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스틸티어스 변환

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목차

1. 개요

스틸티어스 변환은 실수 구간에서 정의된 함수를 복소수로 변환하는 수학적 연산이다. 이 변환은 적분을 통해 정의되며, 연속 함수에 대해 역변환이 존재하여 원래 함수를 복원할 수 있다. 스틸티어스 변환은 모멘트와 밀접한 관련을 가지며, 모멘트를 계수로 하는 점근적 전개 또는 로랑 급수 전개를 가질 수 있다. 또한 직교 다항식과 연관되어 파데 근사 및 일반화된 연분수 전개를 유도하는 데 사용된다. 확률론, 수리물리학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 응용되며, 특히 확률 분포의 모멘트 문제, 직교 다항식 이론, 연분수 이론 등과 관련이 깊다.

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스틸티어스 변환

2. 정의

실수 구간 I 위에 정의된 함수 f\colon I\to\mathbb R의 스틸티어스 변환은 다음과 같다.

:S_f\colon\mathbb C\setminus\mathbb R\to\mathbb C

:S_f(z)=\int_I\frac{f(t)\,dt}{z-t}

만약 f가 연속 함수라면, 다음과 같이 역 스틸티어스 변환으로 원래 함수를 되찾을 수 있다.

:f(t)=\lim_{\epsilon\to0^+}\frac{S_f(t-i\epsilon)-S_f(t+i\epsilon)}{2i\pi}

이는 유수 정리를 사용하여 쉽게 보일 수 있다.

3. 모멘트와의 관계

밀도 함수 \rho를 갖는 측도가 모든 차수의 모멘트를 갖는 경우, 스틸티어스 변환은 모멘트들을 계수로 하는 점근적 전개를 갖는다. 즉, 각 정수 n에 대해 다음과 같은 전개가 무한대 근방에서 성립한다.

:S_{\rho}(z)=\sum_{k=0}^{n}\frac{m_k}{z^{k+1}}+o\left(\frac{1}{z^{n+1}}\right).

여기서 m_n=\int_I t^n\,\rho(t)\,dt이다. 특정 조건 하에서는 다음과 같은 로랑 급수 전개를 얻을 수 있다.

:S_{\rho}(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{m_n}{z^{n+1}}.

4. 직교 다항식과의 관계

주어진 내적 (f,g) \mapsto \int_I f(t) g(t) \rho(t) \, dt에 대한 직교 다항식 수열 \{P_n\}이 존재할 때, 다음과 같이 연관된 2차 다항식 수열 \{Q_n\}을 정의할 수 있다.

::Q_n(x)=\int_I \frac{P_n (t)-P_n (x)}{t-x}\rho (t)\,dt.

F_n(z) = \frac{Q_n(z)}{P_n(z)}는 S_{\rho}(z)의 파데 근사이며, 다음을 만족한다.

::S_\rho(z)-\frac{Q_n(z)}{P_n(z)}=O\left(\frac{1}{z^{2n}}\right).

이 두 다항식 수열은 동일한 3항 점화식을 만족하며, 이를 통해 스틸티어스 변환의 일반화된 연분수 전개를 얻을 수 있다.

5. 응용

스틸티어스 변환은 확률론, 수리물리학, 신호 처리 등 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어, 확률 분포의 모멘트 문제, 직교 다항식 이론, 연분수 이론 등과 밀접하게 관련되어 있다.

일부 경우, 스틸티어스 변환의 로랑 급수는 f의 모멘트들을 계수로 갖는다.

:m_n=\int_It^nf(t)\,dt

:S_f=\sum_{n=0}^\infty\frac{m_n}{z^{n+1}}

이는

:S_f=\sum_{n=0}^\infty\frac{m_n}{z^{n+1}}=\int_Idt\,f(t)\sum_{n=0}^\infty t^n/z^{n+1}=\int_Idt\,\frac{f(t)}{z-t}

이기 때문이다.

한국에서는 스틸티어스 변환을 이용한 신호 처리 기법 개발, 특이 적분 방정식 해법 연구 등이 진행된 바 있다.


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