아도 정리

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1. 개요
2. 정리의 내용
3. 역사
4. 시사점
참조

1. 개요

아도 정리는 표수가 0인 체 K 위의 모든 유한 차원 리 대수 L이 교환자 괄호 아래에서 정사각 행렬의 리 대수로 나타낼 수 있다는 정리이다. 1935년 이고르 드미트리예비치 아도에 의해 증명되었으며, 이후 이와사와 겐키치가 표수에 대한 제한을 제거했다. 이 정리는 리 군의 국소적인 구조가 선형군의 구조와 유사하다는 것을 보여주는 중요한 시사점을 가진다.

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아도 정리
아도 정리
분야	리 대수
발표자	이고르 아도
발표년도	1935년

2. 정리의 내용

표수가 0인 체 '' $K$ ''에 대한 모든 유한 차원 리 대수 $L$ 는 리 괄호 $[A,B]=AB-BA$ 가 주어진 정사각 행렬들의 리 대수로 볼 수 있다. 더 정확하게 말하면, $L$ 은 유한 차원 '' $K$ ''-선형 공간 $V$ 에서 충실한 선형 표현 $p$ 를 갖는다. 즉, '' $L$ ''은 $V$ 의 자기 사상들이 이루는 대수의 어떤 부분 대수와 동형이다.

아도의 정리는 표수가 0인 체 ''K'' 위의 모든 유한 차원 리 대수 ''L''이 교환자 괄호 아래에서 정사각 행렬의 리 대수로 볼 수 있다고 명시한다. 더 정확히 말하면, ''L''은 ''K'' 위에 있는 선형 표현 ρ를 가지며, 이는 유한 차원 벡터 공간 ''V''에서 충실한 표현이며, ''L''을 ''V''의 자기 준동형 사상의 부분 대수와 동형으로 만든다.

3. 역사

이 정리는 1935년 니콜라이 체보타료프의 제자이자 카잔 주립대학교의 이고르 드미트리예비치 아도가 증명했다.

표수에 대한 제한은 나중에 이와사와 겐키치가 제거했다 (증명은 아래 게르하르트 호흐실트 논문 참조).

4. 시사점

고전군과 관련된 리 대수의 경우 이 정리로 인해 새로운 것은 없지만, 일반적인 리 군을 고려하면 더 심오한 결과이다. 리 군 ''G''의 실수 리 대수에 적용했을 때, ''G'' 자체가 반드시 충실한 선형 표현을 갖는다는 것을 의미하지는 않는다. (이는 일반적으로 사실이 아니다.) 하지만, 아도 정리는 ''G''가 항상 선형군과 국소 동형인 선형 표현을 갖는다는 것을 보여준다. 즉, 리 군의 국소적인 구조는 선형군의 구조와 유사하다는 것을 의미한다.

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