파데 근사

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1. 개요

파데 근사는 주어진 함수를 유리 함수로 근사하는 방법으로, 프랑스 수학자 앙리 외젠 파데에 의해 도입되었다. 파데 근사는 매끄러운 함수 f에 대해 정의되며, m+n차 도함수까지 원래 함수와 일치하는 (m, n)차 파데 근사를 통해 계산된다. 파데 근사는 확장 유클리드 알고리즘 등을 사용하여 계산할 수 있으며, 지수 함수, 삼각 함수 등 다양한 함수의 근사에 활용된다. 또한, 2점 파데 근사 및 다점 파데 근사와 같은 변형을 통해 함수의 특이점과 점근적 거동을 고려한 근사도 가능하다. 파데 근사는 함수의 임계점 및 임계 지수 추출, 발산 급수의 재합계 등 다양한 분야에 응용된다.

파데 근사

개요

이미지 준비중입니다.

실수축 상의 지수 함수와 몇몇 파데 근사의 그래프. 검은색은 지수 함수, 빨간색은 [0/1] 근사, 녹색은 [1/1] 근사, 파란색은 [2/2] 근사이다.

유형	함수 근사
분야	수학, 수치 해석
개발자	앙리 파데

정의

정의	어떤 함수를 주어진 차수의 두 다항식의 비율로 나타내는 근사
특징	멱급수 전개와 일치하는 항이 많음

상세 정보

형식	[L/M]
L	분자의 차수
M	분모의 차수
계산	멱급수 계수로부터 계산
응용 분야	수치 해석 컴퓨터 대수학

관련 항목	멱급수 로랑 급수 연분수 수렴 반경

2. 정의

매끄러운 함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ 와 음이 아닌 정수 $m,n\in\mathbb N$ 이 주어졌다고 하자. $f$ 의 $(m,n)$ 차 파데 근사 $[m/n]_f$ 는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.

: $[m/n]_f(x)=\frac{\sum_{j=0}^ma_jx^j}{1+\sum_{i=1}^nb_ix^i}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

: $f^{(k)}(0)=[m/n]_f^{(k)}(0)\qquad\forall k\in\{0,\dots,m+n\}$

즉, $(m,n)$ 차 파데 근사는 $m+n$ 차 도함수까지 원래 함수와 일치한다. 이는 파데 근사가 단순한 근삿값을 제공하는 것을 넘어, 함수의 국소적인 성질까지 최대한 반영하려고 노력한다는 것을 보여준다.

주어진 $(m,n)$ 에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. $n=0$ 이면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다.

3. 계산

파데 근사는 확장 유클리드 알고리즘이나 윈의 엡실론 알고리즘 등을 사용하여 계산할 수 있다.

확장 유클리드 알고리즘을 사용하는 경우, 주어진 함수 $f(x)$ 의 $m+n$ 차 매클로린 급수 $T(x)$ 를 이용하여 다음 관계식을 통해 파데 근사를 구한다.

: $R(x) = P(x)/Q(x) = T_{m+n}(x) \bmod x^{m+n+1}$

이 식은 다음과 동치이다.

: $P(x) = Q(x)T_{m+n}(x) + K(x)x^{m+n+1}$

여기서 $P(x)$ 와 $Q(x)$ 는 각각 파데 근사의 분자와 분모에 해당하는 다항식이며, 어떤 인자 $K(x)$ 가 존재한다. 이 식은 다항식 $T_{m+n}(x)$ 와 $x^{m+n+1}$ 의 확장된 최대공약수 계산의 한 단계에서 베주 항등식으로 해석될 수 있다.

두 다항식 p와 q의 최대공약수를 계산하기 위해, 긴 나눗셈을 통해 나머지 수열을 계산한다.

: $r_0=p,\;r_1=q,\quad r_{k-1}= q_k r_k +r_{k+1},$

( $\deg r_{k+1} < \deg r_k\,$ , $r_{k+1} = 0$ 이 될 때까지) 확장된 최대공약수의 베주 항등식을 위해 동시에 두 다항식 수열을 계산한다.

: $u_0=1,\;v_0=0,\quad u_1=0,\;v_1=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_k u_k,\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_kv_k$

각 단계에서 베주 항등식은 다음과 같다.

: $r_k(x) = u_k(x) p(x) + v_k(x) q(x).$

[math]m[/math]/[math]n[/math] 근사의 경우, 다음과 같은 확장 유클리드 알고리즘을 수행한다.

: $r_0=x^{m+n+1},\;r_1=T_{m+n}(x)$

그리고 $v_k$ 의 차수가 [math]n[/math] 이하인 마지막 순간에 중단한다.

그러면 다항식 $P=r_k,\;Q=v_k$ 는 [math]m[/math]/[math]n[/math] 파데 근사를 제공한다. 확장된 최대공약수 계산의 모든 단계를 계산한다면, 파데 표의 반대각선을 얻게 될 것이다.

윈의 엡실론 알고리즘을 사용하는 경우, f의 테일러 전개 부분 합

: $T_N(x)=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \cdots + c_N x^N$

에서 수열 변환을 통해 계산할 수 있다. 여기서

: $c_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}.$

f는 형식적 멱급수일 수도 있으며, 파데 근사를 발산 급수의 합을 구하는 데 사용할 수도 있다.

4. 성질

파데 근사는 주어진 차수에서 매클로린 급수와 최대한 일치하도록 설계되어, 전개점 근처에서 높은 정확도를 보인다. 매클로린 급수가 수렴하지 않는 경우에도 파데 근사는 수렴할 수 있는데, 이는 발산 급수에 대한 합리적인 근사값을 제공할 수 있음을 의미한다.

존재한다면, 파데 근사는 주어진 m과 n에 대한 형식적 멱급수로서 유일하다. 즉, 계수 $a_0, a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n$ 은 유일하게 결정된다. 파데 근사 $R(x)$ 에서 분모의 상수항으로 1을 선택하는 것은 이 유일성을 위한 것이며, 이 정규화를 하지 않는 경우에는 분모와 분자에 대해 공통의 임의의 영이 아닌 상수를 곱하는 자유도가 남으므로 유일성이 성립하지 않는다.

파데 근사 $R(x)$ 는 $[m/n]_f(x)$ 로 표기하고 (함수 f와 변수 x는 생략되는 경우도 있다), 이들을 나열한 표를 파데 표라고 한다.

지수 함수 exp(x)의 파데 표는 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

지수 함수 exp(x)의 파데 표 [m/n](x)의 일부
_m \ ⁿ	0	1	2	3
0	$\frac{1}{1}$	$\frac{1}{1 - x}$	$\frac{1}{1 - x + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x^2}$	$\frac{1}{1 - x + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x^2 - {\scriptstyle\frac{1}{6}}x^3}$
1	$\frac{1 + x}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x}{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2}}x}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{3}}x}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{4}}x}$
2	$\frac{1 + x + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x^2}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3}}x + {\scriptstyle\frac{1}{6}}x^2}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x + {\scriptstyle\frac{1}{12}}x^2}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{5}}x + {\scriptstyle\frac{1}{20}}x^2}$
3	$\frac{1 + x + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6}}x^3}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{4}}x + {\scriptstyle\frac{1}{4}}x^2 + {\scriptstyle\frac{1}{24}}x^3}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{5}}x + {\scriptstyle\frac{3}{20}}x^2 + {\scriptstyle\frac{1}{60}}x^3}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}x + {\scriptstyle\frac{1}{10}}x^2 + {\scriptstyle\frac{1}{120}}x^3}$

5. 종류

파데 근사는 한 변수의 함수를 근사한다. 두 변수에 의한 근사는 치즘 근사(J.S.R. Chisholm)라고 불리며, 여러 변수에 의한 근사는 캔터베리 근사(캔터베리에 있는 켄트 대학교에 있던 그레이브스-모리스에 기인)라고 불린다. 2점 파데 근사와 다점 파데 근사는 기존 파데 근사의 단점을 보완하기 위해 개발되었다.

5.1. 2점 파데 근사

파데 근사는 주어진 차수까지 매클로린 급수를 재현하도록 결정되기 때문에, 전개점에서 멀리 떨어진 값에서는 근사의 정확도가 떨어질 수 있다. 이러한 문제점을 해결하기 위해 다점 총화법의 일종인 2점 파데 근사가 사용된다.2점 파데 근사는 함수의

x=0

과

x \to \infty

에서의 점근적 거동을 동시에 고려하여 근사하는 방법이다. 함수

f(x)

가

x=0

에서 점근적 거동

f_0(x)

를,

x \to \infty

에서 점근적 거동

f_\infty(x)

를 가질 때,

:

f \sim f_0(x) + o\big(f_0(x)\big), \quad x \to 0,

f(x) \sim f_\infty(x) + o\big(f_\infty(x)\big), \quad x \to \infty.

f_0(x)

와

f_\infty(x)

의 주요 거동을 선택하여 파데 근사를 개발하면, 이러한 점근적 거동을 동시에 재현하는 근사 함수

F(x)

를 얻을 수 있다.

이렇게 얻어진 2점 파데 근사는 일반적인 파데 근사에서 정확도가 가장 낮을 수 있는

x \to \infty

영역에서 높은 정확도를 보장한다. 따라서 2점 파데 근사는

x = 0 \sim \infty

범위 전체에서 전반적으로 좋은 근사를 제공한다.

f_0(x)

와

f_\infty(x)

가 다항식, 음수 거듭제곱의 급수, 지수 함수, 로그 함수, 또는

x \ln x

로 표현되는 경우에 2점 파데 근사를 적용할 수 있다. 2점 파데 근사는 미분 방정식의 근사 해를 고정밀도로 제공하는 데 사용될 수 있으며, 리만 제타 함수의 비자명 근의 경우, 첫 번째 비자명 근은 실수 축에서의 점근적 거동으로부터 어느 정도 정확하게 추정될 수 있다.

5.2. 다점 파데 근사

2점 파데 근사는 기존 파데 근사가 매클로린 전개를 주어진 차수까지 재현하도록 결정되어, 전개점에서 멀어진 곳에서의 근사가 나빠질 수 있는 점을 회피하는 다점 총화법의 한 종류이다. 이를 더 확장한 것이 다점 파데 근사이다.

이는 $x=x_j(j=1,2,3\cdots,N)$ 에서 근사하려는 함수 $f(x)$ 가 지수 $n_j$ 로 표시되는 특이점

: $f(x)\sim \frac{A_j}{(x-x_j)^{n_j}} (x\rightarrow x_j)$

을 가질 경우, 2점 파데 근사의 $x=0, x\rightarrow \infty$ 에 더하여, 이 점 $x \sim x_j$ 에서 발산하는 성질을 재현하도록 근사하는 방법이다. 이를 통해 함수의 특이성에 대한 정보를 포함하므로, 더 높은 정밀도로 함수 $f(x)$ 를 근사할 수 있다.

또한, 구간을 몇 개의 유한 또는 반무한 구간으로 분할하여, 해당 구간을 변수 변환을 통해 일반적인 2점 파데 근사가 적용 가능한 형식으로 만들 수 있다. 이처럼 각 구간별로 얻어진 2점 파데 근사를 연결한 것을 다점 파데 근사라고 부르기도 한다.

6. 응용

파데 근사는 다양한 분야에서 응용될 수 있다.

* DLog Padé 방법: 함수의 임계점과 임계 지수를 추출하는 데 사용된다. 열역학에서 함수 f(x)^영어가 x = r^영어 근처에서 $f(x) \sim |x - r|^p$ 와 같이 비해석적으로 동작하면, x = r^영어을 임계점이라고 부르고 p^영어를 f^영어의 관련 임계 지수라고 부른다. f^영어의 급수 전개의 충분한 항이 알려져 있다면, 파데 근사 $[n/n+1]_g(x)$ 의 극점과 잔류물로부터 각각 임계점과 임계 지수를 근사적으로 추출할 수 있다. 여기서 $g = f'/f$ 이다.

* 리만-파데 제타 함수: 발산 급수의 재합계를 연구하는 데 사용된다. f(z)^영어의 재합을 조사하기 위해 파데 또는 유리 제타 함수를 도입할 수 있다.
: $\zeta_R(s) = \sum_{z=1}^\infty \frac{R(z)}{z^s},$
:여기서
: $R(x) = [m/n]_f(x)$ 는 함수 f(x)^영어의 (m, n) 차수의 파데 근사이다. s = 0^영어에서 제타 정칙화 값은 발산 급수의 합으로 간주된다.
:이 파데 제타 함수에 대한 함수 방정식은 다음과 같다.
: $\sum_{j=0}^n a_j \zeta_R(s-j) = \sum_{j=0}^m b_j \zeta_0(s-j),$
:여기서 a_j^영어와 b_j^영어는 파데 근사의 계수이다. 아래첨자 '0'은 파데가 [0/0] 차수임을 의미하며, 따라서 리만 제타 함수를 갖는다.

7. 예

지수 함수 $x\mapsto\exp x$ 의 파데 근사는 다음과 같이 표로 나타낼 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

_m \ ⁿ	0	1	2	3
0	$\frac{1}{1}$	$\frac{1}{1 - z}$	$\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2}$	$\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3}$
1	$\frac{1 + z}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z}{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2}}z}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{3}}z}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{4}}z}$
2	$\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^2}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{12}}z^2}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{5}}z + {\scriptstyle\frac{1}{20}}z^2}$
3	$\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{4}}z + {\scriptstyle\frac{1}{4}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{24}}z^3}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{5}}z + {\scriptstyle\frac{3}{20}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{60}}z^3}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{10}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{120}}z^3}$
4	$\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{24}}z^4}{1}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{5}}z + {\scriptstyle\frac{3}{10}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{15}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{120}}z^4}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{5}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{30}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{360}}z^4}$	$\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{7}}z + {\scriptstyle\frac{1}{7}}z^2 + {\scriptstyle\frac{2}{105}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{840}}z^4}$

일반적으로,

\exp(x)

의

(m,n)

차 파데 근사는 다음과 같다.
:

R_{m,n}(x)=\frac{{}_1F_1(-m;-m-n;x)}{{}_1F_1(-n;-m-n;-x)}

여기서

{}_1F_1

은 초기하 함수의 하나이다.

아래는 다른 여러 함수의 파데 근사의 예이다.

;사인 함수

\sin(x)

\sin(x) \approx \frac{ (12671/4363920)x^5-(2363/18183)x^3+x }{ 1+(445/12122)x^2+(601/872784)x^4+(121/16662240)x^6}

;지수 함수

\exp(x)

\exp(x) \approx \frac{1+(1/2)x+(1/9)x^2+(1/72)x^3+(1/1008)x^4+(1/30240)x^5}{1-(1/2)x+(1/9)x^2-(1/72)x^3+(1/1008)x^4-(1/30240)x^5}

;

\ln(1+x)

\ln(1+x) \approx \frac{x + \frac 1 2 x^2}{1 + x + \frac 1 6 x^2}

;야코비 타원 함수

\mathrm{sn}(z|3)

\mathrm{sn}(z|3) \approx \frac{ -(9851629/283609260)z^5-(572744/4726821)z^3+z }{ 1+(859490/1575607)z^2-(5922035/56721852)z^4+(62531591/2977897230)z^6 }

;베셀 함수

J_5(x)

J_5(x) \approx \frac{-(107/28416000)x^7+(1/3840)x^5 }{ 1+(151/5550)x^2+(1453/3729600)x^4+(1339/358041600)x^6+(2767/120301977600)x^8 }

;오차 함수

\operatorname{erf}(x)

\operatorname{erf}(x) \approx \frac{ (2/15)\cdot (49140x+3570x^3+739x^5) }{ \sqrt{\pi} \cdot (165x^4+1330x^2+3276) }

;프레넬 적분

C(x)

C(x) \approx \frac{ (1/135)\cdot (990791x^9\pi^4-147189744x^5\pi^2+8714684160x)}{(1749\pi^4x^8+523536\pi^2x^4+64553216) }

8. 역사

프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(fr, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다. 파데는 샤를 에르미트의 지도 아래 파데 근사를 연구했으며, 그의 이름을 따서 이 근사 방법이 명명되었다.