이차 방정식

3. 역사

바빌로니아 수학자들은 기원전 2000년경(고 바빌로니아 왕조 시기 점토판 기록)부터 직사각형의 면적과 변의 관계를 다루는 문제를 풀 수 있었다. 이 해법의 역사는 우르 제3왕조까지 거슬러 올라간다는 증거도 있다.^[18] 현대적인 표기법으로 보면, 당시 문제들은 주로 다음과 같은 형태의 연립 방정식을 푸는 것이었다.

$$x+y=p,\backslash \; \backslash \; xy=q$$

이는 $x$와 $y$가 방정식 $z^2+q=pz$의 근이라는 의미와 같다.^[19]

바빌로니아 서기관들이 위 문제를 풀기 위해 제시한 단계는 다음과 같다.

# ''p''의 절반을 계산한다.

# 결과를 제곱한다.

# ''q''를 뺀다.

# 제곱근표를 사용하여 양의 제곱근을 찾는다.

# 단계 (1)과 (4)의 결과를 더하여 $x$를 구한다.

현대 표기법으로 이는 $x\; =\; \backslash frac\{p\}\{2\}\; +\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{p\}\{2\}\backslash right)^2\; -\; q\}$를 계산하는 것으로, 이는 현대 이차 방정식의 근의 공식 $x\; =\; \backslash frac\{-b\; +\; \backslash sqrt\{b^2\; -\; 4ac\}\}\{2a\}$ 에서 $a=1,\; b=-p,\; c=q$인 경우와 같다.

기하학적인 방법은 바빌로니아, 이집트, 그리스, 중국, 인도 등 여러 고대 문명에서 이차 방정식을 푸는 데 사용되었다. 이집트 중왕국(기원전 2050년~기원전 1650년) 시대의 이집트 베를린 파피루스에는 두 항으로 이루어진 이차 방정식의 해법이 포함되어 있다.^[20] 기원전 400년경 바빌로니아 수학자들과 기원전 200년경 중국 수학자들은 분할의 기하학적 방법을 사용하여 양의 근을 갖는 이차 방정식을 풀었다.^[21][22] 이차 방정식에 대한 규칙은 중국의 수학 고전인 ''수학 예술의 아홉 장''에도 제시되어 있다.^[22][23] 그러나 이러한 초기 기하학적 방법들은 일반적인 공식을 갖추지는 못했던 것으로 보인다. 그리스 수학자 유클리드는 기원전 300년경 더 추상적인 기하학적 방법을 사용했으며, 피타고라스와 유클리드는 순수한 기하학적 접근을 통해 이차 방정식의 해를 찾는 일반적인 절차를 만들었다. 그리스 수학자 디오판토스는 그의 저서 ''산수론''에서 이차 방정식을 풀었지만, 두 근이 모두 양수일 때조차 하나의 근만을 제시하는 한계를 보였다.^[24]

628년, 인도 수학자 브라마굽타는 그의 저서 ''브라마스푸타싯단타''에서 이차 방정식 $ax^2\; +\; bx\; =\; c$ 에 대한 명시적인 해법을 처음으로 제시했다(비록 완전히 일반적인 형태는 아니었다). 그는 "절댓값에 제곱 항 계수의 네 배를 곱하고, 중간 항 계수의 제곱을 더한다. 이 값의 제곱근에서 중간 항 계수를 뺀 뒤, 제곱 항 계수의 두 배로 나누면 해를 얻는다."라고 설명했다.^[25] 이는 다음 공식과 같다.

$$x\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{4ac+b^2\}-b\}\{2a\}.$$

7세기 인도에서 쓰인 ''박샬리 원고''에는 이차 방정식을 풀기 위한 대수 공식과 선형 부정 방정식 ($ax/c\; =\; y$ 형태) 해법이 포함되어 있었다.

아바스 왕조 시대에 활약한 중세 이슬람 수학자 무하마드 이븐 무사 알콰리즈미(9세기)는 이차 방정식 연구에 큰 진전을 이루었다. 그는 양수인 해에 적용되는 일련의 공식을 개발했으며, 모든 이차 방정식에 대해 하나 또는 두 개의 해가 존재할 수 있음을 보이고 기하학적 수학적 증명을 제시하며 일반 이차 방정식의 완전한 해법에 더 가까이 다가갔다.^[26] 또한 그는 완전 제곱법을 설명하고 판별식이 양수여야 해가 존재함을 인식했다.^[26][27] 그의 동시대인인 중앙아시아의 압드 알하미드 이븐 투르크(9세기)는 판별식이 음수이면 이차 방정식이 해를 갖지 않는다는 것을 기하학적 도형을 이용하여 증명했다.^[27] 알콰리즈미 자신은 음수 해를 인정하지 않았지만, 후대의 이슬람 수학자들은 음수 해와^[26] 무리수 해를 받아들였다.^[28] 특히 이집트의 아부 카밀 슈자 이븐 아슬람(10세기)은 이차 방정식의 해 또는 방정식의 계수로서 제곱근, 세제곱근, 네제곱근과 같은 무리수를 처음으로 인정했다.^[29] 9세기 인도 수학자 스리다라 역시 이차 방정식을 푸는 규칙을 기록했다.^[30]

알콰리즈미의 연구는 유럽 수학에도 큰 영향을 미쳤다. 그의 저서 『인도의 수에 관하여, 알콰리즈미』(라틴어 번역본 『Algoritmi de numero Indorum^la』)는 라틴어로 번역되어 유럽에 전해졌다. 알콰리즈미는 이차 방정식에서 미지수를 "shay'(샤이, '어떤 것'이라는 의미)"라는 단어로 표현했는데, 그의 저작이 유럽으로 전해지는 과정에서 이 단어가 변형되어 현대의 'x' 표기법이 유래했다는 설이 있다. 포르투갈어에서 'x'를 'sh(시)'로 읽는 것을 거치면서 'shay'의 'sh'가 'x'로 대체되었다는 것이다. 미지수를 'x'라고 부르는 데에는 이러한 배경이 있는 것으로 여겨진다.^[40] 12세기 스페인의 유대인 수학자 아브라함 바르 히야 하나시는 알콰리즈미의 연구에 크게 기반하여 일반 이차 방정식의 완전한 해법을 담은 최초의 유럽 서적을 저술했다.^[31][26]

중국에서는 수학자 양휘(1238–1298)의 저작에서 $x$의 계수가 음수인 이차 방정식이 처음 나타난 것으로 알려져 있지만, 양휘 자신은 이를 이전 수학자 류이의 공으로 돌렸다.^[32]

이후 유럽에서 이차 방정식 연구는 더욱 발전했다. 1545년 제롤라모 카르다노는 이차 방정식과 관련된 연구들을 집대성했다. 모든 경우를 포괄하는 이차 방정식의 일반 공식은 1594년 시몬 스테빈에 의해 처음으로 제시되었다.^[33] 마침내 1637년 르네 데카르트는 그의 저서 ''라 지오메트리''에서 오늘날 우리가 사용하는 형태의 이차 방정식 공식을 발표했다.

4. 이차 방정식의 해

이차 방정식 $ax^2\; +\; bx\; +\; c\; =\; 0$ (단, $a$, $b$, $c$는 실수이고 $a\backslash neq0$)을 참으로 만드는 $x$ 값을 이차 방정식의 해(解) 또는 근(根)이라고 한다.

계수가 실수인 이차 방정식의 해는 다음 세 가지 경우 중 하나이다.

• 서로 다른 두 개의 실근
• 하나의 실근 (두 개의 근이 같은 경우로, 중근(重根)이라고 한다)
• 실근 없음 (서로 다른 두 개의 허근을 가지며, 이 두 허근은 서로 켤레 복소수 관계이다)

• 근의 공식: 모든 이차 방정식의 해를 구하는 일반적인 방법이다. (자세한 내용은 근의 공식 섹션 참조)
• 인수분해: 이차식을 두 일차식의 곱으로 나타내는 방법이다. 예를 들어 $x^2\; +\; 5x\; +\; 6\; =\; 0$은 $(x+3)(x+2)=0$으로 인수분해되므로, $x+3=0$ 또는 $x+2=0$에서 해 $x=-3$과 $x=-2$를 얻는다. 하지만 모든 이차 방정식이 유리수 범위에서 쉽게 인수분해되는 것은 아니다.^[6]
• 완전제곱식 이용: 이차식을 $A(x+p)^2\; =\; q$ 형태로 변형하여 해를 구하는 방법으로, 근의 공식을 유도하는 데 사용된다.^[6] (자세한 내용은 근의 공식 유도 섹션 참조)
• 그래프 이용: 이차 함수 $y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c$의 그래프(포물선)와 $x$축의 교점을 이용하는 방법이다.
• 교점이 두 개이면, 교점의 $x$좌표가 서로 다른 두 실근이다.
• 그래프가 $x$축에 접하면(교점이 한 개), 접점의 $x$좌표가 중근이다.
• 그래프가 $x$축과 만나지 않으면, 실근은 없고 서로 다른 두 허근을 갖는다.

4. 1. 근의 공식

• $D\; >\; 0$ (판별식이 양수): 서로 다른 두 실근을 갖는다.
• $D\; =\; 0$ (판별식이 0): 한 개의 실근(중근)을 갖는다. 이때 근은 $x\; =\; -$이다. 이는 이차 함수 그래프의 꼭짓점의 x좌표이자 대칭 축의 방정식이 된다.
• (판별식이 음수): 서로 다른 두 허근을 갖는다. 이 허근은 서로 켤레 복소수 관계이다. 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

4. 2. 근의 공식 유도

4. 3. 판별식

• 판별식이 양수일 때 ($\backslash Delta\; >\; 0$): 방정식은 서로 다른 두 실수 근을 갖는다. 두 근은 $\backslash frac\{-b\; +\; \backslash sqrt\; \{\backslash Delta\}\}\{2a\}$와 $\backslash frac\{-b\; -\; \backslash sqrt\; \{\backslash Delta\}\}\{2a\}$이다. 만약 계수가 유리수이고 판별식이 제곱수(어떤 유리수의 제곱)이면, 두 근은 모두 유리수가 된다. 그렇지 않으면 두 근은 이차 무리수가 될 수 있다.
• 판별식이 0일 때 ($\backslash Delta\; =\; 0$): 방정식은 단 하나의 실수 근을 가지며, 이를 '''중근'''(重根, multiple root 또는 repeated root)이라고 한다. 중근은 $-\backslash frac\{b\}\{2a\}$이다. 이는 서로 같은 두 개의 근으로 해석되기도 한다.
• 판별식이 음수일 때 (): 방정식은 실수 근을 갖지 않는다. 대신 서로 다른 두 복소수 근을 가지며, 이 두 근은 서로 켤레 복소수 관계이다.^[14] 두 근은 $-\backslash frac\{b\}\{2a\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\; \{-\backslash Delta\}\}\{2a\}$와 $-\backslash frac\{b\}\{2a\}\; -\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt\; \{-\backslash Delta\}\}\{2a\}$이다. 여기서 $i$는 허수 단위 ($i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}$)이다.

5. 근과 계수의 관계

이차 방정식 $ax^2+bx+c=0$ (단, $a\; \backslash neq\; 0$)의 두 근을 $\backslash alpha,\; \backslash beta$라고 하자. 근의 정의에 따라, $\backslash alpha,\; \backslash beta$를 근으로 갖는 이차 방정식은 $(x-\backslash alpha)(x-\backslash beta)=0$으로 나타낼 수 있다. 원래 방정식 $ax^2+bx+c=0$과 최고차항의 계수를 맞추기 위해 양변에 $a$를 곱하면, 두 방정식은 같은 해를 가지므로 다음과 같이 동치 관계가 성립한다.

$ax^2+bx+c\; =\; a(x-\backslash alpha)(x-\backslash beta)$

우변을 전개하면 다음과 같다.

$a(x-\backslash alpha)(x-\backslash beta)\; =\; a(x^2\; -\; (\backslash alpha+\backslash beta)x\; +\; \backslash alpha\backslash beta)\; =\; ax^2\; -\; a(\backslash alpha+\backslash beta)x\; +\; a\backslash alpha\backslash beta$

따라서 $ax^2+bx+c\; =\; ax^2\; -\; a(\backslash alpha+\backslash beta)x\; +\; a\backslash alpha\backslash beta$ 이다. 양변의 계수를 비교하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

• $x$의 계수 비교: $b\; =\; -a(\backslash alpha+\backslash beta)$ => $\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; =\; -\backslash frac\{b\}\{a\}$
• 상수항 비교: $c\; =\; a\backslash alpha\backslash beta$ => $\backslash alpha\backslash beta\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}$

6. 이차 방정식의 활용

황금비는 이차 방정식 $x^2-x-1=0$의 양의 해로 구할 수 있다.

삼각법에서는 특정 각의 코사인이나 사인 값이 주어졌을 때, 그 각을 이등분한 각의 코사인이나 사인을 구하는 과정에서 이차 방정식을 풀게 된다.

다른 식의 제곱근을 포함하는 식의 제곱근 형태의 식을 간단히 할 때 이차 방정식의 두 해를 이용하기도 한다.

데카르트의 정리는 서로 접하는 네 원의 반지름들이 특정 이차 방정식을 만족시킨다는 내용을 담고 있다.

푸스의 정리는 이중심 사각형의 내접원 반지름, 외접원 반지름, 그리고 두 원의 중심 사이 거리 간의 관계를 나타내는 정리이다. 이 관계는 두 원 중심 사이의 거리를 반지름으로 표현하는 이차 방정식으로 나타낼 수 있다.

미적분학에서는 삼차 함수의 임계점이나 사차 함수의 변곡점을 찾을 때 이차 방정식을 풀게 된다.

화학 분야에서는 약산 용액의 pH를 계산할 때 이차 방정식을 활용한다. 산 해리 상수와 산의 분석 농도를 이용하여 세운 이차 방정식의 양수인 해를 구한 뒤, 그 값에 음의 상용로그를 취하면 pH를 얻을 수 있다.

6. 1. 기하학

• 만약 ''a'' > 0이면, 포물선은 아래로 볼록하며 최솟값을 가지고 위쪽으로 열린다.
• 만약 ''a'' < 0이면, 포물선은 위로 볼록하며 최댓값을 가지고 아래쪽으로 열린다.

• 판별식이 양수이면(''b''²−4''ac'' > 0), 그래프는 ''x''-축과 서로 다른 두 점에서 만나며, 이는 두 개의 서로 다른 실근을 의미한다.
• 판별식이 0이면(''b''²−4''ac'' = 0), 그래프는 ''x''-축에 한 점에서 접하며, 이는 중근 (하나의 실근)을 의미한다.
• 판별식이 음수이면(''b''²−4''ac'' < 0), 그래프는 ''x''-축과 만나지 않으며, 이는 두 개의 켤레 복소수 근(허근)을 가짐을 의미한다.

• 릴의 방법: 세 계수 ''a'', ''b'', ''c''를 이용하여 선분 SA(|''a''|), AB(|''b''|), BC(|''c''|)를 직각으로 연결하여 그린다(방향은 계수의 부호에 따라 결정). 시작점 S와 끝점 C를 지름으로 하는 원을 그린다. 이 원이 가운데 선분 AB(또는 그 연장선)와 만나는 점을 X1, X2라고 할 때, 방정식의 해는 −AX1/SA와 −AX2/SA로 주어진다. 만약 ''a''=1이면, 해는 단순히 −AX1과 −AX2가 된다.^[38]

• 칼라일 원: 토마스 칼라일의 이름을 딴 방법으로, 특정 방식으로 작도된 원(칼라일 원)과 ''x''-축의 교점의 ''x''-좌표가 이차 방정식의 해가 된다는 성질을 이용한다.^[39] 칼라일 원은 자, 컴퍼스 작도를 이용한 정다각형 작도 문제에도 응용된다.

6. 2. 물리학

7. 더 나아가기

이차 방정식의 근과 계수 사이의 관계는 고차 방정식의 이론으로 확장될 수 있는 중요한 개념이다. 이차 방정식 $ax^2+bx+c=0$ (단, $a\; \backslash neq\; 0$)의 두 근을 $\backslash alpha,\; \backslash beta$라고 할 때, 근과 계수 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

• 두 근의 합:

• 두 근의 곱:

• 두 근의 차의 절댓값:

참조

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_[2] 서적 Calculus and Analytic Geometry. First Course
_[3] 서적 Princeton Review SAT Prep, 2021: 5 Practice Tests + Review & Techniques + Online Tools https://books.google[...] Random House Children's Books
_[4] 서적 Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein https://books.google[...] Cambridge University Press
_[5] 서적 Mathematics in Action Teachers' Resource Book 4b https://books.google[...] Nelson Thornes
_[6] 서적 Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition Addison Wesley Longman, Inc.
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_[8] 서적 Algebra I For Dummies https://books.google[...] Wiley Publishing
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_[42] 문서 물론, 이차방정식이므로 $a\backslash neq0$도 만족해야 한다.