슈라이어 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 슈라이어 정리
- 3.1. 슈라이어 정리의 증명
4. 예시
- 4.1. Z₂ × S₃의 부분 정규열
- 4.2. 동치인 세분
5. 활용
- 5.1. 추가 설명
참조

1. 개요

슈라이어 정리는 군의 정규 부분군의 두 열이 서로 동치인 세분들을 갖는다는 정리이다. 군 G의 정규 부분군의 열은 다른 열에 유한 개의 부분군을 추가하여 얻을 수 있다면 세분이라 하며, 몫군이 동형인 순열이 존재하면 두 열은 동치이다. 슈라이어 정리는 군론에서 부분군들의 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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슈라이어 정리

2. 정의

군 $G$ 의 정규 부분군들의 열

: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G$

: $1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G$

이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 '''세분'''(refinement^영어)이라고 한다. 만약 $m=n$ 이며, 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$ 와 $H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}$ 이 동형이 되는, $i=1,\dots,n$ 의 순열 $\sigma$ 가 존재한다면, 두 열은 서로 '''동치'''(equivalent^영어)라고 한다.

'''슈라이어 정리'''에 따르면, 군 $G$ 의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.^[1]

3. 슈라이어 정리

군 $G$ 의 정규 부분군들의 열

: $1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G$

: $1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G$

이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 '''세분'''(refinement^영어)이라고 한다. 만약 $m=n$ 이며, 모든 $i=1,\dots,n$ 에 대하여 몫군 $G_i/G_{i-1}$ 와 $H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}$ 이 동형이 되는, $i=1,\dots,n$ 의 순열 $\sigma$ 가 존재한다면, 두 열은 서로 '''동치'''(equivalent^영어)라고 한다.

'''슈라이어 정리'''에 따르면, 군 $G$ 의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.^[1]

3. 1. 슈라이어 정리의 증명

4. 예시

$\mathbb{Z}_2 \times S_3$ 을 고려해 보자. 여기서 $S_3$ 는 3차 대칭군이다. 교대군 $A_3$ 은 $S_3$ 의 정규 부분군이므로, 다음과 같은 두 개의 부분 정규열이 존재한다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,$

각각의 몫군은 $(\mathbb{Z}_2,S_3)$ 과 $(A_3,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)$ 이다.

두 부분 정규열은 동치가 아니지만, 동치인 세분화를 갖는다.

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(\mathbb{Z}_2, A_3, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 가지며,

: $\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \{0\} \times S_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3$

는 $(A_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2)$ 와 동형인 몫군을 갖는다.

4. 1. Z₂ × S₃의 부분 정규열

\mathbb{Z}_2 \times S_3

을 고려해 보자. 여기서

S_3

는 3차 대칭군이다. 교대군

A_3

은

S_3

의 정규 부분군이므로, 다음과 같은 두 개의 부분 정규열이 존재한다.

:

\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,

:

\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3,

각각의 몫군은

(\mathbb{Z}_2,S_3)

과

(A_3,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2)

이다.

두 부분 정규열은 동치가 아니지만, 동치인 세분화를 갖는다.

:

\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times A_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3

는

(\mathbb{Z}_2, A_3, \mathbb{Z}_2)

와 동형인 몫군을 가지며,

:

\{0\} \times \{(1)\} \; \triangleleft \; \{0\} \times A_3 \; \triangleleft \; \{0\} \times S_3 \; \triangleleft \; \mathbb{Z}_2 \times S_3

는

(A_3, \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2)

와 동형인 몫군을 갖는다.

4. 2. 동치인 세분

군

G

의 정규 부분군들의 열

:

1=G_0\vartriangleleft G_1\vartriangleleft G_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft G_m=G

:

1=H_0\vartriangleleft H_1\vartriangleleft H_2\vartriangleleft\cdots\vartriangleleft H_n=G

이 주어졌을 때, 전자에 유한 개의 부분군을 추가하여 후자를 얻을 수 있다면, 후자가 전자의 '''세분'''(refinement^영어)이라고 한다. 만약

m=n

이며, 모든

i=1,\dots,n

에 대하여 몫군

G_i/G_{i-1}

와

H_{\sigma(i)}/H_{\sigma(i)-1}

이 동형이 되는,

i=1,\dots,n

의 순열

\sigma

가 존재한다면, 두 열은 서로 '''동치'''(equivalent^영어)라고 한다.

군

G

의 두 정규 부분군의 열은 서로 동치인 세분을 갖는다.^[1]

5. 활용

5. 1. 추가 설명

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