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로랑 급수

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목차

1. 개요

로랑 급수는 복소해석학에서 사용되는 급수 표현으로, 피에르 알퐁스 로랑에 의해 1843년에 발표되었다. 환영역에서 정의된 정칙함수를 무한히 많은 항을 포함하는 급수로 나타내며, 멱급수와 유사하게 사용된다. 로랑 급수는 해석 부분과 주 부분으로 구성되며, 코시 적분 공식을 통해 계수를 구할 수 있다. 로랑 급수는 특이점 근처의 함수 동작을 분석하는 데 유용하며, 특히 특이점에서의 잉여 계산에 중요한 역할을 한다. 또한, 형식적 로랑 급수는 수렴성을 고려하지 않고 정의되며, 대수적 구조를 갖는다. 로랑 다항식은 유한 개의 항만 0이 아닌 로랑 급수를 의미하며, 다양한 분야에 응용된다.

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로랑 급수
개요
분야수학, 해석학, 복소해석학
하위 분야수열, 급수, 함수
명명 유래피에르 알퐁스 로랑
정의
형태중심이 c인 로랑 급수는 다음과 같은 형태를 가진다.
로랑 급수의 수식 표현
로랑 급수의 수식 표현
설명여기서 cn은 상수이고, c는 복소수이며, n은 정수이다.
수렴
수렴 영역로랑 급수는 중심 c를 중심으로 하는 원환(annulus) 영역에서 수렴한다.
원환 영역r < |z - c| < R 여기서 r은 내부 반지름이고, R은 외부 반지름이다.
활용
용도특이점 분석
복소함수의 적분
미분 방정식 해법
관련 개념
관련 급수테일러 급수
푸리에 급수
함수 예시
함수 f(z) = 1/zz = 0 에서 로랑 급수를 가진다.
함수 f(z) = e^(1/z)z = 0 에서 로랑 급수를 가진다.

2. 역사

피에르 알퐁스 로랑이 1843년에 발표하였다.

3. 정의

'''환영역'''(annular domain영어) R(z_0,a,b)는 다음과 같은 집합이다.

:R(z_0,a,b)=\{z\in\mathbb C\colon a<|z-z_0|

어떤 함수 f\colon R(z_0,a,b)\to\mathbb C가 환영역 R(z_0,a,b)에서 정칙함수라고 하자. 그렇다면 이 환영역에서 f의 '''로랑 급수'''는 다음과 같은 꼴의 급수이다.

:f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n(z-z_0)^n

여기서, 차수가 음이 아닌 부분

:\sum_{n=0}^\infty c_n(z-z_0)^n

을 로랑 급수의 '''해석부분'''(解析部分, analytic part영어), 차수가 음수인 부분

:\sum_{k=1}^\infty c_{-k}(z-z_0)^{-k}

을 로랑 급수의 '''주부분'''(主部分, principal part영어)이라고 부른다.

로랑 급수의 계수 c_n은 코시 적분공식에 의하여 주어진다.

:c_n=\frac1{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz

여기서 폐곡선 C는 환영역 안에 존재하는 임의의 양의 방향의 단순 닫힌 경로(감김수(winding number영어)가 1인 폐곡선)이다.

복소함수 f(z)에 대한 점 c에서의 로랑 급수는 다음과 같다.

:f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n

여기서 a_n과 c는 상수이며, a_n은 선적분을 통해 정의되며, 이는 코시 적분 공식을 일반화한다.

:a_n =\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-c)^{n+1}} \, dz.

적분 경로 \gamma는 c를 둘러싸고 f(z)가 정칙 함수 (해석적)인 환 A 내에 놓이는 요르단 곡선을 반시계 방향으로 돈다. 그러면 f(z)의 전개는 환 내부 어디에서든 유효하다. 만약 \gamma를 원 |z-c| = \varrho로, r < \varrho < R로 잡는다면, 이는 f를 \gamma로 제한한 복소 푸리에 계수를 계산하는 것과 같다. 이러한 적분이 경로 \gamma의 변형에 의해 변하지 않는다는 사실은 그린 정리의 직접적인 결과이다.

복소함수 f(z)의 z = \infty에서의 로랑 급수도 구할 수 있다. 그러나, 이는 R \rightarrow \infty일 때와 같다.

실제로, 위의 적분 공식은 주어진 함수 f(z)에 대한 계수 a_n을 계산하는 가장 실용적인 방법을 제공하지 못할 수 있다. 대신, 알려진 테일러 전개를 결합하여 로랑 급수를 조립하는 경우가 많다. 함수의 로랑 전개는 존재할 때 유일하므로, 어떤 환에서 주어진 함수 f(z)와 동일한 형태의 모든 표현은 실제로 f(z)의 로랑 전개여야 한다.

4. 로랑 급수의 수렴

로랑 급수는 특정 환영역에서 균등수렴하며, 이 환영역은 주어진 식에 의해 결정된다.

:a=\limsup_{n\to\infty}|a_{-n}|^{1/n}

:1/b=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}

여기서 a는 안쪽 반지름, b는 바깥쪽 반지름을 나타낸다.

환영역의 경계에서는 로랑 급수의 수렴 여부를 일반적으로 말하기 어렵다. 하지만, 내부 경계와 외부 경계에는 각각 함수 f(z)가 해당 점으로 정칙적으로 확장될 수 없는 점이 적어도 하나씩 존재한다.

예를 들어 함수 f(x) = e^{-1/x^2} (단, f(0) = 0)는 실수 함수로서는 모든 곳에서 무한히 미분 가능하지만, 복소 함수로서는 x = 0에서 미분 가능하지 않다. 이 함수의 로랑 급수는 x = 0을 제외한 모든 복소수 x에서 수렴하며 f(x)와 같다.

5. 성질

주어진 환영역 위에서, 로랑 급수는 유일하며, 그 계수는 코시 적분공식에 의하여 주어진다. 그러나 복잡한 정의역을 갖는 정칙함수의 경우, 정의역의 서로 다른 환영역 부분집합에서 서로 다른 로랑 급수가 존재할 수 있다.

예를 들어, 정칙함수

:f(z)=\frac1{(z-1)(z-2i)}

를 z=0 근처에서 전개한다고 하자. 이 경우, 정의역

:\mathbb C\setminus\{1,2i\}

에 다음과 같은 환영역들을 정의할 수 있다.


  • R(0,0,1)
  • R(0,1,2)
  • R(0,2,\infty)


이 세 환영역에서 로랑 급수는 각각 다음과 같다.

  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{k+1}}-1\right)z^k
  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \left(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^k} + \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{k+1}}z^k\right)
  • f(z) = \frac{1+2i}{5} \sum_{k=1}^\infty \frac{1-(2i)^{k-1}}{z^k}


이 세 로랑 급수는 각각 서로 겹치지 않는 환영역에서 정의되며, 이 속에서 수렴하지만 환영역이 다르므로 서로 다른 급수이다.

함수 f(z)가 환 r<|z-c|에서 정칙이고 두 개의 로랑 급수를 가진다고 가정하자.

f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} (z-c)^n = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} (z-c)^n.

양변에 (z-c)^{-k-1}를 곱하고, 여기서 k는 임의의 정수이며, 환 내부의 경로 γ에 대해 적분하면,

\oint_{\gamma}\,\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n} (z-c)^{n-k-1}\,dz = \oint_{\gamma}\,\sum_{n=-\infty}^{\infty} b_{n} (z-c)^{n-k-1}\,dz.

급수는 r+\varepsilon \leq |z-c| \leq R-\varepsilon에서 균등 수렴하며, 여기서 ''ε''는 ''γ''가 축소된 닫힌 환 내에 포함될 수 있을 정도로 충분히 작은 양수이므로, 적분과 합을 서로 바꿀 수 있다. 다음 항등식을 대입하면,

\oint_{\gamma}\,(z-c)^{n-k-1}\,dz = 2\pi i\delta_{nk}

합에서,

a_k = b_k.

따라서 로랑 급수는 유일하다.

로랑 급수의 '''주요 부분'''은 음의 차수를 갖는 일련의 항이다.

\sum_{k=-\infty}^{-1} a_k (z-c)^k.

f의 주요 부분이 유한 합이면, f는 가장 높은 차수의 (음의) 차수와 같은 차수의 극점 c를 갖는다. 반면에, f가 c에서 본질적 특이점을 갖는 경우, 주요 부분은 무한 합이다 (무한히 많은 비영(非零) 항을 갖는다는 의미).

f에 대한 로랑 급수의 수렴의 내부 반경이 0이면, f는 주요 부분이 무한 합인 경우에만 c에서 본질적 특이점을 가지며, 그렇지 않으면 극점을 갖는다.

수렴의 내부 반경이 양수이면, 위 예시에서와 같이 f는 무한히 많은 음의 항을 가질 수 있지만 여전히 c에서 정규적일 수 있으며, 이 경우 c 주변의 원반에서 ''다른'' 로랑 급수로 표현된다.

유한 개의 음의 항만 있는 로랑 급수는 잘 동작한다—z^k로 나눈 거듭제곱 급수이며, 유사하게 분석될 수 있다—반면 무한히 많은 음의 항을 갖는 로랑 급수는 수렴의 내부 원에서 복잡한 동작을 보인다.

6. 특이점과 잉여

복소 해석에서 '''특이점'''(Singularity)은 함수가 정의되지 않는 점을 말한다. 로랑 급수는 이러한 특이점 근방에서 함수의 성질을 분석하는 데 유용한 도구이다.

'''잉여'''(Residue)는 특이점 c에서 함수 f(z)의 로랑 급수의 계수 a_{-1}을 말하며, f(z)의 c에서의 잉여라고 불린다. 잉여는 잉여 정리에서 중요한 역할을 담당한다. 예를 들어, 함수

:f(z) = {e^z \over z} + e^{1/z}

는 z=0을 제외한 모든 곳에서 정칙 함수이다. 이 함수의 c=0에 대한 로랑 전개는 다음과 같다.

:f(z) = \cdots + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^{-3} + \left ( {1 \over 2!} \right ) z^{-2} + 2z^{-1} + 2 + \left ( {1 \over 2!} \right ) z + \left ( {1 \over 3!} \right ) z^2 + \left ( {1 \over 4!} \right ) z^3 + \cdots

따라서 이 함수의 잉여는 2임을 알 수 있다.

f(z)의 로랑 급수의 주부분(음의 차수 항들)이 유한개의 항으로 이루어진 경우, f(z)는 c에서 '''극점'''(Pole)을 갖는다고 한다. 반면, f(z)의 로랑 급수의 주부분이 무한히 많은 항을 갖는 경우, f(z)는 c에서 '''본질적 특이점'''(Essential Singularity)을 갖는다고 한다. 예를 들어, f(x) = e^{-1/x^2} (f(0) = 0) 함수는 x = 0에서 본질적 특이점을 가진다.

right

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7. 로랑 다항식

'''로랑 다항식'''은 유한 개의 계수만 0이 아닌 로랑 급수이다. 로랑 다항식은 음의 차수 항을 가질 수 있다는 점에서 일반적인 다항식과 다르다.

8. 형식적 로랑 급수

수렴성을 고려하지 않고 정의하는 로랑 급수를 '''형식적 로랑 급수'''(formal Laurent series영어)라고 한다. 형식적 로랑 급수의 계수는 가환환 ''K''에서 가져올 수 있다. 음의 차수 항은 유한 개만 0이 아닌 계수를 갖는다. 형식적 로랑 급수는 다음과 같이 표현된다.

:\sum_{n=N}^\infty a_n x^n

여기서 ''N''은 (대부분 음의) 정수이며, ''an''은 ''K''의 원소이다. 혼동의 우려가 없을 때는 다음과 같이 표기한다.

:\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n

양의 거듭제곱 항도 유한 개만 0이 아닌 계수를 가지면, 이 형식적 로랑 급수를 '''로랑 다항식'''(Laurent polynomial영어)이라고 한다.

두 형식적 로랑 급수가 같다는 것은 모든 계수가 수열로서 서로 같을 때를 의미한다. 즉,

:\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n = \sum_{n=-\infty}^\infty b_n x^n

\iff a_n = b_n \mbox{ for any } n.

이다.

계수환 ''K'' 상에서 ''x''를 부정원으로서 정의되는 형식적 로랑 급수의 전체는 ''K''((''x''))로 표기하며, 다음과 같이 정의된다.

:K(\!(x)\!) := \left\{\sum_{n=N}^\infty a_n x^n \mid a_n \in K,\,N\in \mathbb{Z}\right\}

형식적 로랑 급수의 덧셈은 각 항의 계수 합을 계수로 하는 로랑 급수로 정의된다.

:\left(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n\right) + \left(\sum_{n=-\infty}^\infty b_n x^n\right)

:= \sum_{n=-\infty}^\infty (a_n + b_n) x^n

곱셈은 두 로랑 급수의 계수열의 합성곱을 계수로 갖는 로랑 급수로 정의된다.

:c_n := \sum_{i+j=n}a_i b_j

:\left(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n\right)\left(\sum_{n=-\infty}^\infty b_n x^n\right)

:= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n x^n

여기서 합성곱은 유한합으로 계산된다.

이 두 연산(덧셈, 곱셈)에 대해 ''K''((''x''))는 가환환이 된다. ''c'' ∈ ''K''에 대해 스칼라 배는 다음과 같이 정의된다.

:c\cdot\left(\sum_{n=-\infty}^\infty a_n x^n\right)

:= \sum_{n=-\infty}^\infty (ca_n)x^n

이에 따라 ''K''((''x''))는 ''K'' 위의 다대수(多元代數)가 된다.

''K''가 체라면, ''K'' 위의 형식적 멱급수환 ''K''''x''는 정역이므로 그 분수체를 생각할 수 있으며, 이는 ''K''((''x''))와 일치한다. 즉, 체 ''K'' 위에서 정의된 ''K''((''x''))는 다대수체이며, 이를 '''형식적 로랑 급수체'''라고 부른다. 유한체 위의 로랑 급수체는 국소체의 중요한 예이다.

9. 응용

로랑 급수는 복소해석학에서 중요하게 사용되며, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 응용된다.

9. 1. 구체적인 예시

The Laurent series영어는 복소 함수 f(z)를 음의 차수를 포함하는 멱급수로 나타낸 것이다. 테일러 급수 전개가 불가능한 경우에 복소 함수를 표현하는 데 사용될 수 있다.

f(x) = e^{-1/x^2} (여기서 f(0) = 0) 함수는 실수 함수로서 모든 곳에서 무한히 미분 가능하지만, 복소 함수로서 x=0에서 미분 가능하지 않다. 지수 함수의 멱급수에서 x를 -1/x^2로 대체하면, x = 0의 특이점을 제외한 모든 복소수 x에 대해 수렴하고 f(x)와 같은 로랑 급수를 얻는다.

다음과 같은 유리함수를 생각해 보자.



f(z) = \frac{1}{(z - 1)(z - 2i)}

= \frac{1 + 2i}{5}\left(\frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z - 2i}\right)

.

이 함수는 z=1과 z=2i에서 특이점을 갖는다. z=0에 대한 테일러 급수는 반지름 1의 원판에서만 수렴한다.

z의 값에 따라 0에 대한 세 가지 가능한 로랑 전개가 있다.

  • |z| < 1 인 경우:

:f(z) = \frac{1 + 2i}{5} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(2i)^{n + 1}} - 1\right)z^n.

  • 1<|z|<2인 경우:

:f(z) = \frac{1 + 2i}{5} \left(\sum_{n=1}^\infty z^{-n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2i)^{n + 1}} z^n\right).

  • 2<|z|<\infty인 경우:

: f(z) = \frac{1 + 2i}{5} \sum_{n=1}^\infty \left(1 - (2i)^{n - 1}\right) z^{-n}.

z = \infty 에 대해 전개하는 한 가지 예는 다음과 같다.

f(z) = \sqrt{1 + z^2} - z = z\left(\sqrt{1 + \frac{1}{z^2}} - 1\right) = z\left(\frac{1}{2z^2} - \frac{1}{8z^4} + \frac{1}{16z^6} - \cdots\right) = \frac{1}{2z} - \frac{1}{8z^3} + \frac{1}{16z^5} - \cdots.

참조

[1] 서적 Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers Springer
[1] 서적 Mathematische Werke Mayer & Müller


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