신용 구간

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 신뢰 구간의 종류
- 2.2. 다변량 신뢰 구간
3. 빈도주의 신뢰 구간과 베이즈 신용 구간의 차이
참조

1. 개요

신뢰 구간은 주어진 확률 분포에 대해 다양한 방식으로 정의될 수 있으며, 통계적 추론에서 불확실성을 나타내는 데 사용된다. 신뢰 구간은 확률 밀도가 가장 높은 값을 포함하는 최고 밀도 구간, 분위수를 기반으로 하는 분위 기반 구간, 평균을 중심으로 하는 평균 중심 구간 등 여러 종류가 있다. 빈도주의 신뢰 구간과 베이즈 신용 구간은 데이터, 사전 분포 활용, 불필요한 변수 처리 방식에서 차이를 보이며, 특수한 경우에 일치할 수 있다.

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신용 구간
개요
정의	베이즈 통계에서 모수의 신뢰 구간과 유사한 개념
의미	주어진 모수가 특정 구간 내에 존재할 확률을 나타냄
해석	빈도주의 신뢰 구간과 달리, 구간 내에 모수가 실제로 존재할 확률로 해석 가능
상세 내용
계산 방법	사후 확률 분포를 기반으로 계산
사후 분포	베이즈 정리를 통해 얻어지는 모수의 확률 분포
구간 설정	사후 분포에서 확률 밀도가 높은 구간을 선택
예시	모수가 95% 신용 구간 내에 존재할 확률은 95%이다
빈도주의 신뢰 구간과의 비교
해석 차이	신용 구간은 모수가 구간 내에 존재할 확률, 신뢰 구간은 표본을 반복 추출했을 때 구간이 모수를 포함할 비율
사전 정보 활용	신용 구간은 사전 정보를 활용, 신뢰 구간은 사전 정보를 사용하지 않음
장점
직관적인 해석	모수가 구간 내에 존재할 확률로 직접 해석 가능
사전 정보 통합	기존 지식이나 믿음을 분석에 반영 가능
활용
베이즈 추론	모수의 불확실성을 정량화하고 의사 결정에 활용
의학 통계	환자의 진단 및 치료 효과 평가
금융 분석	투자 위험 평가 및 포트폴리오 구성

2. 정의

신뢰 구간은 주어진 확률 분포에 대해 다양한 방식으로 정의될 수 있다. 신뢰 구간은 유일하지 않으며, 확률 $\alpha$ 에 대해 무한히 많은 신뢰 구간을 갖는다. 신뢰 구간은 마르코프 연쇄 몬테카를로와 같은 시뮬레이션 기술을 사용하여 추정할 수도 있다.^[11]

최고 밀도 구간/영역: 확률 밀도가 가장 높은 값을 포함하는 구간이다. 단봉 분포에서는 최빈값을 포함하며, 다봉 분포에서는 연결되지 않은 영역일 수 있다.
분위 기반 구간: 특정 분위수를 기준으로 구간을 설정한다. 예를 들어, 중앙값 구간은 구간 아래와 위에 있을 확률이 같은 구간으로, 중앙값을 포함한다.
평균 중심 구간: 평균이 존재하는 경우, 평균을 중심으로 하는 구간을 정의할 수 있다.

2. 1. 신뢰 구간의 종류

신뢰 구간은 유일하지 않으며, 주어진 확률 분포에 대해 여러 정의가 가능하다. 단변량의 경우, 적절한 구간 또는 영역에 대한 여러 정의가 있다.^[11]

최고 밀도 구간 (HDI): 확률 밀도가 가장 높은 값을 포함하는 가장 좁은 구간이다.
최고 밀도 영역 (HDR): 다봉 분포에서 사용될 수 있으며, 연결되지 않을 수 있다.
분위 기반 구간 (QBI): 특정 분위수를 기준으로 구간을 설정한다.
평균 중심 구간: 평균이 존재하는 경우, 평균을 중심으로 하는 구간을 정의할 수 있다.

신뢰 구간은 마르코프 연쇄 몬테카를로와 같은 시뮬레이션 기술을 사용하여 추정할 수도 있다.

2. 1. 1. 최고 밀도 구간 (Highest Density Interval, HDI)

최고 밀도 구간(HDI)은 확률 밀도가 가장 높은 값을 포함하는 가장 좁은 구간이다. 단봉 분포에서는 최빈값을 포함한다.^[11] 이 구간은

\alpha\geq 0.5

일 때마다 반드시 중앙값을 포함한다.

2. 1. 2. 최고 밀도 영역 (Highest Density Region, HDR)

최고 밀도 영역(HDR)은 다봉 분포에서 사용될 수 있으며, 연결되지 않을 수 있다. 이 영역은 항상 최빈값을 포함한다.^[11]

HDR은 다변량의 경우로 쉽게 일반화될 수 있으며, 확률 밀도 등고선에 의해 경계가 정해진다. 항상 최빈값을 포함하지만, 반드시 평균, 좌표별 중앙값, 또는 기하 중앙값을 포함하지는 않는다.

2. 1. 3. 분위 기반 구간 (Quantile-Based Interval, QBI)

특정 분위수를 기준으로 구간을 설정한다. 중앙값 구간은 구간 아래와 위에 있을 확률이 같은 구간으로, 중앙값을 포함한다. 이를 동일 꼬리 구간이라고도 한다.^[11]

2. 1. 4. 평균 중심 구간

평균이 존재하는 경우, 평균을 중심으로 하는 구간을 정의할 수 있다.

2. 2. 다변량 신뢰 구간

최고 밀도 영역은 다변량으로 쉽게 일반화될 수 있으며, 확률 밀도 등고선에 의해 경계가 정해진다.^[1] 이 영역은 항상 최빈값을 포함하지만, 반드시 평균, 좌표별 중앙값, 또는 기하 중앙값을 포함하는 것은 아니다.^[1]

3. 빈도주의 신뢰 구간과 베이즈 신용 구간의 차이

빈도주의와 베이즈 통계학은 신뢰 구간을 다르게 해석한다. 빈도주의 95% 신뢰 구간은 반복 표본 추출에서 계산된 신뢰 구간의 95%가 모수의 참값을 포함한다는 의미이다. 빈도주의 관점에서 모수는 고정된 값이고, 신뢰 구간은 무작위 표본에 의존하는 무작위적인 값이다.

베이즈 신뢰 구간은 빈도주의 신뢰 구간과 다음 두 가지 측면에서 다르다.

베이즈 신용 구간은 모수가 해당 값을 가질 확률을 나타내는 (사후) 확률 밀도 구간이지만, 빈도주의 신뢰 구간은 모집단 모수를 고정된 것으로 간주하여 확률의 대상으로 보지 않는다.
베이즈 신용 구간과 빈도주의 신뢰 구간은 불필요한 변수를 다루는 방식이 근본적으로 다르다.

단일 모수와 단일 충분 통계량으로 요약 가능한 데이터에서, 미지의 모수가 위치 모수(전방 확률 함수가 \$\mathrm{Pr}(x|\mu) = f(x - \mu)\$ 형태)이고 균일 사전 분포를 가질 때, 또는 미지의 모수가 척도 모수(전방 확률 함수가 \$\mathrm{Pr}(x|s) = f(x/s)\$ 형태)이고 제프리스 사전 분포 \$\mathrm{Pr}(s|I) \;\propto\; 1/s\$를 가질 때, 베이즈 신뢰 구간과 빈도주의 신뢰 구간은 일치한다. 척도 모수의 경우 로그를 취하면 균일 분포를 가진 위치 모수로 변환되기 때문이다. 그러나 이는 특별한 경우이며, 일반적으로 두 신뢰 구간은 일치하지 않는다.

3. 1. 관점의 차이

빈도주의 95% 신뢰 구간은 많은 수의 반복되는 표본이 있을 때, 그렇게 계산된 95% 신뢰 구간들이 모수의 참값을 포함한다는 것을 의미한다. 빈도주의 관점에서 모수는 고정된 값이고, 신뢰 구간은 (무작위 표본에 의존하기 때문에) 무작위적이다.

베이즈 신용 구간은 빈도주의 신뢰 구간과 다음 두 가지 측면에서 다르다.

베이즈 신용 구간은 사전 분포로부터 문제에 특화된 문맥 정보를 혼합하여 사용하지만, 빈도주의 신뢰 구간은 오로지 데이터에만 기초한다.
베이즈 신용 구간과 빈도주의 신뢰 구간은 장애모수(nuisance parameter)를 현저하게 다른 방식으로 다룬다.

하나의 모수와 하나의 충분 통계량으로 요약할 수 있는 데이터에 대해, 베이즈 신뢰구간과 빈도주의 신뢰구간은 미지의 모수가 위치 모수(즉, 전방 확률 함수가

\mathrm{Pr}(x|\mu) = f(x - \mu)

형태를 가질 때)인 경우 균일 평탄 분포인 사전 분포를 가지며, 미지의 모수가 척도 모수(즉, 전방 확률 함수가

\mathrm{Pr}(x|s) = f(x/s)

형태를 가짐)인 경우, 제프리스 사전 분포

\mathrm{Pr}(s|I) \;\propto\; 1/s

를 가지면 서로 같아진다. 후자는 이러한 척도 모수의 로그를 취하면 균일 분포를 가진 위치 모수로 변환되기 때문이다. 하지만 이러한 경우는 특별한(하지만 중요한) 경우이고, 일반적으로는 두 신뢰구간을 같다고 할 수 없다.

3. 2. 사전 분포의 활용

베이즈 신용 구간은 사전 분포를 통해 문제에 특화된 정보를 활용할 수 있지만, 빈도주의 신뢰 구간은 오로지 데이터에만 기초한다.

3. 3. 불필요한 변수 처리

베이즈 신용 구간과 빈도주의 신뢰 구간은 불필요한 변수를 다루는 방식에서 큰 차이를 보인다.

단일 모수와 단일 충분 통계량으로 요약 가능한 데이터의 경우, 베이즈 신용 구간과 빈도주의 신뢰 구간이 일치하는 특별한 경우가 있다. 미지의 모수가 위치 모수일 때(전방 확률 함수가 \$\mathrm{Pr}(x|\mu) = f(x - \mu)\$ 형태) 균일 분포를 사전 분포로 사용하거나, 미지의 모수가 척도 모수일 때(전방 확률 함수가 \$\mathrm{Pr}(x|s) = f(x/s)\$ 형태) 제프리스 사전 분포 \$\mathrm{Pr}(s|I) \;\propto\; 1/s\$를 사용하는 경우이다. 척도 모수의 경우, 로그를 취하면 균일 분포를 가진 위치 모수로 변환되므로 두 구간이 일치하게 된다. 그러나 이러한 경우는 특수하고 중요한 경우이며, 일반적으로 두 구간은 일치하지 않는다.

3. 4. 특수한 경우의 일치

단일 모수와 단일 충분 통계량으로 요약할 수 있는 데이터의 경우, 미지의 모수가 위치 모수(즉, 전방 확률 함수가

\mathrm{Pr}(x|\mu) = f(x - \mu)

형태를 가짐)인 경우 균일 평탄 분포인 사전 분포를 가지며, 미지의 모수가 척도 모수(즉, 전방 확률 함수가

\mathrm{Pr}(x|s) = f(x/s)

형태를 가짐)인 경우 제프리스 사전 분포

\mathrm{Pr}(s|I) \;\propto\; 1/s

를 가지면 베이즈 신용 구간과 빈도주의 신뢰 구간이 일치한다. 후자는 이러한 척도 모수의 로그를 취하면 균일 분포를 가진 위치 모수로 변환되기 때문이다. 그러나 이러한 경우는 분명히 특별한(비록 중요한) 경우이지만, 일반적으로 이러한 동등성은 성립하지 않는다.

참조

_[1] 논문 Bayesian statistical inference in psychological research
_[2] 서적 Bayesian Statistics: An Introduction Arnold
_[3] 웹사이트 Frequentism and Bayesianism III: Confidence, Credibility, and why Frequentism and Science do not Mix {{!}} Pythonic Perambulations https://jakevdp.gith[...]
_[4] 서적 Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference Arnold
_[5] 논문 Monte Carlo Estimation of Bayesian Credible and HPD Intervals 1999-03-01
_[6] 간행물 Confidence Intervals vs Bayesian Intervals http://bayes.wustl.e[...] D. Reidel
_[7] 웹사이트 ベイズ統計の区間推定を解説！頻度論との違いも！ https://ai-trend.jp/[...] 2018-06-22
_[8] 논문 Bayesian statistical inference in psychological research
_[9] 서적 Bayesian Statistics: An Introduction Arnold
_[10] 웹인용 Frequentism and Bayesianism https://jakevdp.gith[...]
_[11] 서적 Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference Arnold

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