십오각형

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1. 개요
2. 정십오각형의 성질
3. 정십오각형의 작도
- 3.1. 외접원이 주어진 경우
- 3.2. 변의 길이가 주어진 경우
4. 대칭
5. 십오각별
6. 활용
참조

1. 개요

십오각형은 15개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형이다. 정십오각형의 내각은 156도이며, 작도가 가능하고, 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 작도할 수 있다. 정십오각형은 슐레플리 기호 {15}로 표시되며, 대칭과 십오각별과 같은 다양한 특징을 갖는다. 정삼각형, 십각형, 십오각형은 평면 꼭짓점을 완전히 채울 수 있다.

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십오각형
다각형 정보
종류	정십오각형
변의 수	15
꼭짓점의 수	15
슈플리 기호	{15}
대칭군	Dih15, order 30
내각	156°
정십오각형
정십오각형
성질
특징	정다각형, 볼록 다각형, 순환 다각형, 등각 다각형, 아이소토잘 다각형

2. 정십오각형의 성질

정십오각형은 슐레플리 기호로 {15}로 표시된다. 정십오각형의 내각은 156°이며, 변의 길이가 ''a''일 때, 면적은 다음과 같다.

정십오각형에서 중심각과 외각은 24°이며, 내각은 156°이다.

\cos (2\pi/15)

는 유리수와 제곱근의 조합으로만 나타낼 수 있다.

:

\cos\frac{2\pi}{15} = \frac {1+\sqrt{5}}{8} + \frac {\sqrt{30-6\sqrt{5}}}{8} = \frac {1}{8} \left( 1+\sqrt{5} + \sqrt{30-6\sqrt{5}} \right)

3. 정십오각형의 작도

정십오각형은 작도가 가능하다. 원론 4권에 서술된 방법을 개량하여 36개의 단계로 작도할 수 있다. 단계 14~21까지는 반지름의 길이가 변하지 않는다.^[1]^[2]

정십오각형은 15 = 3 × 5이므로 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 표현되기 때문에 작도 가능하며, 컴퍼스와 눈금 없는 자를 사용하여 작도할 수 있다.

== 외접원이 주어진 경우 ==

위 그림에서 점

H

는 반지름

\overline{AM}

을 황금비로 나눈다.

:

\frac{\overline{AH}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{AH}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}

첫 번째 애니메이션(녹색 선)과 비교하면 다음 두 이미지에서 두 개의 원호(각도 36° 및 24°)가 반시계 방향으로 90° 회전되어 표시됨을 알 수 있다. 세그먼트

\overline{CG}

를 사용하지 않고, 두 번째 원호(각도 36°)에 대한 반지름

\overline{AH}

로 세그먼트

\overline{MG}

를 사용한다.

== 변의 길이가 주어진 경우 ==

주어진 변의 길이에 대한 컴퍼스와 자 작도는 주어진 변의 오각형과 거의 동일하며, 한 변을 연장하여 성공적으로 이루어진다. 여기서

\overline{FE_2}\text{,}

와 같은 세그먼트는 황금비에 따라 나뉜다.

:

\frac{\overline{E_1 E_2}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_2 F}}{\overline{E_1 E_2}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}

외접원 반지름

\overline{E_2 M} = R\;;\;\;

변의 길이

\overline{E_1 E_2} = a\;;\;\;

각도

D E_1M = ME_2D = 78^\circ

일 때,

:

\begin{align}R &= a \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} + \sqrt{3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8+ 2 \cdot \sqrt{5}+2\sqrt{15 + 6 \cdot \sqrt{5}}}\cdot a\\&= \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2.40486\cdot a\end{align}

3. 1. 외접원이 주어진 경우

정십오각형은 작도 가능하며, 자(컴퍼스)와 눈금 없는 자를 사용하여 작도할 수 있다.^[1] 15 = 3 × 5이므로 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 표현되기 때문이다.

위 그림에서 점

H

는 반지름

\overline{AM}

을 황금비로 나눈다.^[2]

:

\frac{\overline{AH}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{AH}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}

첫 번째 애니메이션(녹색 선)과 비교하면 다음 두 이미지에서 두 개의 원호(각도 36° 및 24°)가 반시계 방향으로 90° 회전되어 표시됨을 알 수 있다. 세그먼트

\overline{CG}

를 사용하지 않고, 두 번째 원호(각도 36°)에 대한 반지름

\overline{AH}

로 세그먼트

\overline{MG}

를 사용한다.

3. 2. 변의 길이가 주어진 경우

정십오각형은 작도 가능하며, 자(컴퍼스)와 눈금 없는 자를 사용하여 작도할 수 있다.^[1] 15 = 3 × 5이므로 서로 다른 페르마 소수의 곱으로 표현되기 때문이다.

위 그림에서 유클리드에 따른 작도를 살펴보면,[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Pentadecagon.svg 십오각형] 다음과 같다. 주어진 외접원에 대한 작도에서,

\overline{FG} = \overline{CF}\text{,} \; \overline{AH} = \overline{GM}\text{,} \; |E_1E_6|

는 정삼각형의 한 변이고

|E_2E_5|

는 정오각형의 한 변이다.^[2] 점

H

는 반지름

\overline{AM}

을 황금비로 나눈다. 즉,

\frac{\overline{AH}}{\overline{HM}} = \frac{\overline{AM}}{\overline{AH}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}

이다.

주어진 변의 길이에 대한 컴퍼스와 자 작도는 주어진 변의 오각형과 거의 동일하며, 한 변을 연장하여 성공적으로 이루어진다. 여기서

\overline{FE_2}\text{,}

와 같은 세그먼트는 황금비에 따라 나뉜다.

:

\frac{\overline{E_1 E_2}}{\overline{E_1 F}} = \frac{\overline{E_2 F}}{\overline{E_1 E_2}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2} = \Phi \approx 1.618 \text{.}

외접원 반지름

\overline{E_2 M} = R\;;\;\;

변의 길이

\overline{E_1 E_2} = a\;;\;\;

각도

D E_1M = ME_2D = 78^\circ

일 때,

:

\begin{align}R &= a \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}} + \sqrt{3} \right)= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{8+ 2 \cdot \sqrt{5}+2\sqrt{15 + 6 \cdot \sqrt{5}}}\cdot a\\&= \frac {\sin (78^\circ)}{ \sin (24^\circ)} \cdot a \approx 2.40486\cdot a\end{align}

4. 대칭

정십오각형은 차수 30의 Dih₁₅ 이면각 대칭을 가지며, 15개의 반사선으로 표현된다. Dih₁₅는 Dih₅, Dih₃, Dih₁의 3개의 이면각 부분군을 갖는다. 그리고 Z₁₅, Z₅, Z₃, Z₁의 4개의 순환군 대칭을 더 가지며, Z_n은 π/''n'' 라디안 회전 대칭을 나타낸다.^[3]

십오각형에는 8개의 뚜렷한 대칭이 있다. 존 콘웨이는 이러한 대칭에 문자를 할당하고 대칭의 차수를 문자에 따라 표시한다.^[3] 그는 완전 반사 대칭인 Dih₁₅에 대해 '''r30'''을 부여한다. 그는 꼭짓점을 통과하는 반사선이 있는 '''d''' (대각선)와 변을 통과하는 반사선이 있는 '''p''' (수직), 홀수 변 십오각형의 경우 꼭짓점과 변을 모두 통과하는 거울선이 있는 '''i''', 그리고 순환 대칭의 경우 '''g'''를 부여한다. '''a1'''은 대칭이 없음을 나타낸다.

이러한 하위 대칭은 불규칙 십오각형을 정의하는 데 있어 자유도를 허용한다. 오직 '''g15''' 부분군만이 자유도가 없지만, 이는 유향 변으로 간주될 수 있다.

5. 십오각별

정규 별 다각형은 세 개가 있는데, 이는 정규 십오각형의 동일한 15개의 꼭짓점에서 구성되지만, 각각 두 번째, 네 번째 또는 일곱 번째 꼭짓점을 건너뛰어 연결된 {15/2}, {15/4}, {15/7}이다.

또한 세 개의 정규 별 모양이 있는데, 이는 {15/3}, {15/5}, {15/6}이며, 첫 번째는 세 개의 오각형의 합성물이고, 두 번째는 다섯 개의 정삼각형의 합성물이며, 세 번째는 세 개의 오각별의 합성물이다.

합성 도형 {15/3}은 3차원 정사면체 5개의 겹합체의 2차원 등가물로 볼 수 있다.

그림	내각
{15/2}	132°
{15/3}	108°
{15/4}	84°
{15/5}	60°
{15/6}	36°
{15/7}	12°

6. 활용

정삼각형, 십각형, 십오각형은 평면 꼭짓점을 완전히 채울 수 있다. 그러나 삼각형의 변의 수가 홀수이므로 도형이 삼각형 주위에 번갈아 배치될 수 없어, 이 꼭짓점은 준정규 테셀레이션을 만들 수 없다.

참조

_[1] 서적 Journey through Genius - The Great Theorems of Mathematics http://www.ms.uky.ed[...] Penguin 2015-11-12
_[2] 서적 WELT-HARMONIK https://books.google[...] Oldenbourg Verlag 2015-12-07
_[3] 서적 The Symmetries of Things 2008
_[4] 간행물 Metamorphoses of polygons 1994

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