-1)/2

차원(실수

n(n-1)

차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다.

n\ge2

인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이

\det M=\pm1

인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군

\operatorname{SO}(n;\mathbb C)

를 이룬다.

실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.

:

\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb R))\cong\pi_1(\operatorname{SO}(n;\mathbb C))\cong\begin{cases}1&n=1\\\mathbb Z&n=2\\\mathbb Z/2&n>2\end{cases}

이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면

n=2

에서는

\mathbb R

를,

n>2

에서는 스핀 군

\operatorname{Spin}(n)

을 얻는다.

n>2

일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다.

\operatorname{SO}(n;\mathbb R)

에 대하여, 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군

\operatorname{Spin}(n)

이 존재한다.

:

1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\to1

.

이 리 군을 '''스핀 군'''(spin group^영어)이라고 한다.

부정부호 실수 직교군

\operatorname{O}(p,q;\mathbb R)

(

p,q>0

)는 네 개의 연결 성분을 가지며, 다음과 같다.

:

\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))=(\mathbb Z/2)^2

여기서 한

\mathbb Z/2

는

p

차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는

q

차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다.

\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)

는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우 다음과 같다.

:

\pi_0(\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R))=\{(1,1),(-1,-1)\}\subset\pi_0(\operatorname O(p,q;\mathbb R))

\operatorname{SO}(p,q;\mathbb R)

의 연결 부분군을

\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R)

라고 한다.

부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.

:

\pi_1(\operatorname{SO}^+(p,q;\mathbb R))=\pi_1(\operatorname{SO}(p;\mathbb R))\times\pi_1(\operatorname{SO}(q;\mathbb R))

3. 3. 1. 보트 주기성

호프 올뭉치

:

\operatorname O(n)\hookrightarrow\operatorname O(n+1)\twoheadrightarrow\mathbb S^n

으로 인하여, 만약

i 이라면

:

\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))

이다.^[18] 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.^[18]

:

\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\equiv2,4,5,6\pmod8\\\mathbb Z/2&i\equiv0,1\pmod8\\\mathbb Z&i\equiv3,7\pmod8\end{cases}\qquad(i

이 주기성을 '''보트 주기성'''(Bott periodicity^영어)이라고 한다.

보트 주기성으로부터

\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)

를 얻으므로,

\operatorname O(\infty)

의 호모토피 군은 8배 주기적이며, 이는

\pi_{k+8}(\operatorname O) = \pi_k(\operatorname O)

를 의미한다.

3. 4. 포함 관계

모든 $n$에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname{SO}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SU}(n)\subset\operatorname{USp}(2n)$
$\operatorname{SU}(n;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(2n)$
$\operatorname{SO}(n-1;\mathbb R)\subset\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$

또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$\operatorname{Spin}(3)\subset G_2$
$\operatorname{Spin}(9)\subset F_4$
$\operatorname{Spin}(10)\subset E_6$
$\operatorname{Spin}(12)\subset E_7$
$\operatorname{Spin}(16)\subset E_8$

6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형(exceptional isomorphism^영어)을 보인다.

차원	예외적 동형
1차원	$\operatorname O(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\cong\mathbb Z/2$ $\operatorname{SO}(1)\cong\operatorname{PSO}(1)\cong1$
2차원	$\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)\cong\mathbb S^1$ $\operatorname{SO}^+(1,1;\mathbb R)\cong\mathbb R$
3차원	$\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{PUSp}(2)\cong\mathbb{RP}^2$ $\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{USp}(2)\cong\mathbb S^3$ $\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)$ $\operatorname{SO}^+(2,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)$ $\operatorname{Spin}^+(2,1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)$
4차원	$\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\cong\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^3$ $\operatorname{PSO}(4;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\times\operatorname{PSU}(2)$ $\operatorname{PSO}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)$ $\operatorname{SO}^+(3,1;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)$
5차원	$\operatorname{SO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PUSp}(4)$ $\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)$ $\operatorname{SO}^+(3,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)$
6차원	$\operatorname{SO}(6)\cong\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{PSO}(6)\cong\operatorname{PSU}(4)$ $\operatorname{Spin}(6)\cong\operatorname{SU}(4)$ $\operatorname{SO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(5,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb H)$ $\operatorname{SO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{SU}(2,2)/(\mathbb Z/2)$ $\operatorname{PSO}^+(4,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2,2)$ $\operatorname{SO}^+(3,3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}^+(3,3)\cong\operatorname{PSL}(4;\mathbb R)$

3. 5. 홀수 표수 유한체 위에서의 직교군

\mathbb F_q

가 표수가 2가 아닌 유한체일 때, 주어진 차원의 벡터 공간

\mathbb F_q^n

위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다.^[20]

홀수 차원에서는 제곱수가 아닌

\alpha\in\mathbb F_q

에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 두 동형류는

Q_1

과

aQ_1

꼴이다 (

a\in\mathbb F_q

는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군

\operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)

은 유일하다.

반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, '''플러스형'''과 '''마이너스형''' 두 종류로 분류된다. 비트 지표가

n/2

인 것을 플러스형,

n/2-1

인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각

\operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)

라고 쓴다.^[20]

표수가 2가 아닌 유한체

\mathbb F_q

(

q=p^k

,

p

는 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.^[20]

직교군	크기
$\operatorname O(2n+1;\mathbb F_q)$	$2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$
$\operatorname O^+(2n;\mathbb F_q)$	$2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$
$\operatorname O^-(2n;\mathbb F_q)$	$2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})$

3. 6. 표수 2에서의 직교군

표수가 2인 완전체 위의 홀수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군과 같다.^[10] 표수가 2인 체 위의 짝수 차원 벡터 공간에서의 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.^[10] 구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.

특성 2의 체 위에서 직교군은 다음과 같은 특수한 행동을 보인다.^[10]

임의의 체 위의 모든 직교군은 반사에 의해 생성되지만, 벡터 공간이 2개의 원소를 가진 체 위에서 4차원이고 비트 지수가 2인 고유한 예외가 있다.^[10]
직교군의 중심은 특성 2에서 1의 차수를 가진다.
특성 2에서 홀수 차원에서 완비체 위의 직교군은 짝수 차원의 심플렉틱 군과 동일하다.
특성 2에서 짝수 차원에서는 이차 형식의 대칭 쌍선형 형식이 또한 교대 형식이므로 직교군은 심플렉틱 군의 부분군이다.

4. 응용

직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.

특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 '''로런츠 군'''이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.

등각 장론에서, (p,q)-차원 시공간의 등각 대칭군은 SO(p+1,q+1)이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.

이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.

참조

_[1] 문서 For base fields of Characteristic (algebra)|characteristic not 2, the definition in terms of a symmetric bilinear form is equivalent to that in terms of a quadratic form, but in characteristic 2 these notions differ.
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 웹사이트 Week 105 https://math.ucr.edu[...] 2023-02-01
_[6] 서적 The finite simple groups Springer
_[7] 논문
_[8] 간행물 Quadratic and Hermitian forms over rings Springer-Verlag
_[9] 논문
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 문서 Infinite subsets of a compact space have an accumulation point and are not discrete.
_[13] 문서 "O(''n'') ∩ general linear group|GL(''n'', '''Z''') equals the signed permutation matrices because an integer vector of norm 1 must have a single non-zero entry, which must be math|±1 (if it has two non-zero entries or a larger entry, the norm will be larger than 1), and in an orthogonal matrix these entries must be in different coordinates, which is exactly the signed permutation matrices."
_[14] 문서 In odd dimension, math|SO(2''k'' + 1) ≅ PSO(2''k'' + 1) is centerless (but not simply connected), while in even dimension math|SO(2''k'') is neither centerless nor simply connected.
_[15] 문서 基礎体の標数が math|2 でなければ、対称双線型形式と二次形式のどちらを使っても同値である。
_[16] 서적 Algebraic Topology Cambridge University Press
_[17] 서적 The Finite Simple Groups Springer
_[18] 서적 Handbook of K-theory. Volume 1 http://k-theory.org/[...]
_[19] 저널 The homotopy type of the unitary group of Hilbert space 1965
_[20] 서적 The finite simple groups Springer 2009

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