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소거법

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목차

1. 개요

소거법은 연립일차방정식을 풀기 위한 방법으로, 미지수를 하나씩 없애는 과정을 통해 해를 구한다. 이원일차 및 삼원일차 연립방정식의 예시를 통해 소거법의 적용을 설명하며, 대입법, 등치법과 같은 다른 방법과의 비교를 제시한다. 해가 무수히 많은 경우와 자유 낙하 운동과 같은 다른 분야에서의 활용도 보여준다. 가우스 소거법은 소거법을 체계화한 방법으로, 해의 검증 없이도 정확한 해집합을 구할 수 있게 한다.

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소거법
소거법
유형방정식 풀이법
적용 분야선형 방정식계
다른 이름가우스 소거법, 더덜기법
관련 개념치환법

2. 연립일차방정식의 예

이원일차 연립방정식은 다음과 같이 풀 수 있다.

:\left\{\begin{align}

2x - 3y & = 3 \\


  • 2x + 5y & = -1

\end{align}\right.

두 방정식을 더하면(x 소거) 2y = 2 즉 y = 1이다. 이를 첫번째 방정식에 대입하면 2x - 3 = 3 즉 x = 3이다. 따라서 이다. 이므로, 튜플 이 (유일한) 해이다.

대입법과 등치법에 의해 x를 소거하는 과정은 다음과 같다.

  • -2\cdot\frac{3y + 3}{2} + 5y = -1 (에 의해 x를 y로 표현한 식을 에 대입)
  • \frac{3y + 3}{2} = \frac{5y + 1}{2} (에 의해 x를 y로 표현한 두 식을 등호로 연결)


삼원일차 연립방정식

:\left\{\begin{align}

x + 2y - z &= 1 \\

4x + 9y - 3z &= 8 \\

  • 2x - 3y + 7z &= 10

\end{align}\right.

은, 그리고 을 통해 얻은 이원일차 연립방정식

:\left\{\begin{align}

y + 5z &= 12 \\

3y + 11z &= 28

\end{align}\right.

에서 y,z를 구해서 에 대입하면 해 (x, y, z) = (-1, 2, 2)를 구할 수 있다.

다음 예시는 앞선 것들과 조금 다르다.

:\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

  • 7y - 7z &= 0 \\

7x + 7z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

(x, y, z) = (-a, -a, a)

반대로

:(x, y, z) = (-a, -a, a) \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right.

따라서 정확한 해는, 임의의 (-a,-a,a) 꼴의 튜플이다.

해일 수 있는 튜플에 대한 반대 방향으로의 검증은, 해의 구조를 미리 알면 어느 정도 생략할 수 있다. 예를 들어 미지수와 방정식의 개수가 같은 연립일차방정식에 대해서는, 만약 계수행렬의 행렬식이 0이 아니면, 해가 유일하다는 결론이 있다.

2. 1. 이원일차 연립방정식

미지수가 두 개인 연립일차방정식은 가감법, 대입법, 등치법을 통해 풀 수 있다.

예를 들어 다음과 같은 이원일차 연립방정식이 주어졌다고 하자.

:\left\{\begin{align}

2x - 3y & = 3 \\

  • 2x + 5y & = -1

\end{align}\right.

가감법으로 풀이하기 위해 두 방정식을 더하면 x가 소거되어 2y = 2, 즉 y = 1을 얻는다. 이를 첫 번째 방정식에 대입하면 2x - 3 = 3, 즉 x = 3을 얻는다. 따라서 해는 튜플 (x, y) = (3, 1)이다.

대입법을 사용하는 경우, 첫 번째 방정식에서 x를 y로 표현한 식을 두 번째 방정식에 대입하여 -2\cdot\frac{3y + 3}{2} + 5y = -1를 풀면 같은 결과를 얻는다.

등치법을 사용하는 경우, 첫 번째 방정식과 두 번째 방정식에서 각각 x를 y로 표현한 두 식을 등호로 연결하여 \frac{3y + 3}{2} = \frac{5y + 1}{2}를 풀면 역시 같은 결과를 얻는다.

삼원일차 연립방정식의 경우도 비슷한 방법으로 풀 수 있다. 예를 들어

:\left\{\begin{align}

x + 2y - z &= 1 \\

4x + 9y - 3z &= 8 \\

  • 2x - 3y + 7z &= 10

\end{align}\right.

에서 첫 번째 방정식의 2배와 세 번째 방정식을 더하고, 두 번째 방정식과 세 번째 방정식의 2배를 더하면 이원일차 연립방정식

:\left\{\begin{align}

y + 5z &= 12 \\

3y + 11z &= 28

\end{align}\right.

을 얻는다. 이 방정식에서 y, z를 구하고, 원래 방정식 중 하나에 대입하면 해 (x, y, z) = (-1, 2, 2)를 구할 수 있다.

미지수와 방정식의 개수가 같은 연립일차방정식의 경우, 계수행렬의 행렬식이 0이 아니면 해가 유일하다.

2. 2. 삼원일차 연립방정식

미지수가 세 개인 연립일차방정식은 다음과 같이 풀 수 있다.

:\left\{\begin{align}

x + 2y - z &= 1 \\

4x + 9y - 3z &= 8 \\

  • 2x - 3y + 7z &= 10

\end{align}\right.

위 식에서, 그리고 을 통해 아래와 같은 이원일차 연립방정식을 얻을 수 있다.

:\left\{\begin{align}

y + 5z &= 12 \\

3y + 11z &= 28

\end{align}\right.

여기서 y,z를 구해서 에 대입하면 해 (x, y, z) = (-1, 2, 2)를 구할 수 있다.

다음은 조금 다른 예시이다.

:\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

  • 7y - 7z &= 0 \\

7x + 7z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

(x, y, z) = (-a, -a, a)

역으로

:(x, y, z) = (-a, -a, a) \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right.

따라서 정확한 해는 임의의 (-a,-a,a) 꼴의 튜플이다.

해일 수 있는 튜플에 대한 반대 방향으로의 검증은, 해의 구조를 미리 알면 어느 정도 생략할 수 있다. 예를 들어 미지수와 방정식의 개수가 같은 연립일차방정식에 대해서는, 만약 계수행렬의 행렬식이 0이 아니면, 해가 유일하다는 결론이 있다.

2. 3. 해가 무수히 많은 경우

특수한 형태의 연립일차방정식에서는 해가 무수히 많이 나올 수 있다. 다음 예시를 보자.

:\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

  • 7y - 7z &= 0 \\

7x + 7z &= 0

\end{align}\right. \Longrightarrow

(x, y, z) = (-a, -a, a)

반대로

:(x, y, z) = (-a, -a, a) \Longrightarrow

\left\{\begin{align}

2x - y + z &= 0 \\

x + 3y + 4z &= 0

\end{align}\right.

따라서 임의의 (-a,-a,a) 꼴의 튜플이 해가 된다.

3. 다른 예

물리학에서 자유 낙하 운동을 기술하는 데 연립방정식이 사용된다. 자유낙하 시의 속도-시간, 변위-시간 관계식은 다음과 같다.

:\begin{cases}

v = gt \\

h = \frac{1}{2}gt^2

\end{cases}

위 식에서 t를 소거하면 속도-변위 관계식 v^2 = 2gh를 얻을 수 있다.

3. 1. 자유 낙하 운동

물리학에서 자유 낙하 운동을 기술하는 데 연립방정식이 사용된다. 자유낙하 시의 속도-시간, 변위-시간 관계식은 다음과 같다.

:\begin{cases}

v = gt \\

h = \frac{1}{2}gt^2

\end{cases}

위 식에서 t를 소거하면 속도-변위 관계식 v^2 = 2gh를 얻을 수 있다.

4. 가우스 소거법

가우스 소거법은 소거법을 구체화, 정형화하여 얻는 연립일차방정식의 해법이다. 소거법은 연립일차방정식이 성립할 필요조건만을 제시하므로, 정확한 해집합을 구하기 위해선 해의 후보에 대한 검증이 뒤따라야 한다. 그러나 가우스 소거법은 원래와 동일한 해집합을 갖는 연립일차방정식으로 전환시키기에 그럴 필요가 없다.

4. 1. 가우스 소거법의 특징

가우스 소거법은 소거법을 구체화, 정형화하여 얻는 연립일차방정식의 해법이다. 소거법은 연립일차방정식이 성립할 필요조건만을 제시하므로, 정확한 해집합을 구하기 위해선 해의 후보에 대한 검증이 뒤따라야 한다. 그러나 가우스 소거법은 원래와 동일한 해집합을 갖는 연립일차방정식으로 전환시키기에 그럴 필요가 없다.


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