모멘트 (수학)

3. 변량 통계의 모멘트

변량 통계에서 모멘트는 주어진 데이터 집합의 특성을 나타내는 데 사용되며, 확률 분포의 모멘트와 유사하게 정의된다. 변량 통계의 모멘트는 평균, 분산, 왜도, 첨도 등을 계산하는 데 사용될 수 있다.^[2]

변량 통계의 모멘트는 두 가지 방식으로 정의된다.

첫 번째 정의는 다음과 같다.

:$\backslash mu^\{(0)\}\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \{x\_i\}^n,\; \backslash quad\; \backslash mu^\{(c)\}\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; c)^n,\; \backslash quad\; \backslash mu\_n\; =\; \backslash frac\{1\}\{N\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; \backslash mu)^n$

이 정의에 따르면, 요약 통계량은 확률 분포의 경우와 동일하다.

두 번째 정의는 다음과 같다.

:$\backslash mu^\{(0)\}\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; \{x\_i\}^n,\; \backslash quad\; \backslash mu^\{(c)\}\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; c)^n,\; \backslash quad\; \backslash mu\_n\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\; (x\_i\; -\; \backslash mu)^n$

이 정의에 따른 변량 통계의 모멘트는 확률 밀도 함수의 모멘트와 유사한 다음 속성을 갖는다.

• $\backslash mu^\{(0)\}\_0\; =\; N$
• $\backslash mu\; =\; \backslash mu^\{(0)\}\_1\; /\; N$ 은 평균값이다.
• $\backslash sigma^2\; =\; \backslash mu\_2\; /\; N\; =\; \backslash \{\; \backslash mu^\{(0)\}\_2\; -\; (\backslash mu^\{(0)\}\_1)^2\; \backslash \}\; /\; N$ 은 분산, $\backslash sigma\; =\; \backslash sqrt\{\backslash mu\_2\; /\; N\}$는 표준 편차이다.
• $\backslash gamma\_1\; =\; \backslash mu\_3\; /\; N\; \backslash sigma^3$은 왜도이다.
• $\backslash gamma\_2\; =\; \backslash mu\_4\; /\; N\; \backslash sigma^4\; -\; 3$은 첨도이다.

4. 이미지의 모멘트

2변수 함수 f(x, y)|f(x, y)^영어의 (''m'' + ''n'')차 모멘트는 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mu^\{(0)\}\_\{mn\}\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; x^m\; y^n\; f(x,y)\backslash ,\; dxdy$

디지털 이미지의 경우에는 다음과 같이 이산적인 형태로 표현된다.

:$\backslash mu^\{(0)\}\_\{mn\}\; =\; \backslash sum\_x\; \backslash sum\_y\; x^m\; y^n\; f(x,y)$

이러한 모멘트는 이미지의 특징을 추출하는 데 사용된다. 이미지 모멘트는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• $\backslash mu^\{(0)\}\_\{00\}$은 이미지의 면적을 나타낸다. (픽셀 값의 총합이며, 이진 이미지와 같이 픽셀 값이 일정한 경우에는 면적과 같다.)
• 점 $(\backslash mu^\{(0)\}\_\{10\}\; /\; \backslash mu^\{(0)\}\_\{00\},\; \backslash mu^\{(0)\}\_\{01\}\; /\; \backslash mu^\{(0)\}\_\{00\})$은 이미지의 무게 중심을 나타낸다.
• 관성 주축 (주변의 2차 모멘트가 최소가 되는 직선)은 무게 중심을 지나며, 기울기는 $\backslash tan\; \backslash theta$이다. 여기서 는 $\backslash tan\; 2\backslash theta\; =\; 2\; \backslash mu^\{(0)\}\_\{11\}\; /\; (\backslash mu^\{(0)\}\_\{20\}\; -\; \backslash mu^\{(0)\}\_\{02\}\; )$를 만족한다.
• 관성 주축을 x축과 일치시키면, 중심 모멘트는 평행 이동 및 회전에 대해 불변하는 성질을 갖는다. 또한, 중심 모멘트를 $\backslash mu^\{(0)\}\_\{00\}$으로 나눈 값은 확대/축소에 대해서도 불변한다.

5. 모멘트의 성질

중심 변환: 한 점에 대한 모멘트를 사용하여 다른 점에 대한 모멘트를 계산할 수 있다.

:$\backslash binom\{n\}\{i\}$가 이항 계수일 때, ''b''에 대한 모멘트는 ''a''에 대한 모멘트로부터 다음과 같이 계산할 수 있다.^[2]

:$$E\backslash left[(x\; -\; b)^n\backslash right]\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^n\; \{n\; \backslash choose\; i\}\; E\backslash left[(x\; -\; a)^i\backslash right](a\; -\; b)^\{n-i\}.$$

합성곱의 모멘트: 두 함수의 합성곱의 모멘트는 각 함수의 모멘트를 사용하여 계산할 수 있다.

합성곱 $h(t)\; =\; (f\; *\; g)(t)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(\backslash tau)\; g(t\; -\; \backslash tau)\; \backslash ,\; d\backslash tau$의 원시 모멘트는 다음과 같다.^[2]

:$$\backslash mu\_n[h]\; =\; \backslash sum\_\{i=0\}^\{n\}\; \{n\backslash choose\; i\}\; \backslash mu\_i[f]\; \backslash mu\_\{n-i\}[g]$$

여기서 $\backslash mu\_n[\backslash ,\backslash cdot\backslash ,]$은 괄호 안에 주어진 함수의 $n$차 모멘트를 나타낸다. 이 공식은 모멘트 생성 함수에 대한 합성곱 정리와 곱의 미분에 대한 연쇄 법칙을 적용하여 도출된다.^[2]

6. 모멘트 문제

모멘트의 수열로부터 확률 분포를 결정하는 문제는 '''모멘트 문제'''라고 불린다. 이러한 문제는 극한 정리에 대한 연구와 관련하여 P.L. 체비쇼프(1874)^[6]에 의해 처음 논의되었다. 확률 변수 $X$의 확률 분포가 모멘트 $\backslash alpha\_k\; =\; E\backslash left[X^k\backslash right]$에 의해 고유하게 정의되기 위해서는, 예를 들어 칼레만의 조건이 충족되는 것이 충분하다.

:$$\backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infin\backslash frac\{1\}\{\backslash alpha\_\{2k\}^\{1/2k\}\}\; =\; \backslash infin$$

유사한 결과는 랜덤 벡터의 모멘트에도 적용된다. '''모멘트 문제'''는 어떤 함수 ''f''의 모멘트 수열인 수열 $\{\{\backslash mu\_n\}\text{'}:\; n\; =\; 1,2,3,\backslash dots\}$의 특성을 찾는데, 여기서 모든 모멘트 $\backslash alpha\_k(n)$는 유한하고, 각 정수 $k\backslash geq1$에 대해

:$$\backslash alpha\_k(n)\backslash rightarrow\; \backslash alpha\_k\; ,n\backslash rightarrow\; \backslash infin,$$

이며, 여기서 $\backslash alpha\_k$는 유한하다. 그러면 $\backslash alpha\_k$를 모멘트로 갖는 분포 함수 $\backslash mu$로 약하게 수렴하는 수열 $\{\backslash mu\_n\}\text{'}$이 존재한다. 만약 모멘트가 $\backslash mu$를 고유하게 결정한다면, 수열 $\{\backslash mu\_n\}\text{'}$는 $\backslash mu$로 약하게 수렴한다.

7. 부분 모멘트

부분 모멘트는 "일방 모멘트"라고도 한다. 기준점 ''r''에 대한 n차 하위 및 상위 부분 모멘트는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$$\backslash mu\_n^-\; (r)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^r\; (r\; -\; x)^n\backslash ,f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x,$$

:$$\backslash mu\_n^+\; (r)\; =\; \backslash int\_r^\backslash infty\; (x\; -\; r)^n\backslash ,f(x)\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x.$$

적분 함수가 수렴하지 않으면 부분 모멘트는 존재하지 않는다.

부분 모멘트는 1/''n'' 거듭제곱으로 정규화된다. 업사이드 포텐셜 비율은 1차 상위 부분 모멘트와 정규화된 2차 하위 부분 모멘트의 비율로 표현될 수 있다.

8. 메트릭 공간의 중심 모멘트

를 거리 공간이라 하고, B(''M'')을 ''M'' 상의 보렐 -대수라 하자. 여기서 B(''M'')는 ''M''의 ''d''-열린 집합에 의해 생성된 -대수이다. 라고 하자.

주어진 점 에 대한 가측 공간 (''M'', B(''M'')) 상의 측도 의 '''-차 중심 모멘트'''는 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash int\_\{M\}\; d\backslash left(x,\; x\_0\backslash right)^p\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash mu\; (x).$$

''μ''가 에 대해 의 -차 중심 모멘트가 유한하면, '''''유한한 -차 중심 모멘트'''를 가진다고 말한다.

이러한 측도에 대한 용어는 다음과 같은 방식으로 확률 변수로 이어진다. 만약 가 확률 공간이고 이 확률 변수이면, 에 대한 ''X''의 '''-차 중심 모멘트'''는 다음과 같이 정의된다.

$$$$

\int_M d \left(x, x_0\right)^p \, \mathrm{d} \left( X_* \left(\mathbf{P}\right) \right) (x) =

\int_\Omega d \left(X(\omega), x_0\right)^p \, \mathrm{d} \mathbf{P} (\omega) =

\operatorname{\mathbf{E}}[d(X, x_0)^p],

그리고 ''X''가 에 대한 ''X''의 -차 중심 모멘트가 유한하면 '''유한한 -차 중심 모멘트'''를 가진다.

참조

_[1] 간행물 HARMONIC ANALYSIS AS THE EXPLOITATION OF SYMMETRY - A HISTORICAL SURVEY 1980-07
_[2] 서적 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. McGraw Hill
_[3] 웹사이트 Raw Moment -- from Wolfram MathWorld http://mathworld.wol[...] 2009-06-24
_[4] 서적 Statistical Inference Duxbury
_[5] 간행물 Kurtosis: A Critical Review American Statistical Association
_[6] 서적 An introduction to probability theory and its applications. John Wiley & Sons 1957-1971